1、专题三几何多解题类型一 图形的折叠与剪拼 (2017安徽)在三角形纸片ABC中，A90，C30，AC30 cm.将该纸片沿过点B的直线折叠，使点A落在斜边BC上的一点E处，折痕记为BD(如图1)，剪去CDE后得到双层BDE(如图2)，再沿着过BDE某顶点的直线将双层三角形剪开，使得展开后的平面图形中有一个是平行四边形，则所得平行四边形的周长为_cm.【分析】 由轴对称得ADBEDB，由已知可求AD，AB，BD，考虑到三角形BDE中DEB90，DBE30，EDB60，故沿BD上的中线或EDB的平分线剪开可得平行四边形，且都为菱形，求出周长即可【自主解答】 【方法点拨】动手操作这类题常见的方法是学
2、会自觉地运用数学知识去观察、分析、抽象、概括所给的实际问题，揭示其数学本质，并转化为我们熟悉的数学问题，如本题所给的直角三角形比较特殊，其次，一般选择角平分线、中线等常见的考查对象入手【难点突破】抓住BDE是直角三角形，且B30，D60，从而想到沿BD上的中线或EDB的平分线这两种特殊情况剪开才会有一个四边形是平行四边形1如图，在RtABC中，ACB90，B30，AC2，E为斜边AB的中点，点P在射线BC上，连接AP，PE，将AEP沿着边PE折叠，折叠后得到EPA，当折叠后EPA与BEP重叠部分的面积恰好为ABP面积的四分之一时，BP的长为_2如图，在矩形ABCD中，AB5，BC7，点E为BC
3、上一动点，把ABE折叠，当点B的对应点B落在ADC的平分线上时，点B到BC的距离为_3(2019安庆一模)如图，ABC是一张等腰三角形纸片，且ABAC6，BC4，将ABC沿着某条过一个顶点的直线折叠，打开后再沿着所得到的折痕剪开，若剪开后的两个三角形能够拼成一个与原ABC不全等的新三角形，则折痕的长为_4如图，把一张矩形纸片对折两次(折痕互相垂直且交点为O)，然后剪下一个角，为了得到一个锐角为50的菱形，剪口与折痕所成角的度数为_5(2019宿州泗县一模)已知在矩形ABCD中，AB6，BC10，沿着过矩形顶点的一条直线将B折叠，使点B的对应点B落在矩形的边上，则折痕长为_6(2019合肥长丰县
4、二模)如图，矩形ABCD中，AD9，AB15.点E为射线DC上的一个动点，将ADE沿着AE折叠，当ADB为直角三角形时，DE的长为_7(2019河南)如图，在矩形ABCD中，AB1，BCa，点E在边BC上，且BEa.连接AE，将ABE沿AE折叠，若点B的对应点B落在矩形ABCD的边上，则a的值为_8(2019黑龙江)一张直角三角形纸片ABC，ACB90，AB10，AC6，点D为BC边上任一点，沿过点D的直线折叠，使直角顶点C落在斜边AB上的点E处，当BDE是直角三角形时，CD的长为_9如图，在菱形ABCD中，DAB45，AB4，点P为线段AB上一个动点，过点P作PEAB交直线AD于点E，沿PE
5、将A折叠，点A的对应点为F，连接EF，DF，CF.当CDF为等腰三角形时，AP_10(2019合肥瑶海区一模)如图，有一张面积为12的锐角三角形纸片，其中一边BC为4，把它剪两刀拼成一个无缝隙、无重叠的矩形，且矩形的一边与BC平行，则矩形的周长为_11(2019合肥庐阳区一模)如图，正方形ABCD的边长是16，点E在边AB上，AE3，点F是边BC上不与点B，C重合的一个动点，把EBF沿EF折叠，点B落在B处若CDB恰为等腰三角形，则DB的长为_类型二 图形的平移与旋转1已知正方形ABCD的边长为8，E为平面内任意一点，连接DE，将线段DE绕点D顺时针旋转90得到DG，当点B，D，G在一条直线上
6、时，若DG2，则CE的长为_2如图，在RtABC中，B90，ABBC，斜边AC上的一点D满足ADAB.将线段AC绕点A逆时针旋转(0360)，得到线段AC，连接DC，当DCBC时，旋转角度的值为_3如图，在ABC中，ACB90，BAC20，点O是AB的中点，将OB绕点O顺时针旋转(0180)时得到OP，当ACP为等腰三角形时，的值为_4如图，在ABC中，ACBC，且AC4，BC2，将线段AB向上平移m个单位长度得到AB.若ABC为等腰三角形，则m的值为_5如图，将边长为12的正方形ABCD沿其对角线AC剪开，再把ABC沿着AD方向平移，得到ABC，当两个三角形重叠部分(阴影部分)的面积为32时
7、，它移动的距离AA等于_类型三 特定条件 (2018安徽)矩形ABCD中，AB6，BC8，点P在矩形ABCD的内部，点E在边BC上，满足PBEDBC.若APD是等腰三角形，则PE的长为_【分析】 根据勾股定理求出BD的长，分PDPA，PDDA两种情况，根据相似三角形的性质计算【自主解答】 1(2019芜湖二十九中一模)在ABC中，AB6 cm，点P在AB上，且ACPB.若点P是AB的三等分点，则AC的长是_2(2019芜湖一模)如图所示，已知ADBC，ABC90，AB8，AD3，BC4，点P为AB边上一动点若PAD与PBC相似，则AP_3(2019成都)如图，在平面直角坐标系xOy中，我们把横
8、、纵坐标都是整数的点为“整点”，已知点A的坐标为(5，0)，点B在x轴的上方，OAB的面积为，则OAB内部(不含边界)的整点的个数为_4(2019哈尔滨)在ABC中，A50，B30，点D在AB边上，连接CD，若ACD为直角三角形，则BCD的度数为_度5(2019蚌埠二模)如图，在RtABC中，C90，AC3，BC4，点E，F分别在边BC，AC上，沿EF所在的直线折叠C，使点C的对应点D恰好落在边AB上，若EFC和ABC相似，则AD的长为_6(2020原创)如图，在钝角三角形ABC中，AB6 cm，AC12 cm，点D，E分别在边AB，AC上，且EC2AD.当以点A，D，E为顶点的三角形与ABC
9、相似时，AD的长为_7(2020原创)如图，在RtABC中，C90，AC12，BC6，射线ADAC，点P，Q分别在AC，AD上，当ABC和QPA全等时，AP的长为_8(2019六安霍邱三校二模)如图，在RtABC中，C90，AC6，BC8，P，Q分别为边BC，AB上的两个动点若要使APQ是等腰三角形且BPQ是直角三角形，则AQ_9(2019安徽模拟)如图，已知等边三角形ABC中，AB2，将ABC绕点A顺时针旋转60，得到ADB，点E是ABC某边的一点，当ABE为直角三角形时，连接DE，作BFDE于F，那么BF的长度是_参考答案【专题类型突破】类型一【例1】 由已知可知ADBEDB，又A90，C
10、30，ABDEBDC30，则CDBD，设ADDEx，则CD30x.在RtABD中，sin 30，解得x10.BD20，AB10.取BD的中点F，连接EF，沿EF剪开所得平行四边形是菱形，其边长为10，故周长为40 cm；作EDB的平分线DM，沿DM剪开所得平行四边形是菱形，边长DM，故周长为4 (cm)，故答案为40或.跟踪训练12或22.2或13.或4 【解析】解图1如解图1，过点A作ADBC于点D，沿AD剪开后的两个三角形能够拼成一个与原ABC不全等的新三角形，ABAC，BDCDBC2.AD4.如解图2，作AC边上的中线BE，过点B作BHAC于点H，沿BE剪开后的两个三角形能够拼成一个与原
11、ABC不全等的新三角形，设CHx，则AH6x，解图2由勾股定理得，BC2CH2AB2AH2，42x262(6x)2.解得：x.BH.EH3CH.BE.折痕的长为或4.故答案为或4.425或655.6或解图163或27 【解析】分两种情况：当点E在线段DC上时，如解图1所示，BDA90，在RtBDA中，BD12.EDA90，E、D、B三点共线设DEx，则EC15x，BE12x，在RtBEC中，利用勾股定理可得(12x)2(15x)292，解得x3，即DE3.当E点在DC延长线上时，如解图2所示，ADB90，解图2根据折叠的对称性可知ADE90，E、B、D三点共线在RtBDA中，BD12.设DEx
12、，则CEx15，BEx12，在RtBCE中，利用勾股定理可得(x12)2(x15)292，解得x27，即DE27.故答案为3或27.7.或【解析】分两种情况：当点B落在AD边上时，如解图1，四边形ABCD是矩形，解图1BADB90.将ABE沿AE折叠，点B的对应点B落在AD边上，BAEBAEBAD45，ABBE.a1，a.解图2当点B落在CD边上时，如解图2，四边形ABCD是矩形，BADBCD90，ADBCa.将ABE沿AE折叠，点B的对应点B落在CD边上，ABEB90，ABAB1，EBEBa.DB，ECBCBEaaa.在ADB与BCE中，ADBBCE.，即.解得a1，a20(舍去)综上，所求
13、a的值为或，故答案为或.第8题解图183或【解析】分两种情况：如解图1，若DEB90，则AED90C，连接AD，则RtACDRtAED，CDED，AEAC6，BE1064.设CDDEx，则BD8x，在RtBDE中，DE2BE2BD2，x242(8x)2，解得x3.CD3.如解图2，若BDE90，则CDEDEFC90，CDDE，四边形CDEF是正方形第8题解图2AFEEDB90，AEFB.AEFEBD.设CDx，则EFDEx，AF6x，BD8x，解得x.CD.综上所述，CD的长为3或，故答案为3或.92或1或210.14或1611.16或4类型二12或22.15或255340或70或1004.2
14、或3或225.4或8类型三【例2】 分两种情况讨论：如解图1，边AD的垂直平分线与BD，BC分别交于点P，E，则APD为等腰三角形，且PECD，PBEDBC.易知PE是DBC的中位线，PECD3.如解图2，以点D为圆心，AD长为半径画弧交BD于点P，过点P作PEBC于点E，则APD是等腰三角形由勾股定理，得BD10，则BPBDDP1082.由PECD可知PBEDBC，则，即，解得PE.综上所述，PE的长为3或. 图1 图2跟踪训练12 cm或2 cm2.或2或634或5或6【解析】设B(m，n)，点A的坐标为(5，0)，OA5.OAB的面积5n，n3.可知：当2m3时，有6个整数点；当3m时，
15、有5个整数点；当m3时，有4个整数点，可知有6个或5个或4个整数点故答案为4或5或6.460度或10【解析】分两种情况：如解图1，当ADC90时，B30，BCD903060；如解图2，当ACD90时，A50，B30，ACB1803050100.BCD1009010.综上，BCD的度数为60或10.故答案为：60度或10. 解图1 解图25.或【解析】若CEF与ABC相似，分两种情况：若CFCE34，连接CD，如解图1，CFCEACBC，EFAB.由折叠性质可知，CDEF，CDAB，即此时CD为AB边上的高在RtABC中，ACB90，AC3，BC4，AB5.cos A.ADACcos A3. 解图1 解图2若CECF34，CEFCBA，CEFA.连接CD，如解图2所示，由折叠性质可知，CEFECD90，又AB90，BECD.BDCD.同理可得：AFCD，CDAD，点D为AB的中点ADAB.故答案为或.63或4.87.6或128.或9.或【解析】分两种情况：点E在BC上，如解图1，E是BC的中点，BE1，AE.根据等边三角形的性质可知DABC，DAE90，DBE的面积ABE的面积，DEBFBEAE.DE，BF. 解图1 解图2点E在AC上，如解图2，E是AC的中点，可求出DE，DBE90，DBE的面积为BFDEBDBE.BFDE，可得BF.故答案为或.
