1、2018-2019学年陕西省渭南市临渭区高二（上）期末数学试卷（理科）一、选择题（本大共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1（5分）不等式的解集是（）A（，2）B3，+）C（2，3）D（，2）3，+）2（5分）数列2，5，11，20，x，47，中的x等于（）A28B27C33D323（5分）记Sn为等差数列an的前n项和若a4+a524，S648，则an的公差为（）A1B2C4D84（5分）若双曲线的离心率为，则其渐近线方程为（）ABCD5（5分）设p：1x2，q：2x1，则p是q成立的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充分必要条件D既不充
2、分也不必要条件6（5分）在各项均为正数的等比数列an中，则数列log2an的前7项和等于（）A7B8C27D287（5分）设ABC的三内角A、B、C成等差数列，sinA、sinB、sinC成等比数列，则这个三角形的形状是（）A直角三角形B钝角三角形C等腰直角三角形D等边三角形8（5分）已知正数x、y满足x2+2xy30，则2x+y的最小值是（）A1B3C6D129（5分）（理） 空间三点A（0，1，0），B（2，2，0），C（1，3，1），则（）A与是共线向量B的单位向量是（1，1，0）C与夹角的余弦值D平面ABC的一个法向量是（1，2，5）10（5分）已知抛物线y24x的焦点为F，准线为l，
3、点P为抛物线上一点，且在第一象限，PAl，垂足为A，若|PF|4，则直线AF的倾斜角为（）ABCD11（5分）一个椭圆中心在原点，焦点F1，F2在x轴上，P（2，）是椭圆上一点，且|PF1|、|F1F2|、|PF2|成等差数列，则椭圆方程为（）A+1B+1C+1D+112（5分）已知F1，F2是双曲线E：1（a0，b0）的左、右焦点，点M在E上，MF1与x轴垂直，sinMF2F1，则E的离心率为（）A2BCD二、填空题（本大题共5小题每小题5分，共25分）13（5分）已知ABC中，a8，b7，B60，则c 14（5分）双曲线的一个焦点到其渐近线的距离是 15（5分）设实数x、y满足约束条件，则
4、z2x+y的最小值和最大值的和为 16（5分）若向量，且与的夹角为钝角，则实数x的取值范围是 17（5分）若直线yx+t与抛物线y24x交于两个不同的点A、B，且弦AB中点的横坐标为3，则t 三、解答题（本大题共5小题，共65分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）18（12分）已知关于x的不等式ax23x+20的解集为x|x1或xb（1）求a，b的值（2）当cR时，解关于x的不等式ax2（ac+b）x+bc019（12分）已知数列an的前n项和（1）求数列an的通项公式；（2）令，求数列bn的前n项和Tn20（13分）在ABC中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且acosB+bsi
5、nAc（1）求角A的大小；（2）若a2，ABC的面积为，求b+c的值21（13分）如图，四棱锥PABCD中，PD底面ABCD，ABDC，ADDC，ABAD1，DC2，PD，M为棱PB的中点（1）证明：DM平面PBC；（2）求平面ADM与平面CDM夹角的余弦值22（15分）已知椭圆1（ab0）的两个焦点分别为F1，F2，A为上端点，P为椭圆上任一点（与左、右顶点不重合）（1）若AF1AF2，求椭圆的离心率；（2）若P（4，3）且0，求椭圆方程；（3）若存在一点P使F1PF2为钝角，求椭圆离心率的取值范围2018-2019学年陕西省渭南市临渭区高二（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选
6、择题（本大共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1（5分）不等式的解集是（）A（，2）B3，+）C（2，3）D（，2）3，+）【分析】将分式不等式转化为一元二次不等式，进行求解即可【解答】解：不等式等价为（3x）（x+2）0，即（x3）（x+2）0，得2x3，即不等式的解集为（2，3），故选：C【点评】本题主要考查分式不等式的求解，利用转化转化为一元二次不等式是解决本题的关键2（5分）数列2，5，11，20，x，47，中的x等于（）A28B27C33D32【分析】本题可先用加、减、乘、除等对数列对已知几项进行拆分研究，发现规律后，再运用规律解决问
7、题【解答】解：数列的前几项为2，5，11，20，x，47，其中523，115620119，猜想：x2012，47x15，而x32时，正好满足上述要求故选：D【点评】本题考查的是数列知识，实质是要发现这列数的规律，要注意本题的规律不唯一3（5分）记Sn为等差数列an的前n项和若a4+a524，S648，则an的公差为（）A1B2C4D8【分析】利用等差数列通项公式及前n项和公式列出方程组，求出首项和公差，由此能求出an的公差【解答】解：Sn为等差数列an的前n项和，a4+a524，S648，解得a12，d4，an的公差为4故选：C【点评】本题考查等差数列公式的求法及应用，是基础题，解题时要认真审
8、题，注意等差数列的性质的合理运用4（5分）若双曲线的离心率为，则其渐近线方程为（）ABCD【分析】由e结合c2a2+b2可得，从而得渐近线方程【解答】解：，yx故选：D【点评】本题主要考查了双曲线方程和简单性质，解答关键是利用c2a2+b25（5分）设p：1x2，q：2x1，则p是q成立的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件【分析】运用指数函数的单调性，结合充分必要条件的定义，即可判断【解答】解：由1x2可得22x4，则由p推得q成立，若2x1可得x0，推不出1x2由充分必要条件的定义可得p是q成立的充分不必要条件故选：A【点评】本题考查充分必要条件的判断，
9、同时考查指数函数的单调性的运用，属于基础题6（5分）在各项均为正数的等比数列an中，则数列log2an的前7项和等于（）A7B8C27D28【分析】直接利用对数关系式的运算和等比数列的性质的应用求出结果【解答】解：各项均为正数公比为q的等比数列an中，则：，所以：，即：a42，所以：T7log2a1+log2a2+log2a7，log2（a1a2a7），7故选：A【点评】本题考查的知识要点：等比数列的通项公式的应用，对数列运算的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型7（5分）设ABC的三内角A、B、C成等差数列，sinA、sinB、sinC成等比数列，则这个三角形的形状是（）A直
10、角三角形B钝角三角形C等腰直角三角形D等边三角形【分析】先由ABC的三内角A、B、C成等差数列，求得B60，A+C120；再由sinA、sinB、sinC成等比数列，得sin2BsinAsinC，结合即可判断这个三角形的形状【解答】解：ABC的三内角A、B、C成等差数列，B60，A+C120；又sinA、sinB、sinC成等比数列，sin2BsinAsinC，由得：sinAsin（120A）sinA（sin120cosAcos120sinA）sin2A+sin2Acos2A+sin（2A30）+，sin（2A30）1，又0A120A60故选：D【点评】本题考查数列与三角函数的综合，关键在于求
11、得B60，A+C120，再利用三角公式转化，着重考查分析与转化的能力，属于中档题8（5分）已知正数x、y满足x2+2xy30，则2x+y的最小值是（）A1B3C6D12【分析】用x表示y，得到2x+y关于x的函数，利用基本不等式得出最小值【解答】解：x2+2xy30，y，2x+y2x+23当且仅当即x1时取等号故选：B【点评】本题考查了基本不等式的应用，属于基础题9（5分）（理） 空间三点A（0，1，0），B（2，2，0），C（1，3，1），则（）A与是共线向量B的单位向量是（1，1，0）C与夹角的余弦值D平面ABC的一个法向量是（1，2，5）【分析】A：根据题意两个向量的坐标表示，可得分别写
12、出，所以不共线B：结合题意可得：的单位向量为：或C：根据题意分别写出两个向量的坐标表示，再结合向量的数量积公式求出两个向量夹角的余弦值D：设平面ABC的一个法向量是，利用，可得x：y：z1：（2）：5【解答】解：A：（2，1，0），（1，2，1），所以，所以不共线，所以A错误B：因为（2，1，0），所以的单位向量为：或，所以B错误C：（2，1，0），所以cos，所以C错误D：设平面ABC的一个法向量是，因为（2，1，0），（1，2，1），所以，即，所以x：y：z1：（2）：5，所以D正确故选：D【点评】本题主要考查向量之间的运算，即向量坐标形式的数量积运算、向量坐标形式的共线与利用向量的数量积
13、运算求平面的法向量10（5分）已知抛物线y24x的焦点为F，准线为l，点P为抛物线上一点，且在第一象限，PAl，垂足为A，若|PF|4，则直线AF的倾斜角为（）ABCD【分析】利用抛物线的定义，|PF|PA|，设F在l上的射影为F，依题意，可求得点P的坐标，从而可求得|AF|，可求得点A的坐标，代入斜率公式，从而可求得直线AF的倾斜角【解答】解：抛物线y24x的焦点为F，准线为l，|PF|PA|，F（1，0），准线l的方程为：x1，设F在l上的射影为F，又PAl，设P（m，n），依|PF|PA|得，m+14，解得m3，n2，PAx轴，点A的纵坐标为2，点A的坐标为（1，2），则直线AF的斜率，
14、则有直线AF的倾斜角等于故选：C【点评】本题考查抛物线的定义、方程和简单性质，考查转化思想，考查解三角形的能力，属于中档题11（5分）一个椭圆中心在原点，焦点F1，F2在x轴上，P（2，）是椭圆上一点，且|PF1|、|F1F2|、|PF2|成等差数列，则椭圆方程为（）A+1B+1C+1D+1【分析】由于|PF1|，|F1F2|，|PF2|成等差数列，及P是椭圆上的一点，可得2|F1F2|PF2|+|PF1|2a，即可得到a2c，又P（2，）是椭圆上一点，利用待定系数法即可【解答】解：|PF1|，|F1F2|，|PF2|成等差数列，P是椭圆上的一点，2|F1F2|PF2|+|PF1|2a，a2c
15、设椭圆方程为，则解得a2，c，b26故椭圆的方程为+1故选：A【点评】本题考查椭圆的标准方程与性质，考查待定系数法的运用，正确设出椭圆的方程是关键12（5分）已知F1，F2是双曲线E：1（a0，b0）的左、右焦点，点M在E上，MF1与x轴垂直，sinMF2F1，则E的离心率为（）A2BCD【分析】根据双曲线的定义，结合直角三角形的勾股定理建立方程关系进行求解即可【解答】解：MF1与x轴垂直，sinMF2F1，设MF1m，则MF23m，由双曲线的定义得3mm2a，即ma，在直角三角形MF2F1中，9m2m24c2，即2m2c2，即2a2c2，则e，故选：D【点评】本题主要考查双曲线离心率的计算，
16、根据双曲线的定义结合直角三角形的勾股定理，结合双曲线离心率的定义是解决本题的关键二、填空题（本大题共5小题每小题5分，共25分）13（5分）已知ABC中，a8，b7，B60，则c3或5【分析】利用余弦定理得出b2a2+c22accosB，把已知a，b及B的度数代入，利用特殊角的三角函数值化简，得出关于c的一元二次方程，求出方程的解即可得到c的值【解答】解：a8，b7，B60，根据余弦定理b2a2+c22accosB，得：7282+c216ccos60，整理得：c28c+150，解得：c3或c5，故答案为：3或5【点评】此题考查了余弦定理，一元二次方程的解法，以及特殊角的三角函数值，余弦定理很好
17、的建立了三角形的边角关系，熟练掌握余弦定理是解本题的关键14（5分）双曲线的一个焦点到其渐近线的距离是3【分析】由双曲线得a216，b29，可得取焦点F及其渐近线y再利用点到直线的距离公式即可得出【解答】解：由双曲线得a216，b29，5取焦点F（5，0），其渐近线y焦点F（5，0）到渐近线的距离d3故答案为3【点评】熟练掌握双曲线的标准方程及其性质、点到直线的距离公式是解题的关键15（5分）设实数x、y满足约束条件，则z2x+y的最小值和最大值的和为14【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，利用数形结合确定z的最大值【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分
18、）由z2x+y得y2x+z平移直线y2x+z，由图象可知当直线y2x+z经过点A（3，4）时，直线y2x+z的截距最大，z10直线y2x+z经过点B（1，2）时，直线y2x+z的截距最小，此时z最小即z2x+y的最小值为：z4则z2x+y的最小值和最大值的和为：14故答案为：14【点评】本题主要考查线性规划的应用，结合目标函数的几何意义，利用数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法16（5分）若向量，且与的夹角为钝角，则实数x的取值范围是（1，）【分析】由向量，且与的夹角为钝角，得3x+2x252x23x50，由此能求出实数x的取值范围【解答】解：向量，且与的夹角为钝角，3x+2x252x2
19、3x50，解得1x，实数x的取值范围是（1，）故答案为：（1，）【点评】本题考查实数的取值范围的求法，考查向量的数量积公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题17（5分）若直线yx+t与抛物线y24x交于两个不同的点A、B，且弦AB中点的横坐标为3，则t1【分析】设A（x1，y1），B（x1，y2），线段AB的中点为M（3，m）利用“点差法”即可得到m，代入直线方程即可得到t【解答】解：设A（x1，y1），B（x1，y2），线段AB的中点为M（3，m），把A，B的坐标代入抛物线方程得，两式相减得（y1+y2）（y1y2）4（x1x2），得2m14，解得m223+t，解得t1故答案为1【点评】
20、熟练掌握“点差法”、斜率计算公式、中点坐标公式是解题的关键三、解答题（本大题共5小题，共65分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）18（12分）已知关于x的不等式ax23x+20的解集为x|x1或xb（1）求a，b的值（2）当cR时，解关于x的不等式ax2（ac+b）x+bc0【分析】（1）由一元二次不等式与一元二次方程的关系，可得1和b是相应方程的两个实数根，由根与系数的关系建立关于a、b的方程组，解之即可得到实数a、b的值（2）由（1）的结论，所求不等式即x2（c+2）x+2c0，再讨论实数c与2的大小关系，即可得到不等式在各种情况下的解集，得到本题答案【解答】解：（1）根据题意，不
21、等式ax23x+20的解集为x|x1或xb，即1、b是方程ax23x+20的两根，则有，解可得，（2）由（1）的结论，a1，b2；原不等式即x2（c+2）x+2c0；即（x2）（xc）0，方程x2（c+2）x+2c0有两根，2和c，当c2时，不等式的解集为x|2xc，当c2时，不等式的解集为x|cx2，当c2时，不等式的解集为综合可得：当c2时，不等式的解集为x|2xc，当c2时，不等式的解集为x|cx2，当c2时，不等式的解集为【点评】本题考查一元二次不等式的解法，涉及一元二次不等式的解集与一元二次方程的根的关系，关键是求出a、b的值19（12分）已知数列an的前n项和（1）求数列an的通项
22、公式；（2）令，求数列bn的前n项和Tn【分析】（1）利用anSnSn1，验证数列的第一项，即可求解通项公式即可（2）化简数列的通项公式，利用裂项相消法求解数列的和即可【解答】解：（1）当n1时，a1S13；当n2时，a13也符合，数列an的通项公式为an2n+1（2），【点评】本题考查数列的通项公式的求法，裂项相消法求解数列的和，考查计算能力20（13分）在ABC中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且acosB+bsinAc（1）求角A的大小；（2）若a2，ABC的面积为，求b+c的值【分析】（1）由acosB+bsinAc，结合正弦定理及两角和的正弦公式及同角基本关系可求tanA，即
23、可求解A（2）由（1）中的A及三角形的面积公式可求bc，然后结合余弦定理可求b+c【解答】解：（1）acosB+bsinAc，由正弦定理可得，sinAcosB+sin BsinAsinCsin（A+B），sinAcosB+sin BsinAsinAcosB+sinBcosA，sin BsinAsinBcosA，sinB0，sinAcosA，即tanA10A，A；（2）A，ABC的面积为，bc2，a2，由余弦定理可得，cos，b+c【点评】本题主要考查了正弦定理，余弦定理，两角和的正弦公式，同角基本关系及三角形的面积公式的等知识的简单综合应用，解题的关键是熟练掌握基本公式并能灵活应用21（13分
24、）如图，四棱锥PABCD中，PD底面ABCD，ABDC，ADDC，ABAD1，DC2，PD，M为棱PB的中点（1）证明：DM平面PBC；（2）求平面ADM与平面CDM夹角的余弦值【分析】（1）连结BD，取DC的中点G，连结BG，由已知条件推导出BCDM，DMPB，由此能证明DM平面SDC；（2）以D为原点，DA为x轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角ADMC的余弦值【解答】（1）证明：连结BD，取DC的中点G，连结BG，由题意知DGGCBG1，即DBC是直角三角形，BCBD，又PD平面ABCD，BCPD，BC平面BDP，BCDM，又PDBD，PDBD，M为PB的中点，DMPB，PBB
25、CB，DM平面PDC（2）以D为原点，DA为x轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则A（1，0，0），B（1，1，0），C（0，2，0），P（0，0，），M（，），设平面ADM的法向量，由，取，得，设平面ADM的法向量，由，取，得cos，二面角ADMC的平面角是钝角，二面角ADMC的余弦值为【点评】本题考查直线与平面垂直的判定，考查空间想象能力与思维能力，训练了利用空间向量求解二面角的大小，是中档题22（15分）已知椭圆1（ab0）的两个焦点分别为F1，F2，A为上端点，P为椭圆上任一点（与左、右顶点不重合）（1）若AF1AF2，求椭圆的离心率；（2）若P（4，3）且0，求椭圆方程；（3）若存在
26、一点P使F1PF2为钝角，求椭圆离心率的取值范围【分析】（1）由AF1AF2，据对称性，F1AF2为等腰直角三角形，即AOOF2，从而得到bc，结合a2b2+c2可求椭圆的离心率；（2）由点的坐标求得的坐标，代入0求得c的值，再由P（4，3）在椭圆上联立方程组求得a2，b2的值，则椭圆方程可求；（3）由F1PF2为钝角，得到有解，转化为有解，求出的最小值后求得椭圆离心率的取值范围【解答】解：（1）如图，若AF1AF2，据对称性，F1AF2为等腰直角三角形，即AOOF2，即bc，故；（2）设F1（c，0），F2（c，0），则有，（4c）（4+c）+90，即c225，又，解得，即椭圆方程为；（3）设P（x0，y0），则|x0|a，即，又F1PF2（0，）若F1PF2为钝角，当且仅当有解，即有解，即又，即故c2b2，c2a2c2，即，又0e1，【点评】本题考查了直线与圆锥曲线的关系，考查了平面向量数量积在解题中的应用，体现了数学转化思想方法，解答此题的关键在于把存在一点P使F1PF2为钝角转化为有解，是压轴题
