2018-2019学年陕西省渭南市临渭区高二(上)期末数学试卷(理科)含详细解答

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资源描述

1、2018-2019学年陕西省渭南市临渭区高二(上)期末数学试卷(理科)一、选择题(本大共12小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1(5分)不等式的解集是()A(,2)B3,+)C(2,3)D(,2)3,+)2(5分)数列2,5,11,20,x,47,中的x等于()A28B27C33D323(5分)记Sn为等差数列an的前n项和若a4+a524,S648,则an的公差为()A1B2C4D84(5分)若双曲线的离心率为,则其渐近线方程为()ABCD5(5分)设p:1x2,q:2x1,则p是q成立的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充分必要条件D既不充

2、分也不必要条件6(5分)在各项均为正数的等比数列an中,则数列log2an的前7项和等于()A7B8C27D287(5分)设ABC的三内角A、B、C成等差数列,sinA、sinB、sinC成等比数列,则这个三角形的形状是()A直角三角形B钝角三角形C等腰直角三角形D等边三角形8(5分)已知正数x、y满足x2+2xy30,则2x+y的最小值是()A1B3C6D129(5分)(理) 空间三点A(0,1,0),B(2,2,0),C(1,3,1),则()A与是共线向量B的单位向量是(1,1,0)C与夹角的余弦值D平面ABC的一个法向量是(1,2,5)10(5分)已知抛物线y24x的焦点为F,准线为l,

3、点P为抛物线上一点,且在第一象限,PAl,垂足为A,若|PF|4,则直线AF的倾斜角为()ABCD11(5分)一个椭圆中心在原点,焦点F1,F2在x轴上,P(2,)是椭圆上一点,且|PF1|、|F1F2|、|PF2|成等差数列,则椭圆方程为()A+1B+1C+1D+112(5分)已知F1,F2是双曲线E:1(a0,b0)的左、右焦点,点M在E上,MF1与x轴垂直,sinMF2F1,则E的离心率为()A2BCD二、填空题(本大题共5小题每小题5分,共25分)13(5分)已知ABC中,a8,b7,B60,则c 14(5分)双曲线的一个焦点到其渐近线的距离是 15(5分)设实数x、y满足约束条件,则

4、z2x+y的最小值和最大值的和为 16(5分)若向量,且与的夹角为钝角,则实数x的取值范围是 17(5分)若直线yx+t与抛物线y24x交于两个不同的点A、B,且弦AB中点的横坐标为3,则t 三、解答题(本大题共5小题,共65分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)18(12分)已知关于x的不等式ax23x+20的解集为x|x1或xb(1)求a,b的值(2)当cR时,解关于x的不等式ax2(ac+b)x+bc019(12分)已知数列an的前n项和(1)求数列an的通项公式;(2)令,求数列bn的前n项和Tn20(13分)在ABC中,内角A、B、C的对边分别为a、b、c,且acosB+bsi

5、nAc(1)求角A的大小;(2)若a2,ABC的面积为,求b+c的值21(13分)如图,四棱锥PABCD中,PD底面ABCD,ABDC,ADDC,ABAD1,DC2,PD,M为棱PB的中点(1)证明:DM平面PBC;(2)求平面ADM与平面CDM夹角的余弦值22(15分)已知椭圆1(ab0)的两个焦点分别为F1,F2,A为上端点,P为椭圆上任一点(与左、右顶点不重合)(1)若AF1AF2,求椭圆的离心率;(2)若P(4,3)且0,求椭圆方程;(3)若存在一点P使F1PF2为钝角,求椭圆离心率的取值范围2018-2019学年陕西省渭南市临渭区高二(上)期末数学试卷(理科)参考答案与试题解析一、选

6、择题(本大共12小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1(5分)不等式的解集是()A(,2)B3,+)C(2,3)D(,2)3,+)【分析】将分式不等式转化为一元二次不等式,进行求解即可【解答】解:不等式等价为(3x)(x+2)0,即(x3)(x+2)0,得2x3,即不等式的解集为(2,3),故选:C【点评】本题主要考查分式不等式的求解,利用转化转化为一元二次不等式是解决本题的关键2(5分)数列2,5,11,20,x,47,中的x等于()A28B27C33D32【分析】本题可先用加、减、乘、除等对数列对已知几项进行拆分研究,发现规律后,再运用规律解决问

7、题【解答】解:数列的前几项为2,5,11,20,x,47,其中523,115620119,猜想:x2012,47x15,而x32时,正好满足上述要求故选:D【点评】本题考查的是数列知识,实质是要发现这列数的规律,要注意本题的规律不唯一3(5分)记Sn为等差数列an的前n项和若a4+a524,S648,则an的公差为()A1B2C4D8【分析】利用等差数列通项公式及前n项和公式列出方程组,求出首项和公差,由此能求出an的公差【解答】解:Sn为等差数列an的前n项和,a4+a524,S648,解得a12,d4,an的公差为4故选:C【点评】本题考查等差数列公式的求法及应用,是基础题,解题时要认真审

8、题,注意等差数列的性质的合理运用4(5分)若双曲线的离心率为,则其渐近线方程为()ABCD【分析】由e结合c2a2+b2可得,从而得渐近线方程【解答】解:,yx故选:D【点评】本题主要考查了双曲线方程和简单性质,解答关键是利用c2a2+b25(5分)设p:1x2,q:2x1,则p是q成立的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件【分析】运用指数函数的单调性,结合充分必要条件的定义,即可判断【解答】解:由1x2可得22x4,则由p推得q成立,若2x1可得x0,推不出1x2由充分必要条件的定义可得p是q成立的充分不必要条件故选:A【点评】本题考查充分必要条件的判断,

9、同时考查指数函数的单调性的运用,属于基础题6(5分)在各项均为正数的等比数列an中,则数列log2an的前7项和等于()A7B8C27D28【分析】直接利用对数关系式的运算和等比数列的性质的应用求出结果【解答】解:各项均为正数公比为q的等比数列an中,则:,所以:,即:a42,所以:T7log2a1+log2a2+log2a7,log2(a1a2a7),7故选:A【点评】本题考查的知识要点:等比数列的通项公式的应用,对数列运算的应用,主要考查学生的运算能力和转化能力,属于基础题型7(5分)设ABC的三内角A、B、C成等差数列,sinA、sinB、sinC成等比数列,则这个三角形的形状是()A直

10、角三角形B钝角三角形C等腰直角三角形D等边三角形【分析】先由ABC的三内角A、B、C成等差数列,求得B60,A+C120;再由sinA、sinB、sinC成等比数列,得sin2BsinAsinC,结合即可判断这个三角形的形状【解答】解:ABC的三内角A、B、C成等差数列,B60,A+C120;又sinA、sinB、sinC成等比数列,sin2BsinAsinC,由得:sinAsin(120A)sinA(sin120cosAcos120sinA)sin2A+sin2Acos2A+sin(2A30)+,sin(2A30)1,又0A120A60故选:D【点评】本题考查数列与三角函数的综合,关键在于求

11、得B60,A+C120,再利用三角公式转化,着重考查分析与转化的能力,属于中档题8(5分)已知正数x、y满足x2+2xy30,则2x+y的最小值是()A1B3C6D12【分析】用x表示y,得到2x+y关于x的函数,利用基本不等式得出最小值【解答】解:x2+2xy30,y,2x+y2x+23当且仅当即x1时取等号故选:B【点评】本题考查了基本不等式的应用,属于基础题9(5分)(理) 空间三点A(0,1,0),B(2,2,0),C(1,3,1),则()A与是共线向量B的单位向量是(1,1,0)C与夹角的余弦值D平面ABC的一个法向量是(1,2,5)【分析】A:根据题意两个向量的坐标表示,可得分别写

12、出,所以不共线B:结合题意可得:的单位向量为:或C:根据题意分别写出两个向量的坐标表示,再结合向量的数量积公式求出两个向量夹角的余弦值D:设平面ABC的一个法向量是,利用,可得x:y:z1:(2):5【解答】解:A:(2,1,0),(1,2,1),所以,所以不共线,所以A错误B:因为(2,1,0),所以的单位向量为:或,所以B错误C:(2,1,0),所以cos,所以C错误D:设平面ABC的一个法向量是,因为(2,1,0),(1,2,1),所以,即,所以x:y:z1:(2):5,所以D正确故选:D【点评】本题主要考查向量之间的运算,即向量坐标形式的数量积运算、向量坐标形式的共线与利用向量的数量积

13、运算求平面的法向量10(5分)已知抛物线y24x的焦点为F,准线为l,点P为抛物线上一点,且在第一象限,PAl,垂足为A,若|PF|4,则直线AF的倾斜角为()ABCD【分析】利用抛物线的定义,|PF|PA|,设F在l上的射影为F,依题意,可求得点P的坐标,从而可求得|AF|,可求得点A的坐标,代入斜率公式,从而可求得直线AF的倾斜角【解答】解:抛物线y24x的焦点为F,准线为l,|PF|PA|,F(1,0),准线l的方程为:x1,设F在l上的射影为F,又PAl,设P(m,n),依|PF|PA|得,m+14,解得m3,n2,PAx轴,点A的纵坐标为2,点A的坐标为(1,2),则直线AF的斜率,

14、则有直线AF的倾斜角等于故选:C【点评】本题考查抛物线的定义、方程和简单性质,考查转化思想,考查解三角形的能力,属于中档题11(5分)一个椭圆中心在原点,焦点F1,F2在x轴上,P(2,)是椭圆上一点,且|PF1|、|F1F2|、|PF2|成等差数列,则椭圆方程为()A+1B+1C+1D+1【分析】由于|PF1|,|F1F2|,|PF2|成等差数列,及P是椭圆上的一点,可得2|F1F2|PF2|+|PF1|2a,即可得到a2c,又P(2,)是椭圆上一点,利用待定系数法即可【解答】解:|PF1|,|F1F2|,|PF2|成等差数列,P是椭圆上的一点,2|F1F2|PF2|+|PF1|2a,a2c

15、设椭圆方程为,则解得a2,c,b26故椭圆的方程为+1故选:A【点评】本题考查椭圆的标准方程与性质,考查待定系数法的运用,正确设出椭圆的方程是关键12(5分)已知F1,F2是双曲线E:1(a0,b0)的左、右焦点,点M在E上,MF1与x轴垂直,sinMF2F1,则E的离心率为()A2BCD【分析】根据双曲线的定义,结合直角三角形的勾股定理建立方程关系进行求解即可【解答】解:MF1与x轴垂直,sinMF2F1,设MF1m,则MF23m,由双曲线的定义得3mm2a,即ma,在直角三角形MF2F1中,9m2m24c2,即2m2c2,即2a2c2,则e,故选:D【点评】本题主要考查双曲线离心率的计算,

16、根据双曲线的定义结合直角三角形的勾股定理,结合双曲线离心率的定义是解决本题的关键二、填空题(本大题共5小题每小题5分,共25分)13(5分)已知ABC中,a8,b7,B60,则c3或5【分析】利用余弦定理得出b2a2+c22accosB,把已知a,b及B的度数代入,利用特殊角的三角函数值化简,得出关于c的一元二次方程,求出方程的解即可得到c的值【解答】解:a8,b7,B60,根据余弦定理b2a2+c22accosB,得:7282+c216ccos60,整理得:c28c+150,解得:c3或c5,故答案为:3或5【点评】此题考查了余弦定理,一元二次方程的解法,以及特殊角的三角函数值,余弦定理很好

17、的建立了三角形的边角关系,熟练掌握余弦定理是解本题的关键14(5分)双曲线的一个焦点到其渐近线的距离是3【分析】由双曲线得a216,b29,可得取焦点F及其渐近线y再利用点到直线的距离公式即可得出【解答】解:由双曲线得a216,b29,5取焦点F(5,0),其渐近线y焦点F(5,0)到渐近线的距离d3故答案为3【点评】熟练掌握双曲线的标准方程及其性质、点到直线的距离公式是解题的关键15(5分)设实数x、y满足约束条件,则z2x+y的最小值和最大值的和为14【分析】作出不等式组对应的平面区域,利用目标函数的几何意义,利用数形结合确定z的最大值【解答】解:作出不等式组对应的平面区域如图:(阴影部分

18、)由z2x+y得y2x+z平移直线y2x+z,由图象可知当直线y2x+z经过点A(3,4)时,直线y2x+z的截距最大,z10直线y2x+z经过点B(1,2)时,直线y2x+z的截距最小,此时z最小即z2x+y的最小值为:z4则z2x+y的最小值和最大值的和为:14故答案为:14【点评】本题主要考查线性规划的应用,结合目标函数的几何意义,利用数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法16(5分)若向量,且与的夹角为钝角,则实数x的取值范围是(1,)【分析】由向量,且与的夹角为钝角,得3x+2x252x23x50,由此能求出实数x的取值范围【解答】解:向量,且与的夹角为钝角,3x+2x252x2

19、3x50,解得1x,实数x的取值范围是(1,)故答案为:(1,)【点评】本题考查实数的取值范围的求法,考查向量的数量积公式等基础知识,考查运算求解能力,是基础题17(5分)若直线yx+t与抛物线y24x交于两个不同的点A、B,且弦AB中点的横坐标为3,则t1【分析】设A(x1,y1),B(x1,y2),线段AB的中点为M(3,m)利用“点差法”即可得到m,代入直线方程即可得到t【解答】解:设A(x1,y1),B(x1,y2),线段AB的中点为M(3,m),把A,B的坐标代入抛物线方程得,两式相减得(y1+y2)(y1y2)4(x1x2),得2m14,解得m223+t,解得t1故答案为1【点评】

20、熟练掌握“点差法”、斜率计算公式、中点坐标公式是解题的关键三、解答题(本大题共5小题,共65分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)18(12分)已知关于x的不等式ax23x+20的解集为x|x1或xb(1)求a,b的值(2)当cR时,解关于x的不等式ax2(ac+b)x+bc0【分析】(1)由一元二次不等式与一元二次方程的关系,可得1和b是相应方程的两个实数根,由根与系数的关系建立关于a、b的方程组,解之即可得到实数a、b的值(2)由(1)的结论,所求不等式即x2(c+2)x+2c0,再讨论实数c与2的大小关系,即可得到不等式在各种情况下的解集,得到本题答案【解答】解:(1)根据题意,不

21、等式ax23x+20的解集为x|x1或xb,即1、b是方程ax23x+20的两根,则有,解可得,(2)由(1)的结论,a1,b2;原不等式即x2(c+2)x+2c0;即(x2)(xc)0,方程x2(c+2)x+2c0有两根,2和c,当c2时,不等式的解集为x|2xc,当c2时,不等式的解集为x|cx2,当c2时,不等式的解集为综合可得:当c2时,不等式的解集为x|2xc,当c2时,不等式的解集为x|cx2,当c2时,不等式的解集为【点评】本题考查一元二次不等式的解法,涉及一元二次不等式的解集与一元二次方程的根的关系,关键是求出a、b的值19(12分)已知数列an的前n项和(1)求数列an的通项

22、公式;(2)令,求数列bn的前n项和Tn【分析】(1)利用anSnSn1,验证数列的第一项,即可求解通项公式即可(2)化简数列的通项公式,利用裂项相消法求解数列的和即可【解答】解:(1)当n1时,a1S13;当n2时,a13也符合,数列an的通项公式为an2n+1(2),【点评】本题考查数列的通项公式的求法,裂项相消法求解数列的和,考查计算能力20(13分)在ABC中,内角A、B、C的对边分别为a、b、c,且acosB+bsinAc(1)求角A的大小;(2)若a2,ABC的面积为,求b+c的值【分析】(1)由acosB+bsinAc,结合正弦定理及两角和的正弦公式及同角基本关系可求tanA,即

23、可求解A(2)由(1)中的A及三角形的面积公式可求bc,然后结合余弦定理可求b+c【解答】解:(1)acosB+bsinAc,由正弦定理可得,sinAcosB+sin BsinAsinCsin(A+B),sinAcosB+sin BsinAsinAcosB+sinBcosA,sin BsinAsinBcosA,sinB0,sinAcosA,即tanA10A,A;(2)A,ABC的面积为,bc2,a2,由余弦定理可得,cos,b+c【点评】本题主要考查了正弦定理,余弦定理,两角和的正弦公式,同角基本关系及三角形的面积公式的等知识的简单综合应用,解题的关键是熟练掌握基本公式并能灵活应用21(13分

24、)如图,四棱锥PABCD中,PD底面ABCD,ABDC,ADDC,ABAD1,DC2,PD,M为棱PB的中点(1)证明:DM平面PBC;(2)求平面ADM与平面CDM夹角的余弦值【分析】(1)连结BD,取DC的中点G,连结BG,由已知条件推导出BCDM,DMPB,由此能证明DM平面SDC;(2)以D为原点,DA为x轴,建立空间直角坐标系,利用向量法能求出二面角ADMC的余弦值【解答】(1)证明:连结BD,取DC的中点G,连结BG,由题意知DGGCBG1,即DBC是直角三角形,BCBD,又PD平面ABCD,BCPD,BC平面BDP,BCDM,又PDBD,PDBD,M为PB的中点,DMPB,PBB

25、CB,DM平面PDC(2)以D为原点,DA为x轴,建立如图所示的空间直角坐标系,则A(1,0,0),B(1,1,0),C(0,2,0),P(0,0,),M(,),设平面ADM的法向量,由,取,得,设平面ADM的法向量,由,取,得cos,二面角ADMC的平面角是钝角,二面角ADMC的余弦值为【点评】本题考查直线与平面垂直的判定,考查空间想象能力与思维能力,训练了利用空间向量求解二面角的大小,是中档题22(15分)已知椭圆1(ab0)的两个焦点分别为F1,F2,A为上端点,P为椭圆上任一点(与左、右顶点不重合)(1)若AF1AF2,求椭圆的离心率;(2)若P(4,3)且0,求椭圆方程;(3)若存在

26、一点P使F1PF2为钝角,求椭圆离心率的取值范围【分析】(1)由AF1AF2,据对称性,F1AF2为等腰直角三角形,即AOOF2,从而得到bc,结合a2b2+c2可求椭圆的离心率;(2)由点的坐标求得的坐标,代入0求得c的值,再由P(4,3)在椭圆上联立方程组求得a2,b2的值,则椭圆方程可求;(3)由F1PF2为钝角,得到有解,转化为有解,求出的最小值后求得椭圆离心率的取值范围【解答】解:(1)如图,若AF1AF2,据对称性,F1AF2为等腰直角三角形,即AOOF2,即bc,故;(2)设F1(c,0),F2(c,0),则有,(4c)(4+c)+90,即c225,又,解得,即椭圆方程为;(3)设P(x0,y0),则|x0|a,即,又F1PF2(0,)若F1PF2为钝角,当且仅当有解,即有解,即又,即故c2b2,c2a2c2,即,又0e1,【点评】本题考查了直线与圆锥曲线的关系,考查了平面向量数量积在解题中的应用,体现了数学转化思想方法,解答此题的关键在于把存在一点P使F1PF2为钝角转化为有解,是压轴题

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