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2020年安徽中考数学总复习专题突破三:几何多解题

1、专题三几何多解题类型一 图形的折叠与剪拼 (2017安徽)在三角形纸片ABC中,A90,C30,AC30 cm.将该纸片沿过点B的直线折叠,使点A落在斜边BC上的一点E处,折痕记为BD(如图1),剪去CDE后得到双层BDE(如图2),再沿着过BDE某顶点的直线将双层三角形剪开,使得展开后的平面图形中有一个是平行四边形,则所得平行四边形的周长为_cm.【分析】 由轴对称得ADBEDB,由已知可求AD,AB,BD,考虑到三角形BDE中DEB90,DBE30,EDB60,故沿BD上的中线或EDB的平分线剪开可得平行四边形,且都为菱形,求出周长即可【自主解答】 【方法点拨】动手操作这类题常见的方法是学

2、会自觉地运用数学知识去观察、分析、抽象、概括所给的实际问题,揭示其数学本质,并转化为我们熟悉的数学问题,如本题所给的直角三角形比较特殊,其次,一般选择角平分线、中线等常见的考查对象入手【难点突破】抓住BDE是直角三角形,且B30,D60,从而想到沿BD上的中线或EDB的平分线这两种特殊情况剪开才会有一个四边形是平行四边形1如图,在RtABC中,ACB90,B30,AC2,E为斜边AB的中点,点P在射线BC上,连接AP,PE,将AEP沿着边PE折叠,折叠后得到EPA,当折叠后EPA与BEP重叠部分的面积恰好为ABP面积的四分之一时,BP的长为_2如图,在矩形ABCD中,AB5,BC7,点E为BC

3、上一动点,把ABE折叠,当点B的对应点B落在ADC的平分线上时,点B到BC的距离为_3(2019安庆一模)如图,ABC是一张等腰三角形纸片,且ABAC6,BC4,将ABC沿着某条过一个顶点的直线折叠,打开后再沿着所得到的折痕剪开,若剪开后的两个三角形能够拼成一个与原ABC不全等的新三角形,则折痕的长为_4如图,把一张矩形纸片对折两次(折痕互相垂直且交点为O),然后剪下一个角,为了得到一个锐角为50的菱形,剪口与折痕所成角的度数为_5(2019宿州泗县一模)已知在矩形ABCD中,AB6,BC10,沿着过矩形顶点的一条直线将B折叠,使点B的对应点B落在矩形的边上,则折痕长为_6(2019合肥长丰县

4、二模)如图,矩形ABCD中,AD9,AB15.点E为射线DC上的一个动点,将ADE沿着AE折叠,当ADB为直角三角形时,DE的长为_7(2019河南)如图,在矩形ABCD中,AB1,BCa,点E在边BC上,且BEa.连接AE,将ABE沿AE折叠,若点B的对应点B落在矩形ABCD的边上,则a的值为_8(2019黑龙江)一张直角三角形纸片ABC,ACB90,AB10,AC6,点D为BC边上任一点,沿过点D的直线折叠,使直角顶点C落在斜边AB上的点E处,当BDE是直角三角形时,CD的长为_9如图,在菱形ABCD中,DAB45,AB4,点P为线段AB上一个动点,过点P作PEAB交直线AD于点E,沿PE

5、将A折叠,点A的对应点为F,连接EF,DF,CF.当CDF为等腰三角形时,AP_10(2019合肥瑶海区一模)如图,有一张面积为12的锐角三角形纸片,其中一边BC为4,把它剪两刀拼成一个无缝隙、无重叠的矩形,且矩形的一边与BC平行,则矩形的周长为_11(2019合肥庐阳区一模)如图,正方形ABCD的边长是16,点E在边AB上,AE3,点F是边BC上不与点B,C重合的一个动点,把EBF沿EF折叠,点B落在B处若CDB恰为等腰三角形,则DB的长为_类型二 图形的平移与旋转1已知正方形ABCD的边长为8,E为平面内任意一点,连接DE,将线段DE绕点D顺时针旋转90得到DG,当点B,D,G在一条直线上

6、时,若DG2,则CE的长为_2如图,在RtABC中,B90,ABBC,斜边AC上的一点D满足ADAB.将线段AC绕点A逆时针旋转(0360),得到线段AC,连接DC,当DCBC时,旋转角度的值为_3如图,在ABC中,ACB90,BAC20,点O是AB的中点,将OB绕点O顺时针旋转(0180)时得到OP,当ACP为等腰三角形时,的值为_4如图,在ABC中,ACBC,且AC4,BC2,将线段AB向上平移m个单位长度得到AB.若ABC为等腰三角形,则m的值为_5如图,将边长为12的正方形ABCD沿其对角线AC剪开,再把ABC沿着AD方向平移,得到ABC,当两个三角形重叠部分(阴影部分)的面积为32时

7、,它移动的距离AA等于_类型三 特定条件 (2018安徽)矩形ABCD中,AB6,BC8,点P在矩形ABCD的内部,点E在边BC上,满足PBEDBC.若APD是等腰三角形,则PE的长为_【分析】 根据勾股定理求出BD的长,分PDPA,PDDA两种情况,根据相似三角形的性质计算【自主解答】 1(2019芜湖二十九中一模)在ABC中,AB6 cm,点P在AB上,且ACPB.若点P是AB的三等分点,则AC的长是_2(2019芜湖一模)如图所示,已知ADBC,ABC90,AB8,AD3,BC4,点P为AB边上一动点若PAD与PBC相似,则AP_3(2019成都)如图,在平面直角坐标系xOy中,我们把横

8、、纵坐标都是整数的点为“整点”,已知点A的坐标为(5,0),点B在x轴的上方,OAB的面积为,则OAB内部(不含边界)的整点的个数为_4(2019哈尔滨)在ABC中,A50,B30,点D在AB边上,连接CD,若ACD为直角三角形,则BCD的度数为_度5(2019蚌埠二模)如图,在RtABC中,C90,AC3,BC4,点E,F分别在边BC,AC上,沿EF所在的直线折叠C,使点C的对应点D恰好落在边AB上,若EFC和ABC相似,则AD的长为_6(2020原创)如图,在钝角三角形ABC中,AB6 cm,AC12 cm,点D,E分别在边AB,AC上,且EC2AD.当以点A,D,E为顶点的三角形与ABC

9、相似时,AD的长为_7(2020原创)如图,在RtABC中,C90,AC12,BC6,射线ADAC,点P,Q分别在AC,AD上,当ABC和QPA全等时,AP的长为_8(2019六安霍邱三校二模)如图,在RtABC中,C90,AC6,BC8,P,Q分别为边BC,AB上的两个动点若要使APQ是等腰三角形且BPQ是直角三角形,则AQ_9(2019安徽模拟)如图,已知等边三角形ABC中,AB2,将ABC绕点A顺时针旋转60,得到ADB,点E是ABC某边的一点,当ABE为直角三角形时,连接DE,作BFDE于F,那么BF的长度是_参考答案【专题类型突破】类型一【例1】 由已知可知ADBEDB,又A90,C

10、30,ABDEBDC30,则CDBD,设ADDEx,则CD30x.在RtABD中,sin 30,解得x10.BD20,AB10.取BD的中点F,连接EF,沿EF剪开所得平行四边形是菱形,其边长为10,故周长为40 cm;作EDB的平分线DM,沿DM剪开所得平行四边形是菱形,边长DM,故周长为4 (cm),故答案为40或.跟踪训练12或22.2或13.或4 【解析】解图1如解图1,过点A作ADBC于点D,沿AD剪开后的两个三角形能够拼成一个与原ABC不全等的新三角形,ABAC,BDCDBC2.AD4.如解图2,作AC边上的中线BE,过点B作BHAC于点H,沿BE剪开后的两个三角形能够拼成一个与原

11、ABC不全等的新三角形,设CHx,则AH6x,解图2由勾股定理得,BC2CH2AB2AH2,42x262(6x)2.解得:x.BH.EH3CH.BE.折痕的长为或4.故答案为或4.425或655.6或解图163或27 【解析】分两种情况:当点E在线段DC上时,如解图1所示,BDA90,在RtBDA中,BD12.EDA90,E、D、B三点共线设DEx,则EC15x,BE12x,在RtBEC中,利用勾股定理可得(12x)2(15x)292,解得x3,即DE3.当E点在DC延长线上时,如解图2所示,ADB90,解图2根据折叠的对称性可知ADE90,E、B、D三点共线在RtBDA中,BD12.设DEx

12、,则CEx15,BEx12,在RtBCE中,利用勾股定理可得(x12)2(x15)292,解得x27,即DE27.故答案为3或27.7.或【解析】分两种情况:当点B落在AD边上时,如解图1,四边形ABCD是矩形,解图1BADB90.将ABE沿AE折叠,点B的对应点B落在AD边上,BAEBAEBAD45,ABBE.a1,a.解图2当点B落在CD边上时,如解图2,四边形ABCD是矩形,BADBCD90,ADBCa.将ABE沿AE折叠,点B的对应点B落在CD边上,ABEB90,ABAB1,EBEBa.DB,ECBCBEaaa.在ADB与BCE中,ADBBCE.,即.解得a1,a20(舍去)综上,所求

13、a的值为或,故答案为或.第8题解图183或【解析】分两种情况:如解图1,若DEB90,则AED90C,连接AD,则RtACDRtAED,CDED,AEAC6,BE1064.设CDDEx,则BD8x,在RtBDE中,DE2BE2BD2,x242(8x)2,解得x3.CD3.如解图2,若BDE90,则CDEDEFC90,CDDE,四边形CDEF是正方形第8题解图2AFEEDB90,AEFB.AEFEBD.设CDx,则EFDEx,AF6x,BD8x,解得x.CD.综上所述,CD的长为3或,故答案为3或.92或1或210.14或1611.16或4类型二12或22.15或255340或70或1004.2

14、或3或225.4或8类型三【例2】 分两种情况讨论:如解图1,边AD的垂直平分线与BD,BC分别交于点P,E,则APD为等腰三角形,且PECD,PBEDBC.易知PE是DBC的中位线,PECD3.如解图2,以点D为圆心,AD长为半径画弧交BD于点P,过点P作PEBC于点E,则APD是等腰三角形由勾股定理,得BD10,则BPBDDP1082.由PECD可知PBEDBC,则,即,解得PE.综上所述,PE的长为3或. 图1 图2跟踪训练12 cm或2 cm2.或2或634或5或6【解析】设B(m,n),点A的坐标为(5,0),OA5.OAB的面积5n,n3.可知:当2m3时,有6个整数点;当3m时,

15、有5个整数点;当m3时,有4个整数点,可知有6个或5个或4个整数点故答案为4或5或6.460度或10【解析】分两种情况:如解图1,当ADC90时,B30,BCD903060;如解图2,当ACD90时,A50,B30,ACB1803050100.BCD1009010.综上,BCD的度数为60或10.故答案为:60度或10. 解图1 解图25.或【解析】若CEF与ABC相似,分两种情况:若CFCE34,连接CD,如解图1,CFCEACBC,EFAB.由折叠性质可知,CDEF,CDAB,即此时CD为AB边上的高在RtABC中,ACB90,AC3,BC4,AB5.cos A.ADACcos A3. 解图1 解图2若CECF34,CEFCBA,CEFA.连接CD,如解图2所示,由折叠性质可知,CEFECD90,又AB90,BECD.BDCD.同理可得:AFCD,CDAD,点D为AB的中点ADAB.故答案为或.63或4.87.6或128.或9.或【解析】分两种情况:点E在BC上,如解图1,E是BC的中点,BE1,AE.根据等边三角形的性质可知DABC,DAE90,DBE的面积ABE的面积,DEBFBEAE.DE,BF. 解图1 解图2点E在AC上,如解图2,E是AC的中点,可求出DE,DBE90,DBE的面积为BFDEBDBE.BFDE,可得BF.故答案为或.