1、专题四规律探索题类型一 数式规律探索 (2017安徽)【阅读理解】我们知道，123n，那么122232n2结果等于多少呢？在图1所示三角形数阵中，第1行圆圈中的数为1，即12，第2行两个圆圈中数的和为22，即22，；第n行n个圆圈中数的和为nnnn个n ，即n2.这样，该三角形数阵中共有个圆圈，所有圆圈中数的和为122232n2.图1图2【规律探究】 将三角形数阵经两次旋转可得如图2所示的三角形数阵，观察这三个三角形数阵各行同一位置圆圈中的数如第(n1)行的第一个圆圈中的数分别为n1，2，n，发现每个位置上三个圆圈中数的和均为_，由此可得，这三个三角形数阵所有圆圈中数的总和为3(122232n
2、2)_，因此，122232n2_【解决问题】 根据以上信息发现，计算：的结果为_【分析】 第一空只需将n1，2，n相加即可，每个三角形数阵中共有个圆圈，而每个位置上三个圆圈中数的和均为2n1，三个三角形数阵中所有圆圈中数的总和为(2n1)，从而第二空，第三、四空易求【自主解答】 【方法点拨】解决规律探究型问题的一般思路是通过对所给的具体结论进行全面、细致的观察、分析、比较，从中发现规律，并猜想出一般性结论，其中关于等式的规律探索：用含字母的代数式进行归纳，注意字母往往还具有反映等式序号的作用1(2019合肥二模)观察下列等式：第1个等式：3，第2个等式：6，第3个等式：9，第4个等式：12，按
3、照以上规律，解决下列问题：(1)写出第5个等式：_；(2)写出你猜想的第n个等式：_(用含n的等式表示)，并证明2(2019淮北市濉溪县二模)观察下列式子：02112131222413235142(1)第个式子是_，第个式子是_；(2)请用含n(n为正整数)的式子表示上述规律，并证明3(2019合肥包河区一模)杨辉是我国南宋时期杰出的数学家和教育家，如图是杨辉在公元1261年的著作详解九章算法里面的一张图，即“杨辉三角”，该图中有很多规律，请仔细观察，解答下列问题：(1)图中给出了七行数字，根据构成规律，第9行中从左边数第4个数是_；(2)第n行中从左边数第2个数为_；第n行中所有数字之和为_
4、4(2019安徽) 观察以下等式：第1个等式：，第2个等式：，第3个等式：，第4个等式：，第5个等式：，按照以上规律，解决下列问题：(1)写出第6个等式：_；(2)写出你猜想的第n个等式：_(用含n的等式表示)，并证明5(2019全椒县一模)已知下列等式：(31)2(31)2431；(53)2(53)2453；(75)2(75)2475；(97)2(97)2497.(1)请仔细观察，写出第5个式子；(2)写出第n个式子，并运用所学知识说明第n个等式成立类型二 图形规律探索 (2016安徽)(1)观察下列图形与等式的关系，并填空：图1(2)观察下图，根据(1)中结论，计算图中黑球的个数，用含有n
5、的代数式填空：图2135(2n1)(_)(2n1)531_.【分析】 (1)第一项和第二项的结果不难填空；(2)先判断图中第(n1)行的黑球的个数，然后运用倒序相加法求出13(2n1)(2n1)的和即可完成填空【自主解答】 【方法点拨】对于图形规律探索题常按以下步骤操作：写序号：记每组图形的序数为“1，2，3，n”；数图形的个数：在图形数量变化时，要标记出每组图形表示的个数；寻找图形数量与序号n的关系：在寻找第n个图形表示的数量时，先将后一个图形表示的个数与前一个图形表示的个数进行比对，通过作差(商)来观察是否有恒定量的变化，然后按照定量变化推导出具体某个图形的个数；验证：代入序号验证所归纳的
6、式子是否正确1(2019甘肃改编)如图，每一图中有若干个大小不同的菱形，第1幅图中有1个菱形，第2幅图中有3个菱形，第3幅图中有5个菱形，.(1)第5幅图中有_个菱形，第n幅图中有 _个菱形；(2)如果第n幅图中有2 019个菱形，求n.2(2018黔南州)“分块计数法”：对有规律的图形进行计数时，有些题可以采用“分块计数”的方法例如：图1有6个点，图2有12个点，图3有18个点，.按此规律，求图10、图n有多少个点我们将每个图形分成完全相同的6块，每块黑点的个数相同(如图)，这样图1中黑点的个数是616个；图2中黑点的个数是6212个；图3中黑点的个数是6318个；所以容易求出图10、图n中
7、黑点的个数分别是_、_请你参考以上“分块计数法”，先将下面的点阵进行分块，再完成以下问题：(1)第5个点阵中有_个圆圈；第n个点阵中有_个圆圈(2)小圆圈的个数会等于271吗？如果会，请求出是第几个点阵3(2019瑶海区一模)下列每一幅图都是由白色小正方形和黑色小正方形组成(1)第10幅图中有_个白色小正方形， _个黑色小正方形；(2)第n个图形中白色小正方形和黑色小正方形的个数总和等于_(用n表示，n是正整数)4(2019合肥市长丰县模拟)用同样大小的两种不同颜色的正方形纸片，按下图方式拼正方形第个图形中有1个正方形；第个图形中有134个小正方形；第个图形中有1359个小正方形；第个图形中有
8、_个小正方形(直接写出结果)；(1)根据上面的发现我们可以猜想：1357(2n1) _(用含n的代数式表示)；(2)请根据你的发现计算：135799_；101103105199_5(2019芜湖县二模)如图，正方形ABCD内部有若干个点，用这些点以及正方形ABCD的顶点A、B、C、D把原正方形分割成一些三角形(互相不重叠)： (1)填写下表：正方形ABCD内点的个数1234n分割成的三角形的个数46_(2)原正方形能否被分割成2 016个三角形？若能，求此时正方形ABCD内部有多少个点；若不能，请说明理由 6(2019芜湖二模)某广场用如图1所示的同一种地砖拼图案，第一次拼成图案如图2所示，共
9、用地砖4块；第二次拼成的图案如图3所示，共用地砖42412块；第三次拼成的图案如图4所示，共用地砖4242624块，(1)直接写出第四次拼成的图案共用地砖_块；(2)按照这样的规律进行下去，求第n次拼成的图案共用地砖的数量(先用含n的式子表示，后化简)7(2019南陵县一模)【问题背景】在ABC内部，有点P1，可构成3个不重叠的小三角形(如图1)【探究发现】当ABC内点的个数增加时(如图13)，探究三角形内互不重叠的小三角形的个数情况(1)填表：三角形内点的个数n1234不重叠三角形个数S_(2)当ABC内部有n个点(P1，P2，Pn)时，三角形内不重叠的小三角形的个数S2 019，求n的值8
10、(2019安徽模拟)如图，是由边长相等的小正方形组成的几何图形，Sn(n1)表示第n个图形中小正方形的个数(1)观察下列图形与等式的关系，并填空：图1图2 (2)根据(1)中的两个结论填空：S12_，Sn_(用含有n的代数式表示)参考答案【专题类型突破】类型一【例1】 规律探究每个位置上三个圆圈中数的和均为n12n2n1，每个三角形数阵中共有123n个圆圈，三个空依次填2n1；.解决问题1 345跟踪训练1解：(1)15(2)3n证明：等式左边3n等式右边2解：(1)461529111102(2)第n个式子为(n1)(n1)1n2，证明：左边n211n2，右边n2，左边右边，即(n1)(n1)
11、1n2.3解：(1)56(2)n12n1解法提示设第 n 行第 2 个数为 an(n2，且n 为正整数)，观察发现规律：a21，a32，a43，a54，a65, ann1；第 1 行数字之和 120，第 2 行数字之和 221，第 3 行数字之和 422，第 4 行数字之和 823，第 n 行数字之和为 2n1.4. 解：(1)第6个等式：(2)证明：右边左边，等式成立5解：(1)第5个式子为：(119)2(119)24119.(2)第n个式子：(2n1)(2n1)2(2n1)(2n1)24(2n1)(2n1)，证明：左边(4n)2224(2n)2124(2n1)(2n1)右边，等式成立类型二
12、【例2】 (1)42n2(2)2n12n22n1解法提示由(1)可知题图中第(n1)行的黑球个数为2n1；135(2n1)(2n1)(n1)2n22n1，135(2n1)n2，n22n1n22n22n1.跟踪训练1解：(1)9(2n1)(2)2n12 019，n1 010.2解：606n(1)613n23n1(2)依题意得3n23n1271，解得n110，n29(不合题意，舍去)所以小圆圈的个数会等于271，是第10个点阵3解：(1)100 40(2)n24n解法提示第1个图形：白色小正方形1个，黑色小正方形414个，共有145个；第2个图形：白色小正方形224个，黑色小正方形428个，共有4
13、812个；第3个图形：白色小正方形339个，黑色小正方形4312个，共有91221个；第n个图形：白色小正方形n2个，黑色小正方形4n个，共有n24n个4解：25(1)n2(2)2 5007 5005解：(1)8102(n1)(2)能设点数为n，则2(n1)2 016，解得n1 007.答：原正方形能被分割成2 016个三角形，此时正方形ABCD内部有1 007个点6解：(1)40(2)第一次拼成如图1所示的图案共用4块地砖，42(12)，第二拼成如图2所示的图案共用12块地砖，122(23)，第三次拼成如图3所示的图案共用24块地砖，242(34)，第四次拼成如图4所示的图案共用40块地砖，
14、402(45)，.第n次拼成的图案共用2n(n1)2(n2n)块地砖7解：(1)3579(2)图1中，当ABC内有1个点时，可分割成3个互不重叠的小三角形；图2中，当ABC内有2个点时，可分割成5个互不重叠的小三角形；图3中，当ABC内有3个点时，可分割成7个互不重叠的小三角形；当ABC内有4个点时，可分割成9个互不重叠的小三角形；.根据以上规律，当ABC内有n个点(P1，P2，Pn)时，可以把ABC分割成S2n1个互不重叠的小三角形，当S2 019时，2n12 019，n1 009.8解：(1)nn2(2)78解法提示由SnSn1n，SnSn1n2，得S12S1112，S12S11122，2S1212122156，S1278.SnSn1n，SnSn1n2，2Snn2n，Sn.