1、初高中知识衔接1. 我们根据指数运算，得出了一种新的运算，下表是两种运算对应关系的一组实例：指数运算212 224 238 3133293327新运算log221log242log283log331log392log3273根据上表规律，某同学写出了三个式子：log 2164，log 5255，log 2 1. 其中正确的是( )1A. B. C. D. B 【 解析】2 416，log 2164，故正确；5 225，log 52525，故不正确；2 1 ，log 2 1，12 1故正确；应选 B.2.阅读理解：如图，在平面内选一定点 O，引一条有方向的射线 Ox，再选定一个单位长度，那么平面
2、上任一点 M 的位置可由 MOx 的度数 与OM 的长度 m 确定，有序数对（，m）称为 M 点的“极坐标” ，这样建立的坐标系称为“极坐标系”.应用：在图的极坐标系下，如果正六边形的边长为 2，有一边 OA 在射线 Ox 上，则正六边形的顶点 C 的极坐标应记为 （ ） A.（60，4） B.（45，4）C.（60 ， ） D.（50， ）22图 图第 2 题图A 【解析】如解图，连接 AC，正六边形的每个内角为 120，AOC=60 ，AC OA，ACO=30，根据直角三角形中，30角所对的直角边等于斜边的一半得：OC=2OA =4，六边形的顶点 C 的极坐标应记为（60，4） ，故应选
3、A.第 2 题解图3.阅 读 理 解 题 ： 定 义 ： 如 果 一 个 数 的 平 方 等 于 -1， 记 为 2=-1，这个数 叫做ii虚数单位，那么和我们所学的实数对应起来就叫做复数，表示为+b （a,b 为实数） ， 叫这个复数的实部，b 叫做这个复数的虚部.ia如果只把 当成代数，则 将符合一切实数运算规则，但要根据式变通来i简便运算.（不要把复数当成高等数学，它只是一个小学就学过的代数而已！它的加、减、乘法运算与整式的加、减、乘法运算类似.）例题 1： = ； ；i23i11)(34ii例题 2 ：（2+ ）+（3-4 ）= （2+3）+（1-4 ） =5-3 ;ii;243015
4、435iiiii1794175同样我们也可以化简 ，也可以解方程 2=-1，解i2)( x为 1= ， 2=- .读完这段文字，请你解答以下问题：xii（1）填空： 5= , 6= ;ii（2）计算：（2+ ） 2；（3）在复数范围内解方程： 2- +1=0.x解：（1） ，-1;i【解法提示】 5=（ 2） 2 = ， 6=（ 2） 3=-1.iii（2）原式= 4+4 + 2=4 +4-1=3+4 ;（3） 2- +1=0，x，14)(2231ii解得 ， .231ix23ix4. 阅读下面的材料：如果函数 yf(x )满足：对于自变量 x 的取值范围内的任意 x1，x 2.(1)若 x1
5、x 2，都有 f(x1)f(x 2)，则称 f(x)是增函数：(2)若 x1x 2，都有 f(x1)f(x 2)，则称 f(x)是减函数例题：证明函数 f(x) (x0)是减函数2x证明：假设 x1x 2，x 10，x 20，f(x1)f(x 2) ，2x1 2x2 2x2 2x1x1x2 2（ x2 x1）x1x2x 1x 2，且 x10，x 20，x 2x 10，x 1x20， 0，即 f(x1)f(x 2)0，2（ x2 x1）x1x2f(x 1)f(x 2)，函数 f(x) (x0)是减函数2x根据以上材料，解答下面的问题：(1)函数 f(x) (x0), f(1) 1, f (2)
6、.1x2 112 122 14计算， f(3)_，f(4)_ ，猜想 f(x) (x0)是1x2_函数(填“增”或“减”)；(2)请仿照材料中的例题证明你的猜想(1)解： ， ，减；19116【解法提示】f(x) (x0)，f(1) 1，f(2) ，1x2 2122 14f(3) ，f(4) ，132 19 142 116 ，19 116猜想 f(x) (x0)是减函数.1x2(2)证明：假设 x1x 2，且 x10，x 20，f(x1)f(x 2) ，x 1x 2，且 x10，x 20，x 2x 10，x 2x 10，x x 0，21 2 0，即 f(x1)f(x 2)0，f(x 1)f(x
7、 2)，f(x) (x0)是减函数1x25.阅读材料：各类方程的解法.求解一元一次方程，根据等式的基本性质，把方程转化为 的形式.求解二元一次方程组，把它转化为一ax元一次方程来解；类似的，求解三元一次方程组，把它转化为解二元一次方程组.求解一元二次方程，把它转化为两个（1）问题：方程 的解是 ， = ， = ；023x01x23x（2）拓展：用“转化”思想求方程 的解；3（3）应用：如图，已知矩形草坪 ABCD 的长 AD=8 m，宽 AB=3 m,小华把一根长为 10 m 的绳子固定在点 B，沿草坪边沿 BA、AD 走到点 P 处，把长绳 PB 段拉直并固定在点 P，然后沿草坪边沿 PD、
8、DC 走到点 C 处，把长绳剩下的一段拉直，长绳的另一端恰好落在点 C，求 AP 的长.第 5 题图解：（1）1，-2；（2） ，x3两边平方，得 ，2移项，得 ，032x解此方程，得 ，1,21一元一次方程来解.求解分式方程，把它转化为整式方程来解，由于“去分母”可能产生增根，所以解分式方程必须检验.各类方程的解法不尽相同，但是它们有一个共同的基本数学思想- 转化，把未知转化为已知.用“转化”的数学思想，我们还可以解一些新的方程.例如，一元三次方程 .可以通过因式分解把它023x转化为 ，解方程 和 ，可得方02x 022x程 的解.23x ， ，032x23x当 时， ，11当 时， ，3
9、x392x原方程的根为 ；（3）设 AP= m，AD=8 m，PD=（8- ）m，x x在 RtABP 中，PB= = = m，2ABP239在 Rt PCD 中 ， PC= = = m，2D8x73162xPB=10-PC， =10- ，92x73162x两边平方，化简得 5 =41-4 ，2x再次两边平方，整理得到 ，即 ，01682x042解得 ，经检验， 满足题意.4x4AP 的长为 4 m.6.请阅读以下材料：已知向量 ， 满足下列条件：1,yxa2,yxb， ； = （角 的取值范围是21yxa2yxbcos） ； = .90a21利用上述所给条件解答问题：如：已知 ， ，求角 的
10、大3,1a3,b小.解： = =2，21yxa3= =2 ，2b = =22 =4 ，cosbcoscs又 = =1（- ）+ 3=2 ，a21yx33 ， ， =60，32cos421cos角 的值为 60.请仿照以上解答过程，完成下列问题：已知 ， ，求角 的大小.0,1a1,b解： ， ， = =1， = = ，21yx202yxb21 = =1 = ，bacoscoss又 = =11+0（-1）=1，21yx ，cos2 ， =45，角 的值为 45.7.阅读材料：基本不等式 （ 0， 0） ，当且仅当 = 时，等2babab号成立.其中我们把 叫做正数 、 的算术平均数， 叫做正数
11、、2ba的几何平均数，它是解决最大（小）值问题的有力工具.b例如：在 0 的条件下，当 为何值时， 有最小值，最小值是多少？xxx1解： 0， 0，1 ，即 ，xx2x12 2，1当且仅当 = ，即 =1 时， 有最小值，最小值为 2.xx请根据阅读材料解答下列问题：（1）若 0，函数 ，当 为何值时，函数有最值，并求出其最值；xy2（2）当 0 时，式子 成立吗？x212x解：（1）x0，2 0， 0，x1 ，xx12即 2 + 2 ，2 + 2 ，当且仅当 2 = ，即 = 时，2 + 有最小值，最小值x1x1xx1为 2 ；（2）不成立，当且仅当 ，即 =0 时等号才成立.122xx 0
12、，x不等式不成立.8. 在平面直角坐标系中，借助直角三角板可以找到一元二次方程的实数根比如对于方程 x2 5x20，操作步骤是：第一步：根据方程的系数特征，确定一对固定点 A(0，1)，B(5，2)；第二步：在坐标平面中移动一个直角三角板，使一条直角边恒过点 A，另一条直角边恒过点 B；第三步：在移动过程中，当三角板的直角顶点落在 x 轴上点 C 处时，点 C的横坐标 m 即为该方程的一个实数根(如图)；第四步：调整三角板直角顶点的位置，当它落在 x 轴上另一点 D 处时，点D 的横坐标 n 即为该方程的另一个实数根(1)在图中，按照“第四步”的操作方法作出点 D(请保留作出点 D 时直角三角
13、板两条直角边的痕迹)；(2)结合图，请证明“第三步”操作得到的 m 就是方程 x25x20 的一个实数根；(3)上述操作的关键是确定两个固定点的位置若要以此方法找到一元二次方程 ax2 bxc0(a0，b 24ac0)的实数根，请你直接写出一对固定点的坐标；(4)实际上，(3)中的固定点有无数对，一般地，当 m1，n 1，m 2，n 2与a，b，c 之间满足怎样的关系时，点 P(m1，n 1)，Q(m 2，n2)就是符合要求的一对固定点？第 8 题图解：(1)作图如解图，第 8 题解图【作法提示】先作出 AB 的中点 O1，以 O1为圆心， AB 长为半径画圆x12轴上另外一个交点即为 D 点
14、.（2）证明：如解图，过点 B 作 x 轴的垂线交 x 轴于点 E，ACB90，ACOBCE90 ，OACACO90，OACBCE，AOCCEB90 ，AOCCEB， ，即 ，AOCE OCEB 15 m m2m 25m20，m 是 x2 5x20 的一个实数根；（3）(0，1)、( ， )(答案不唯一)；ba ca【解法提示】方程 ax2bx c0 可化为 ，02acxb， ，固定点坐标可以为（0,1） ，( ，xabxabc2 xab1 ba).ca（4）如解图，点 P 在 AD 上，Q 在 BD 上，过 P，Q 分别作 x 轴的垂线交 x 轴于 M，N，第 8 题解图易得PMDDNQ， ，即 ，PMDN MDNQ n1m2 x x m1n2x 2(m 1 m2)xm 1m2n 1n20 与 ax2bxc 0 有相同解， m 1m 2， m 1m2n 1n2.ba ca
