1、 圆的综合题1.如图，在ABC 中，以 BC 为直径的O 交 AB 于点 D，AE 平分BAC交 BC 于点 E，交 CD 于点 F，且 CECF.(1)求证：直线 CA 是O 的切线；(2)若 BD DC，求 的值43 CFD第 1 题图（1）证明：CECF，CEFCFE，AFD CFE，CEFAFD.BC 是O 的直径，DC AB，即ADC90，DAF AFD 90.AE 平分 BAC，DAF EAC，EACAEC90，ACB90，即 ACBC，OC 是O 的半径，直线 CA 是O 的切线；(2)解：如解图，过点 F 作 FGAC 于点 G，第 1 题解图B BCD90，BCDACD90，
2、ACDB.AE 平分 BAC，FGDF，BD DC，BC CD，43 2CDB53在 RtBCD 中，sinB ，35在 RtCFG 中，sin FCG sin B ，FCG35 .CFDG352. 如图，O 是ABC 的外接圆，AB 为直径， ODBC 交O 于点 D，交 AC 于点 E，连接 AD，BD，CD.(1)求证：ADCD；(2)若 AB 10，cos ABC ，求 tanDBC 的值35第 2 题图（1）证明：AB 为O 直径，ACB90.又ODBC，AEO ACB90，ODAC，AD CD；（2）解：AB 10，OA OD AB5，12ODBC，AOE ABC.在 RtAEO
3、中，OE OAcosAOEOAcosABC5 3，35DE OD OE 532.由勾股定理得，AE 4，2OEA52 32在 RtAED 中，tan DAE .D24 12又DBCDAE ，tanDBC .123. 如图，点 A，B， C 在 O 上，连接 PA，PB 分别与O 相切于 A，B两点，ACB60.(1)求P 的度数；(2)若O 的半径长为 4 cm，求图中阴影部分的面积第 3 题图解：(1)如解图，连接 OA，OB，第 3 题解图PA，PB 分别与O 相切于 A，B 两点，PAO 90，PBO90，AOB P180 ，AOB 2ACB120，P 60；(2)如解图，连接 OP，P
4、A，PB 分别与O 相切于 A，B 两点，APO APB 30.12在 RtAPO 中，tan 30 ，APO则 AP ，30tanOAOA 4 cm，AP4 cm.3阴影部分的面积为 2( 44 )(16 12 3 60423) cm2. 1634.如图所示,AB 为0 的直径,PD 切0 于点 C,与 BA 的延长线交于点D,DEPO 交 PO 延长线于点 E,连接 PB,EDB=EPB.(1)求证:PB 是O 的切线 ;(2)若 PB=6,DB=8,求 O 的半径.第 4 题图（1）证明：DEPE，E =90，DOE+EDO =90，EDB+ EPB,DOE=POB ，EPB+POB=9
5、0，OBP=90 ，OB PB，OB 为O 的半径，PB 是O 的切线；（2）解：设O 的半径为 x，则 OD=8-x，由（1）得PBD =90，在 RtPBD 中，PD= =10，2BDPPD 为O 的切线，OCPD，S POD = PDOC= ODPB，即 10x=6（8-x），2121解得 x=3，O 的半径为 3.5. 如图，P 为O 外一点，PA、PB 为O 的切线，A 和 B 为切点，AC为直径，连接 BC， PO(1)求证：BCPO；(2)若 AP 8，BC 7.2，求 PO 的长第 5 题图(1)证明：如解图，连接 AB 交 OP 于点 M，连接 BO，第 5 题解图PA，PB
6、 是O 的切线，PAPB，OA OB，PO 垂直平分 AB，AMO 90，AC 是O 的直径，CBA90，CBAAMO，BCOP；(2)解：由(1)知 PO 垂直平分 AB，ABOP，AM BM，OA OC，OM 为ABC 的中位线，OM BC3.6，12PAO PMA 90 ，APOMPA，PAO PMA， ，即 ，PAOM6.38PO解得 PO10.6.如图,AD 是O 的切线,切点为 A,AB 是 O 的弦.过点 B 作 BC/AD,交O 于点 C,连接 AC,过点 C 作 CD/AB,交 AD 于点 D.连接 AO 并延长交BC 于点 M,交过点 C 的直线于点 P,且BCP=ACD.
7、（1）判断直线 PC 与O 的位置关系,并说明理由;（2）若 AB=9, BC=6.求 PC 的长.第 6 题图解：（1）直线 PC 与O 相切，理由如下：如解图，连接 CO 并延长交O 于点 E，连接 EB，第 6 题解图CE 是O 的直径，EBC=90，E +BCO=90，CD AB，ACD=BAC，BAC=E ，BCP =ACD，E =BCP，BCP+BCO=90 ，即PCO=90，OC PC，OC 是O 的半径，PC 是O 的切线；（2）AD 是O 的切线，OA AD，BCAD，AM BC，BM=CM= BC=3，AC =AB=9，21在 RtAMC 中，由勾股定理得 =6 ,2CMA
8、设 OC=r，则 OM=6 -r，在 RtOMC 中，由勾股定理得 ，即 ，22O2236r解得 ，即 ，827r827OCOM=6 - = ，28721OC PC，MCP +MCO=90，又AMBC ，MOC+MCO=90，MOC=MCP，OMC=CMP，OMCCMP， ，即 ，CMOP38217P解得 ，72PC 的长为 .7.如图所示，在ABC 中，AB=AC，以 AB 为直径的O 分别交 AC、BC于点 D，E，点 F 在 AC 的延长线上，且CBF=CAB.21（1）求证：直线 BF 是O 的切线；（2）若 AB=5，BC =2 ，求 cosCBF.5第 7 题图（1）证明：如解图，
9、连接 AE，第 7 题解图AB 为O 的直径，AEB=90，AB=AC，BAE= CAB，21又CBF= CAB，BAE=CBF，EAB+ABE=90，CBF+ABC=90，即ABF=90，ABBF，又AB 为 O 的直径，直线 BF 为O 的切线；（2）由（1）得BAE=CBF，AEB =90，cos CBF=cosBAE= ，ABE在 RtABE 中，AB=5，BE= ，5AE= =2 ，2ABcos CBF= .58.如图，PA 、PB 是 O 的切线，A、B 为切点，连接 AO 并延长，交 PB的延长线于点 C，连接 PO，交O 于点 D.(1)求证：PO 平分APC；(2)连接 BD
10、，若C30，求DBP 的大小第 8 题图(1)证明：如解图，连接 OB.第 8 题解图PA、PB 是O 的切线，OA AP，OBBP.OA OB，PO 平分APC ；(2)解：OAAP ，OBBP，CAPOBP90，C30，APC90C903060.PO 平分APC ，OPC APC 6030，12 12POB 90OPC 903060，又ODOB，OBD 是等边三角形，OBD60，DBP 90OBD906030.9.如图，在 RtABC 中，ACB90，以 BC 为直径的O 交 AB 于点 D，E 是 AC 的中点，OE 交 CD 于点 F.(1)若BCD36，BC10，求 的长；BD (2
11、)判断直线 DE 与O 的位置关系，并说明理由；(3)求证：2CE 2ABEF.第 9 题图 （1）解：如解图，连接 OD，第 9 题解图BCD36，BOD2BCD23672，BC 是O 的直径，BC10，OB 5，l 2 ；BD 1807(2)解：DE 是O 的切线；理由如下：BC 是O 的直径，ADC180BDC90，又点 E 是线段 AC 中点，DE ACEC，12在DOE 与COE 中，CEDODOECOE(SSS)ACB90，ODEOCE90，OD 是O 的半径，DE 是O 的切线；(3)证明：由(2)知，DOECOE，OE 是线段 CD 的垂直平分线，点 F 是线段 CD 中点，点
12、 E 是线段 AC 中点，则 EF AD，12BACCAD， ADCACB ，ACDABC，则 ，即 AC2ABAD，ACDB而 AC2CE，AD2EF，(2CE) 2AB2EF ，即 4CE2AB2EF ，2CE 2ABEF .10.如图，点 A，B ，C，D 是直径为 AB 的O 上的四个点，CDBC，AC与 BD 交于点 E.(1)求证：DC 2CEAC；(2)若 AE 2EC，求 的值；AO(3)在(2)的条件下，过点 C 作O 的切线，交 AB 的延长线于点 H，若 SACH9 ，求 EC 的长3第 10 题图(1)证明：CDBC， ，CD BC BDCDAC，DCEACD，CDEC
13、AD， ，CDEADC 2CEAC；(2)解：如解图，连接 OE，设 CEx，第 10 题解图AE2CE，AE2x，ACAECE3x，由(1)知，CD 2x 3x3x 2，CD x，3CD BC，BC x.3AB 是O 的直径，ACB90，在 RtABC 中，根据勾股定理得，AB 2 x，2BCA3OA OB AB x，12 3OB OCBC，BOC 是等边三角形， ，CD BC OC BE，OE OB x，12 32AB 是O 的直径，ADB 90OEB，OE AD，OA OB，AD 2OE x，3 1；OAD(3)解：由(2)知，BOC 是等边三角形，BOC60，CH 是O 的切线，OCH
14、90，CHO30，OH2OC，OHOBBH OCBH，OB BH，OA OBBH，S ACH 3S BOC 9 ，3S BOC 3 ，3S BOC OB2 ( x)23 ，34 34 3 3解得 x 2(舍去)或 x2，EC 的长为 2.11.如图，AB 是O 的直径，C 是圆上一点，BAC 的平分线交O 于点 D，过 D 作 DEAC 交 AC 的延长线于点 E.(1)求证：DE 是O 的切线; (2)若 AB 10，AC 6，求 BD 的长；(3)如图，若 F 是 OA 的中点，FGOA 交直线 DE 于点 G，若FG ，tanBAD ，求O 的半径194 34图 图第 11 题图（1）证
15、明：如解图，连接 OD，第 11 题解图OA OD ，OADODA ，AD 平分BAC ，OADDAE ，ODADAE ，ODAE，ODEAED 180，AED 90，ODE90，ODDE，OD 是O 的半径，DE 是O 的切线；(2)解：如解图，连接 BC，交 OD 于点 N，AB 是O 的直径，BCA90，ODAE，O 是 AB 的中点，ON AC，且 ON AC，12ONB90，且 ON3，OB=5，则 BN4，ND2，BD 2 ；42 22 5（3）解：如解图，设 FG 与 AD 交于点 H， 过点 G 作 GMHD，交HD 于点 M，第 11 题解图H根据题意，设 AB5x，AD4x，则 AF x，54FH AFtanBAD x x，54 34 1516AH x，BADFcos52516HDAD AH4x x x，2516 3916由（1）可知，HDGODA90，在 RtHFA 中，FAHFHA 90，OADODA ，FHA DHG ，DHGHDG，GHGD，MHMD，HM HD x x，12 12 3916 3932FAH AHF 90 ，MHG HGM90，FAH HGM，在 RtHGM 中，HG x，HGMsin53296532FH GH ，194 x x ，1516 6532 194解得 x ，85O 的半径为 =4.582