2020年安徽中考数学总复习专题突破四:规律探索题

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1、专题四规律探索题类型一 数式规律探索 (2017安徽)【阅读理解】我们知道,123n,那么122232n2结果等于多少呢?在图1所示三角形数阵中,第1行圆圈中的数为1,即12,第2行两个圆圈中数的和为22,即22,;第n行n个圆圈中数的和为nnnn个n ,即n2.这样,该三角形数阵中共有个圆圈,所有圆圈中数的和为122232n2.图1图2【规律探究】 将三角形数阵经两次旋转可得如图2所示的三角形数阵,观察这三个三角形数阵各行同一位置圆圈中的数如第(n1)行的第一个圆圈中的数分别为n1,2,n,发现每个位置上三个圆圈中数的和均为_,由此可得,这三个三角形数阵所有圆圈中数的总和为3(122232n

2、2)_,因此,122232n2_【解决问题】 根据以上信息发现,计算:的结果为_【分析】 第一空只需将n1,2,n相加即可,每个三角形数阵中共有个圆圈,而每个位置上三个圆圈中数的和均为2n1,三个三角形数阵中所有圆圈中数的总和为(2n1),从而第二空,第三、四空易求【自主解答】 【方法点拨】解决规律探究型问题的一般思路是通过对所给的具体结论进行全面、细致的观察、分析、比较,从中发现规律,并猜想出一般性结论,其中关于等式的规律探索:用含字母的代数式进行归纳,注意字母往往还具有反映等式序号的作用1(2019合肥二模)观察下列等式:第1个等式:3,第2个等式:6,第3个等式:9,第4个等式:12,按

3、照以上规律,解决下列问题:(1)写出第5个等式:_;(2)写出你猜想的第n个等式:_(用含n的等式表示),并证明2(2019淮北市濉溪县二模)观察下列式子:02112131222413235142(1)第个式子是_,第个式子是_;(2)请用含n(n为正整数)的式子表示上述规律,并证明3(2019合肥包河区一模)杨辉是我国南宋时期杰出的数学家和教育家,如图是杨辉在公元1261年的著作详解九章算法里面的一张图,即“杨辉三角”,该图中有很多规律,请仔细观察,解答下列问题:(1)图中给出了七行数字,根据构成规律,第9行中从左边数第4个数是_;(2)第n行中从左边数第2个数为_;第n行中所有数字之和为_

4、4(2019安徽) 观察以下等式:第1个等式:,第2个等式:,第3个等式:,第4个等式:,第5个等式:,按照以上规律,解决下列问题:(1)写出第6个等式:_;(2)写出你猜想的第n个等式:_(用含n的等式表示),并证明5(2019全椒县一模)已知下列等式:(31)2(31)2431;(53)2(53)2453;(75)2(75)2475;(97)2(97)2497.(1)请仔细观察,写出第5个式子;(2)写出第n个式子,并运用所学知识说明第n个等式成立类型二 图形规律探索 (2016安徽)(1)观察下列图形与等式的关系,并填空:图1(2)观察下图,根据(1)中结论,计算图中黑球的个数,用含有n

5、的代数式填空:图2135(2n1)(_)(2n1)531_.【分析】 (1)第一项和第二项的结果不难填空;(2)先判断图中第(n1)行的黑球的个数,然后运用倒序相加法求出13(2n1)(2n1)的和即可完成填空【自主解答】 【方法点拨】对于图形规律探索题常按以下步骤操作:写序号:记每组图形的序数为“1,2,3,n”;数图形的个数:在图形数量变化时,要标记出每组图形表示的个数;寻找图形数量与序号n的关系:在寻找第n个图形表示的数量时,先将后一个图形表示的个数与前一个图形表示的个数进行比对,通过作差(商)来观察是否有恒定量的变化,然后按照定量变化推导出具体某个图形的个数;验证:代入序号验证所归纳的

6、式子是否正确1(2019甘肃改编)如图,每一图中有若干个大小不同的菱形,第1幅图中有1个菱形,第2幅图中有3个菱形,第3幅图中有5个菱形,.(1)第5幅图中有_个菱形,第n幅图中有 _个菱形;(2)如果第n幅图中有2 019个菱形,求n.2(2018黔南州)“分块计数法”:对有规律的图形进行计数时,有些题可以采用“分块计数”的方法例如:图1有6个点,图2有12个点,图3有18个点,.按此规律,求图10、图n有多少个点我们将每个图形分成完全相同的6块,每块黑点的个数相同(如图),这样图1中黑点的个数是616个;图2中黑点的个数是6212个;图3中黑点的个数是6318个;所以容易求出图10、图n中

7、黑点的个数分别是_、_请你参考以上“分块计数法”,先将下面的点阵进行分块,再完成以下问题:(1)第5个点阵中有_个圆圈;第n个点阵中有_个圆圈(2)小圆圈的个数会等于271吗?如果会,请求出是第几个点阵3(2019瑶海区一模)下列每一幅图都是由白色小正方形和黑色小正方形组成(1)第10幅图中有_个白色小正方形, _个黑色小正方形;(2)第n个图形中白色小正方形和黑色小正方形的个数总和等于_(用n表示,n是正整数)4(2019合肥市长丰县模拟)用同样大小的两种不同颜色的正方形纸片,按下图方式拼正方形第个图形中有1个正方形;第个图形中有134个小正方形;第个图形中有1359个小正方形;第个图形中有

8、_个小正方形(直接写出结果);(1)根据上面的发现我们可以猜想:1357(2n1) _(用含n的代数式表示);(2)请根据你的发现计算:135799_;101103105199_5(2019芜湖县二模)如图,正方形ABCD内部有若干个点,用这些点以及正方形ABCD的顶点A、B、C、D把原正方形分割成一些三角形(互相不重叠): (1)填写下表:正方形ABCD内点的个数1234n分割成的三角形的个数46_(2)原正方形能否被分割成2 016个三角形?若能,求此时正方形ABCD内部有多少个点;若不能,请说明理由 6(2019芜湖二模)某广场用如图1所示的同一种地砖拼图案,第一次拼成图案如图2所示,共

9、用地砖4块;第二次拼成的图案如图3所示,共用地砖42412块;第三次拼成的图案如图4所示,共用地砖4242624块,(1)直接写出第四次拼成的图案共用地砖_块;(2)按照这样的规律进行下去,求第n次拼成的图案共用地砖的数量(先用含n的式子表示,后化简)7(2019南陵县一模)【问题背景】在ABC内部,有点P1,可构成3个不重叠的小三角形(如图1)【探究发现】当ABC内点的个数增加时(如图13),探究三角形内互不重叠的小三角形的个数情况(1)填表:三角形内点的个数n1234不重叠三角形个数S_(2)当ABC内部有n个点(P1,P2,Pn)时,三角形内不重叠的小三角形的个数S2 019,求n的值8

10、(2019安徽模拟)如图,是由边长相等的小正方形组成的几何图形,Sn(n1)表示第n个图形中小正方形的个数(1)观察下列图形与等式的关系,并填空:图1图2 (2)根据(1)中的两个结论填空:S12_,Sn_(用含有n的代数式表示)参考答案【专题类型突破】类型一【例1】 规律探究每个位置上三个圆圈中数的和均为n12n2n1,每个三角形数阵中共有123n个圆圈,三个空依次填2n1;.解决问题1 345跟踪训练1解:(1)15(2)3n证明:等式左边3n等式右边2解:(1)461529111102(2)第n个式子为(n1)(n1)1n2,证明:左边n211n2,右边n2,左边右边,即(n1)(n1)

11、1n2.3解:(1)56(2)n12n1解法提示设第 n 行第 2 个数为 an(n2,且n 为正整数),观察发现规律:a21,a32,a43,a54,a65, ann1;第 1 行数字之和 120,第 2 行数字之和 221,第 3 行数字之和 422,第 4 行数字之和 823,第 n 行数字之和为 2n1.4. 解:(1)第6个等式:(2)证明:右边左边,等式成立5解:(1)第5个式子为:(119)2(119)24119.(2)第n个式子:(2n1)(2n1)2(2n1)(2n1)24(2n1)(2n1),证明:左边(4n)2224(2n)2124(2n1)(2n1)右边,等式成立类型二

12、【例2】 (1)42n2(2)2n12n22n1解法提示由(1)可知题图中第(n1)行的黑球个数为2n1;135(2n1)(2n1)(n1)2n22n1,135(2n1)n2,n22n1n22n22n1.跟踪训练1解:(1)9(2n1)(2)2n12 019,n1 010.2解:606n(1)613n23n1(2)依题意得3n23n1271,解得n110,n29(不合题意,舍去)所以小圆圈的个数会等于271,是第10个点阵3解:(1)100 40(2)n24n解法提示第1个图形:白色小正方形1个,黑色小正方形414个,共有145个;第2个图形:白色小正方形224个,黑色小正方形428个,共有4

13、812个;第3个图形:白色小正方形339个,黑色小正方形4312个,共有91221个;第n个图形:白色小正方形n2个,黑色小正方形4n个,共有n24n个4解:25(1)n2(2)2 5007 5005解:(1)8102(n1)(2)能设点数为n,则2(n1)2 016,解得n1 007.答:原正方形能被分割成2 016个三角形,此时正方形ABCD内部有1 007个点6解:(1)40(2)第一次拼成如图1所示的图案共用4块地砖,42(12),第二拼成如图2所示的图案共用12块地砖,122(23),第三次拼成如图3所示的图案共用24块地砖,242(34),第四次拼成如图4所示的图案共用40块地砖,

14、402(45),.第n次拼成的图案共用2n(n1)2(n2n)块地砖7解:(1)3579(2)图1中,当ABC内有1个点时,可分割成3个互不重叠的小三角形;图2中,当ABC内有2个点时,可分割成5个互不重叠的小三角形;图3中,当ABC内有3个点时,可分割成7个互不重叠的小三角形;当ABC内有4个点时,可分割成9个互不重叠的小三角形;.根据以上规律,当ABC内有n个点(P1,P2,Pn)时,可以把ABC分割成S2n1个互不重叠的小三角形,当S2 019时,2n12 019,n1 009.8解:(1)nn2(2)78解法提示由SnSn1n,SnSn1n2,得S12S1112,S12S11122,2S1212122156,S1278.SnSn1n,SnSn1n2,2Snn2n,Sn.

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