2019安徽中考数学专题训练:圆的综合题(含解析)

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1、 圆的综合题1.如图,在ABC 中,以 BC 为直径的O 交 AB 于点 D,AE 平分BAC交 BC 于点 E,交 CD 于点 F,且 CECF.(1)求证:直线 CA 是O 的切线;(2)若 BD DC,求 的值43 CFD第 1 题图(1)证明:CECF,CEFCFE,AFD CFE,CEFAFD.BC 是O 的直径,DC AB,即ADC90,DAF AFD 90.AE 平分 BAC,DAF EAC,EACAEC90,ACB90,即 ACBC,OC 是O 的半径,直线 CA 是O 的切线;(2)解:如解图,过点 F 作 FGAC 于点 G,第 1 题解图B BCD90,BCDACD90,

2、ACDB.AE 平分 BAC,FGDF,BD DC,BC CD,43 2CDB53在 RtBCD 中,sinB ,35在 RtCFG 中,sin FCG sin B ,FCG35 .CFDG352. 如图,O 是ABC 的外接圆,AB 为直径, ODBC 交O 于点 D,交 AC 于点 E,连接 AD,BD,CD.(1)求证:ADCD;(2)若 AB 10,cos ABC ,求 tanDBC 的值35第 2 题图(1)证明:AB 为O 直径,ACB90.又ODBC,AEO ACB90,ODAC,AD CD;(2)解:AB 10,OA OD AB5,12ODBC,AOE ABC.在 RtAEO

3、中,OE OAcosAOEOAcosABC5 3,35DE OD OE 532.由勾股定理得,AE 4,2OEA52 32在 RtAED 中,tan DAE .D24 12又DBCDAE ,tanDBC .123. 如图,点 A,B, C 在 O 上,连接 PA,PB 分别与O 相切于 A,B两点,ACB60.(1)求P 的度数;(2)若O 的半径长为 4 cm,求图中阴影部分的面积第 3 题图解:(1)如解图,连接 OA,OB,第 3 题解图PA,PB 分别与O 相切于 A,B 两点,PAO 90,PBO90,AOB P180 ,AOB 2ACB120,P 60;(2)如解图,连接 OP,P

4、A,PB 分别与O 相切于 A,B 两点,APO APB 30.12在 RtAPO 中,tan 30 ,APO则 AP ,30tanOAOA 4 cm,AP4 cm.3阴影部分的面积为 2( 44 )(16 12 3 60423) cm2. 1634.如图所示,AB 为0 的直径,PD 切0 于点 C,与 BA 的延长线交于点D,DEPO 交 PO 延长线于点 E,连接 PB,EDB=EPB.(1)求证:PB 是O 的切线 ;(2)若 PB=6,DB=8,求 O 的半径.第 4 题图(1)证明:DEPE,E =90,DOE+EDO =90,EDB+ EPB,DOE=POB ,EPB+POB=9

5、0,OBP=90 ,OB PB,OB 为O 的半径,PB 是O 的切线;(2)解:设O 的半径为 x,则 OD=8-x,由(1)得PBD =90,在 RtPBD 中,PD= =10,2BDPPD 为O 的切线,OCPD,S POD = PDOC= ODPB,即 10x=6(8-x),2121解得 x=3,O 的半径为 3.5. 如图,P 为O 外一点,PA、PB 为O 的切线,A 和 B 为切点,AC为直径,连接 BC, PO(1)求证:BCPO;(2)若 AP 8,BC 7.2,求 PO 的长第 5 题图(1)证明:如解图,连接 AB 交 OP 于点 M,连接 BO,第 5 题解图PA,PB

6、 是O 的切线,PAPB,OA OB,PO 垂直平分 AB,AMO 90,AC 是O 的直径,CBA90,CBAAMO,BCOP;(2)解:由(1)知 PO 垂直平分 AB,ABOP,AM BM,OA OC,OM 为ABC 的中位线,OM BC3.6,12PAO PMA 90 ,APOMPA,PAO PMA, ,即 ,PAOM6.38PO解得 PO10.6.如图,AD 是O 的切线,切点为 A,AB 是 O 的弦.过点 B 作 BC/AD,交O 于点 C,连接 AC,过点 C 作 CD/AB,交 AD 于点 D.连接 AO 并延长交BC 于点 M,交过点 C 的直线于点 P,且BCP=ACD.

7、(1)判断直线 PC 与O 的位置关系,并说明理由;(2)若 AB=9, BC=6.求 PC 的长.第 6 题图解:(1)直线 PC 与O 相切,理由如下:如解图,连接 CO 并延长交O 于点 E,连接 EB,第 6 题解图CE 是O 的直径,EBC=90,E +BCO=90,CD AB,ACD=BAC,BAC=E ,BCP =ACD,E =BCP,BCP+BCO=90 ,即PCO=90,OC PC,OC 是O 的半径,PC 是O 的切线;(2)AD 是O 的切线,OA AD,BCAD,AM BC,BM=CM= BC=3,AC =AB=9,21在 RtAMC 中,由勾股定理得 =6 ,2CMA

8、设 OC=r,则 OM=6 -r,在 RtOMC 中,由勾股定理得 ,即 ,22O2236r解得 ,即 ,827r827OCOM=6 - = ,28721OC PC,MCP +MCO=90,又AMBC ,MOC+MCO=90,MOC=MCP,OMC=CMP,OMCCMP, ,即 ,CMOP38217P解得 ,72PC 的长为 .7.如图所示,在ABC 中,AB=AC,以 AB 为直径的O 分别交 AC、BC于点 D,E,点 F 在 AC 的延长线上,且CBF=CAB.21(1)求证:直线 BF 是O 的切线;(2)若 AB=5,BC =2 ,求 cosCBF.5第 7 题图(1)证明:如解图,

9、连接 AE,第 7 题解图AB 为O 的直径,AEB=90,AB=AC,BAE= CAB,21又CBF= CAB,BAE=CBF,EAB+ABE=90,CBF+ABC=90,即ABF=90,ABBF,又AB 为 O 的直径,直线 BF 为O 的切线;(2)由(1)得BAE=CBF,AEB =90,cos CBF=cosBAE= ,ABE在 RtABE 中,AB=5,BE= ,5AE= =2 ,2ABcos CBF= .58.如图,PA 、PB 是 O 的切线,A、B 为切点,连接 AO 并延长,交 PB的延长线于点 C,连接 PO,交O 于点 D.(1)求证:PO 平分APC;(2)连接 BD

10、,若C30,求DBP 的大小第 8 题图(1)证明:如解图,连接 OB.第 8 题解图PA、PB 是O 的切线,OA AP,OBBP.OA OB,PO 平分APC ;(2)解:OAAP ,OBBP,CAPOBP90,C30,APC90C903060.PO 平分APC ,OPC APC 6030,12 12POB 90OPC 903060,又ODOB,OBD 是等边三角形,OBD60,DBP 90OBD906030.9.如图,在 RtABC 中,ACB90,以 BC 为直径的O 交 AB 于点 D,E 是 AC 的中点,OE 交 CD 于点 F.(1)若BCD36,BC10,求 的长;BD (2

11、)判断直线 DE 与O 的位置关系,并说明理由;(3)求证:2CE 2ABEF.第 9 题图 (1)解:如解图,连接 OD,第 9 题解图BCD36,BOD2BCD23672,BC 是O 的直径,BC10,OB 5,l 2 ;BD 1807(2)解:DE 是O 的切线;理由如下:BC 是O 的直径,ADC180BDC90,又点 E 是线段 AC 中点,DE ACEC,12在DOE 与COE 中,CEDODOECOE(SSS)ACB90,ODEOCE90,OD 是O 的半径,DE 是O 的切线;(3)证明:由(2)知,DOECOE,OE 是线段 CD 的垂直平分线,点 F 是线段 CD 中点,点

12、 E 是线段 AC 中点,则 EF AD,12BACCAD, ADCACB ,ACDABC,则 ,即 AC2ABAD,ACDB而 AC2CE,AD2EF,(2CE) 2AB2EF ,即 4CE2AB2EF ,2CE 2ABEF .10.如图,点 A,B ,C,D 是直径为 AB 的O 上的四个点,CDBC,AC与 BD 交于点 E.(1)求证:DC 2CEAC;(2)若 AE 2EC,求 的值;AO(3)在(2)的条件下,过点 C 作O 的切线,交 AB 的延长线于点 H,若 SACH9 ,求 EC 的长3第 10 题图(1)证明:CDBC, ,CD BC BDCDAC,DCEACD,CDEC

13、AD, ,CDEADC 2CEAC;(2)解:如解图,连接 OE,设 CEx,第 10 题解图AE2CE,AE2x,ACAECE3x,由(1)知,CD 2x 3x3x 2,CD x,3CD BC,BC x.3AB 是O 的直径,ACB90,在 RtABC 中,根据勾股定理得,AB 2 x,2BCA3OA OB AB x,12 3OB OCBC,BOC 是等边三角形, ,CD BC OC BE,OE OB x,12 32AB 是O 的直径,ADB 90OEB,OE AD,OA OB,AD 2OE x,3 1;OAD(3)解:由(2)知,BOC 是等边三角形,BOC60,CH 是O 的切线,OCH

14、90,CHO30,OH2OC,OHOBBH OCBH,OB BH,OA OBBH,S ACH 3S BOC 9 ,3S BOC 3 ,3S BOC OB2 ( x)23 ,34 34 3 3解得 x 2(舍去)或 x2,EC 的长为 2.11.如图,AB 是O 的直径,C 是圆上一点,BAC 的平分线交O 于点 D,过 D 作 DEAC 交 AC 的延长线于点 E.(1)求证:DE 是O 的切线; (2)若 AB 10,AC 6,求 BD 的长;(3)如图,若 F 是 OA 的中点,FGOA 交直线 DE 于点 G,若FG ,tanBAD ,求O 的半径194 34图 图第 11 题图(1)证

15、明:如解图,连接 OD,第 11 题解图OA OD ,OADODA ,AD 平分BAC ,OADDAE ,ODADAE ,ODAE,ODEAED 180,AED 90,ODE90,ODDE,OD 是O 的半径,DE 是O 的切线;(2)解:如解图,连接 BC,交 OD 于点 N,AB 是O 的直径,BCA90,ODAE,O 是 AB 的中点,ON AC,且 ON AC,12ONB90,且 ON3,OB=5,则 BN4,ND2,BD 2 ;42 22 5(3)解:如解图,设 FG 与 AD 交于点 H, 过点 G 作 GMHD,交HD 于点 M,第 11 题解图H根据题意,设 AB5x,AD4x,则 AF x,54FH AFtanBAD x x,54 34 1516AH x,BADFcos52516HDAD AH4x x x,2516 3916由(1)可知,HDGODA90,在 RtHFA 中,FAHFHA 90,OADODA ,FHA DHG ,DHGHDG,GHGD,MHMD,HM HD x x,12 12 3916 3932FAH AHF 90 ,MHG HGM90,FAH HGM,在 RtHGM 中,HG x,HGMsin53296532FH GH ,194 x x ,1516 6532 194解得 x ,85O 的半径为 =4.582

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