1、2019-2020学年陕西省渭南市临渭区高二（上）期末数学试卷（理科）一选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1（5分）数列的通项公式an是（）ABCD2（5分）命题”的否定是（）ABCD3（5分）设P2a（a2）+3，Q（a1）（a3），aR，则有（）APQBPQCPQDPQ4（5分）若a，b，cR且ab，则下列不等式中一定成立的是（）AacbcB（ab）c20CD2a2b5（5分）若双曲线（a0）的渐近线方程为，则a的值为（）A2B4C6D86（5分）若抛物线xmy2的焦点到准线的距离为2，则m（）A4BCD7（5分）如图，空间四边
2、形OABC中，且OM2MA，BNNC，则等于（）A+B+C+D+8（5分）已知等差数列an的前n项和为Sn，且S728，则a4（）A4B7C8D149（5分）下列说法中正确的是（）A命题”若xy，则x2y2”的逆命题为真命题B若pq为假命题，则p，q均为假命题C若pq为假命题，则Pq为真命题D命题”若两个平面向量，满足|，则，不共线”的否命题是真命题10（5分）“3m4”是“方程表示椭圆”的（）条件A充分不必要B必要不充分C充要D既不充分也不必要11（5分）已知数列an的递增的等比数列，a1+a49，a2a38，则数列的前2019项和S2019（）A22019B220181C220191D22
3、020112（5分）设P是双曲线与圆x2+y2a2+b2在第一象限的交点，F1、F2分别是双曲线的左、右焦点，若tanPF2F13，则双曲线的离心率为（）ABCD二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13（5分）不等式的解集为 14（5分）设（2，2，t），（6，4，5）分别是平面，的法向量，若，则实数t的值是 15（5分）已知a0，b0且a+b1，则+的最小值为 16（5分）如图，一座山的高度BC300m，在一个热气球Q上观测到山顶C仰角为15，山脚A的俯角为45，且BAC60，则此热气球离地面的高度PQ为 三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算
4、步骤）17（10分）在ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且a2+b2c2ab（）求角C的大小（）若4csinA+bsinC0，且a1，求ABC的面积18（12分）已知关于x的不等式2kx2+kx0，k0（）若不等式的解集为（，1），求k的值（）若不等式的解集为R，求k的取值范围19（12分）已知数列an为等差数列，公差d0，前n项和为Sn，a12，且a2，a4，a8成等比数列（）求数列an的通项公式（）设bn，求数列bn的前n项和Tn20（12分）已知抛物线C：x24y，过点P（1，0）作直线l（）若直线l的斜率存在，且与抛物线C只有一个公共点，求直线l的方程（）若直线l过抛物线
5、C的焦点F，且交抛物线C于A，B两点，求弦长|AB|21（12分）在直三棱柱ABCA1B1C1中，D、F、M、N分别为B1B，C1D，AB，A1A中点，ACABBCC1C2（）求证：MF平面A1ACC1（）求二面角FA1C1B1的余弦值22（12分）已知椭圆C：（ab0）的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为，圆C1：x2+y2Dx20（D0）过椭圆C的三个顶点，过点F2的直线l（斜率存在且不为0）与椭圆C交于P，Q两点（）求椭圆C的标准方程（）证明：在x轴上存在定点A，使得为定值，并求出定点A的坐标2019-2020学年陕西省渭南市临渭区高二（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一选择
6、题：本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1（5分）数列的通项公式an是（）ABCD【分析】an的项为分数，可以分分子分母分别归纳，即可得到数列an通项公式【解答】解：依题意，数列an的前几项为：a1；a2；a3；则其通项公式an故选：C【点评】本题考查了通过观察分析猜想归纳求数列的通项公式，属于基础题2（5分）命题”的否定是（）ABCD【分析】根据含有量词的命题的否定即可得到结论【解答】解：命题为全称命题，则命题”的否定是：故选：B【点评】本题主要考查含有量词的命题的否定，比较基础3（5分）设P2a（a2）+3，Q（a1）（a3），aR，则有
7、（）APQBPQCPQDPQ【分析】作差即可得出PQa20，从而得出P，Q的大小关系【解答】解：PQ2a（a2）+3（a1）（a3）a20，PQ故选：A【点评】本题考查了作差比较实数大小的方法，清楚a20，考查了计算能力，属于基础题4（5分）若a，b，cR且ab，则下列不等式中一定成立的是（）AacbcB（ab）c20CD2a2b【分析】根据不等式的基本性质，结合特殊值，可判断选项正误【解答】解：a，b，cR且ab，取c0，可排除A，B；取a1，b1可排除C由不等式的性质知当ab时，2a2b，故D正确故选：D【点评】本题考查了不等式的基本性质，属基础题5（5分）若双曲线（a0）的渐近线方程为，
8、则a的值为（）A2B4C6D8【分析】求出双曲线的渐近线方程与已知的渐近线方程对应求解即可【解答】解：双曲线（a0）的渐近线方程：yx，因为双曲线（a0）的渐近线方程为，所以a2，故选：A【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，是基本知识的考查6（5分）若抛物线xmy2的焦点到准线的距离为2，则m（）A4BCD【分析】抛物线方程化为标准方程，由焦点到准线的距离为p，从而得到结果【解答】解：抛物线xmy2，y2x的焦点到准线的距离为p，由标准方程可得|2，解得m，故选：D【点评】本题考查抛物线的标准方程，以及简单性质的应用，判断焦点到准线的距离为p是解题的关键7（5分）如图，空间四边形OABC中
9、，且OM2MA，BNNC，则等于（）A+B+C+D+【分析】根据空间向量的线性表示，用、和表示出即可【解答】解：由题意知，+（）+（）+故选：C【点评】本题考查了空间向量的线性表示与应用问题，是基础题8（5分）已知等差数列an的前n项和为Sn，且S728，则a4（）A4B7C8D14【分析】根据等差中项的性质，将S7转化为a4的算式，解方程即可【解答】解：因为数列an是等差数列，S7287a4，所以a44故选：A【点评】本题考查了等差数列的前n项和公式，属于基础题9（5分）下列说法中正确的是（）A命题”若xy，则x2y2”的逆命题为真命题B若pq为假命题，则p，q均为假命题C若pq为假命题，则
10、Pq为真命题D命题”若两个平面向量，满足|，则，不共线”的否命题是真命题【分析】A中，利用四种命题的的真假判断即可B、C中，命题“pq”为假命题时，p、q至少有一个为假命题；D中，写出该命题的否命题，再判断它的真假性【解答】解：对于A，命题“若xy，则x2y2”的逆命题是：为真命题若x2y2，则xy；因为yx也成立所以A不正确；对于B，命题“pq”为假命题时，p、q至少有一个为假命题，所以B错误；C错误；对于D，“平面向量，满足|，则，不共线的否命题是若“平面向量，满足|，则，共线；由|cos知：|，一定有|，cos1，所以，共线，D正确故选：D【点评】本题考查了命题的真假性判断问题，也考查了
11、推理与判断能力，是基础题10（5分）“3m4”是“方程表示椭圆”的（）条件A充分不必要B必要不充分C充要D既不充分也不必要【分析】求出方程表示椭圆的m的取值范围，然后结合充分必要条件的判定得答案【解答】解：方程表示椭圆，即3m4且m由3m4，不能得到方程表示椭圆；反之成立则“3m4”是“方程表示椭圆”的必要不充分条件故选：B【点评】本题考查椭圆的标准方程及其应用，考查充分必要条件的判定，是基础题11（5分）已知数列an的递增的等比数列，a1+a49，a2a38，则数列的前2019项和S2019（）A22019B220181C220191D220201【分析】根据数列an是递增的等比数列，q1，
12、由a1+a49，a2a38，求解a1和q，可前n项和，从而求解2019项之和S2019的值【解答】解：由题意，an是递增的等比数列，则q1，a10由a1+a49，a2a38，即a1+a1q39，a12q38，解得：a11，q2那么前n项和Sn2n1，则S2019220191故选：C【点评】本题主要考查等比数列的应用，根据等差数列建立条件关系求出公比是解决本题的关键12（5分）设P是双曲线与圆x2+y2a2+b2在第一象限的交点，F1、F2分别是双曲线的左、右焦点，若tanPF2F13，则双曲线的离心率为（）ABCD【分析】连接PF1，PF2，可得PF1PF2，设|PF1|m，|PF2|n，由双
13、曲线的定义可得mn2a，且m2+n24c2，tanPF2F13，解得m3a，na，可得c，a的关系式，由双曲线的离心率公式可得所求值【解答】解：P是双曲线与圆x2+y2a2+b2在第一象限的交点，F1、F2分别是双曲线的左、右焦点，连接PF1，PF2，可得PF1PF2，设|PF1|m，|PF2|n，由双曲线的定义可得mn2a，且m2+n24c2，tanPF2F13，则m3a，na，9a2+a24c2，即有c2a2，e故选：B【点评】本题考查双曲线的定义和性质，考查圆的直径所对的圆周角为直角的性质，以及勾股定理和直角三角形的锐角三角函数，考查化简运算能力，属于中档题二、填空题（本大题共4小题，每
14、小题5分，共20分）13（5分）不等式的解集为x|x2或x1【分析】由不等式，转化为不等式组，即可求得不等式的解集【解答】解：由不等式可得，解得x2或x1，不等式的解集为x|x2或x1故答案为：x|x2或x1【点评】本题主要考查分式不等式的解法，体现了等价转化的数学思想，属于中档题14（5分）设（2，2，t），（6，4，5）分别是平面，的法向量，若，则实数t的值是4【分析】利用平面垂直的性质直接求解【解答】解：（2，2，t），（6，4，5）分别是平面，的法向量，128+5t0，解得t4故答案为：4【点评】本题考查实数值的求法，考查平面与平面垂直的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题15（
15、5分）已知a0，b0且a+b1，则+的最小值为16【分析】利用“乘1法”与基本不等式的性质即可得出【解答】解：a0，b0且a+b1，则+（+）（a+b）10+10+616，当且仅当且a+b1即a，b时取等号，此时取得最小值16故答案为：16【点评】本题考查了“乘1法”与基本不等式的性质，属于基础题16（5分）如图，一座山的高度BC300m，在一个热气球Q上观测到山顶C仰角为15，山脚A的俯角为45，且BAC60，则此热气球离地面的高度PQ为200m【分析】RtABC中，求出AC的值，ACQ中，求得AQ的值，RtAPQ中，求出PQ的值【解答】解：RtABC中，BC300m，BAC60，所以AC2
16、00（m）；ACQ中，CAQ180604575，AQC45+1560，ACQ180756045；由正弦定理得，AQ200（m）；RtAPQ中，AQP45，所以PQAQcos45200200（m）；即热气球离地面的高度PQ为200m故答案为：200m【点评】本题考查了解三角形的应用问题，也考查了运算求解能力，是中档题三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17（10分）在ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且a2+b2c2ab（）求角C的大小（）若4csinA+bsinC0，且a1，求ABC的面积【分析】（）由已知利用余弦定理可得cosC的值，结
17、合范围C（0，），可求C的值（）由正弦定理化简已知等式可得4ab，进而可求a，b的值，根据三角形的面积公式即可求解【解答】解：（）a2+b2c2ab由余弦定理可得cosC，又C（0，），C（）4csinA+bsinC0，由正弦定理可得4acbc，c0，b4a，又a1，b4，SABCabsinC【点评】本题主要考查了余弦定理，正弦定理，三角形的面积公式在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题18（12分）已知关于x的不等式2kx2+kx0，k0（）若不等式的解集为（，1），求k的值（）若不等式的解集为R，求k的取值范围【分析】（I）由题意可得，和1是 方程2kx2+kx0的两个根
18、，由方程的根与系数关系可求，（II）由题意可得，2kx2+kx0恒成立，结合二次函数的性质可求【解答】解：（I）由题意可得，和1是 方程2kx2+kx0的两个根，由方程的根与系数关系可得，解可得，k，（II）由题意可得，2kx2+kx0恒成立，则，3k0，故k的范围为（3，0）【点评】本题主要考查了一元二次不等式的应用，以及根与系数的关系，同时考查了分析求解的能力和计算能力，属于中档题19（12分）已知数列an为等差数列，公差d0，前n项和为Sn，a12，且a2，a4，a8成等比数列（）求数列an的通项公式（）设bn，求数列bn的前n项和Tn【分析】（）运用等差数列的通项公式和等比数列的中项性
19、质，解方程可得公差，进而得到所求通项公式；（）由等差数列的求和公式，以及数列的裂项相消求和，计算可得所求和【解答】解：（）a12，且a2，a4，a8成等比数列，可得a42a2a8，即（2+3d）2（2+d）（2+7d），解得d2，（0舍去），则an2+2（n1）2n；（）Snn（2+2n）n（n+1），bn2（），可得前n项和Tn2（1+）2（1）【点评】本题考查等差数列的通项公式和等比数列的中项性质的运用，考查数列的裂项相消求和，化简运算能力，属于中档题20（12分）已知抛物线C：x24y，过点P（1，0）作直线l（）若直线l的斜率存在，且与抛物线C只有一个公共点，求直线l的方程（）若直线l
20、过抛物线C的焦点F，且交抛物线C于A，B两点，求弦长|AB|【分析】（）设出直线方程，与抛物线方程联立，由只有一个公共点，可知0，由此得解；（）可得直线方程yx+1，与抛物线方程联立，利用根与系数的关系及抛物线的性质即可求得弦长【解答】解：（）设直线l的方程为yk（x1），联立，消去y得，x24kx+4k0，则16k216k0，解得k0或k1，故直线l的方程为y0或yx1；（）抛物线C的焦点为F（0，1），则直线l的方程为yx+1，设A（x1，y1），B（x2，y2），联立，消去x得，y26y+10，则y1+y26，故|AB|y1+y2+p8【点评】本题考查直线与抛物线的位置关系，考查运算求解
21、能力，属于基础题21（12分）在直三棱柱ABCA1B1C1中，D、F、M、N分别为B1B，C1D，AB，A1A中点，ACABBCC1C2（）求证：MF平面A1ACC1（）求二面角FA1C1B1的余弦值【分析】（）取C1N中点E，利用中位线的性质及平行线的传递性即可得证；（）建立空间直角坐标系，求出两平面的法向量，利用向量公式得解【解答】解：（）证明：取C1N中点E，连接EF，AE，易知AMND，E，F分别是C1N，C1D的中点，AMEF，AMEF，四边形MAEF为平行四边形，MFAE，MF不在平面A1ACC1内，AE在平面A1ACC1内，MF平面A1ACC1（）取A1B1的中点O，连接C1O，
22、OM，以O为坐标原点，OC1，OB1，OM分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，则，故，设平面FA1C1的一个法向量为，则，则可取，易知平面A1C1B1的一个法向量为，二面角FA1C1B1的余弦值为【点评】本题考查线面平行的判定及利用空间向量求解二面角的余弦值，考查逻辑推理能力，属于中档题22（12分）已知椭圆C：（ab0）的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为，圆C1：x2+y2Dx20（D0）过椭圆C的三个顶点，过点F2的直线l（斜率存在且不为0）与椭圆C交于P，Q两点（）求椭圆C的标准方程（）证明：在x轴上存在定点A，使得为定值，并求出定点A的坐标【分析】（）由圆过的椭圆的
23、三点及离心率和a，b，c之间的关系求出椭圆的标准方程；（）假设存在定点，设直线方程与椭圆联立求出两根之和及两根之积，进而求出数量积，要使数量积为定值，则对应项系数成比例，求出定点的坐标【解答】解：（）圆C1中，y0时，x2Dx20，（D0）两根不互为相反数所以圆C1经过同意的上下两个顶点，令x0，则y，即b，再由题意，a2b2+c2，解得a26，b22，所以椭圆C的标准方程为：；（）证明：设x轴上存在定点A（m，0），使得为定值，由（）可得右焦点F2（2，0），及过点F2的直线l（斜率存在且不为0），设PQ的直线方程为：yk（x2），设P（x，y），Q（x，y），联立直线与椭圆的方程整理得：（1+3k2）x212k2x+12k260，x+x，xx，yyk2xx2（x+x）+4，因为（xm，y）（xm，y）xxm（x+x）+m2+yy（1+k2）xx（m+2k2）（x+x）+m2+4k2（1+k2）（m+2k2）+m2+4k2，使得为定值，则，解得：m，所以在x轴上存在定点A，使得为定值，定点A的坐标为：（，0）【点评】考查直线与椭圆的综合应用，属于中档题
