1、备战2020中考数学解题方法专题研究专题2 待定系数法专题【方法简介】待定系数法，一种求未知数的方法。将一个多项式表示成另一种含有待定系数的新的形式，这样就得到一个恒等式。然后根据恒等式的性质得出系数应满足的方程或方程组，其后通过解方程或方程组便可求出待定的系数，或找出某些系数所满足的关系式，这种解决问题的方法叫做待定系数法。【真题演练】1. 若一个二次函数的二次项系数为1，且图象的顶点坐标为（0,3）.则这个二次函数的表达式为_【答案】y=x23 【解析】【解答】抛物线二次项系数为-1，顶点坐标为（0，-3），抛物线的顶点式为y=-（x0）2-3,即y=-x2-3;故答案为：y=-x2-3。
2、2.（2019年云南玉溪）若是完全平方式，则k的值是（ ）.A.9 B.-9 C.9 D.3【解析】设=，则=,，解得，故选A。3. （2019贵州安顺10分）安顺市某商贸公司以每千克40元的价格购进一种干果，计划以每千克60元的价格销售，为了让顾客得到更大的实惠，现决定降价销售，已知这种干果销售量y（千元）与每千元降价x（元）（0x20）之间满足一次函数关系，其图象如图所示：（1）求y与x之间的函数关系式；（2）商贸公司要想获利2090元，则这种干果每千克应降价多少元？【解答】解：（1）设一次函数解析式为：ykx+b当x2，y120；当x4，y140；，解得：，y与x之间的函数关系式为y10
3、x+100；（2）由题意得：（6040x）（10 x+100）2090，整理得：x210x+90，解得：x11x29，让顾客得到更大的实惠，x9，答：商贸公司要想获利2090元，则这种干果每千克应降价9元4. 如图2，已知抛物线yx2bxc（b，c是常数，且c0）与x轴分别交于点A、B（点A位于点B的左侧），与y轴的负半轴交于点C，点A的坐标为（1，0） (1)b_，点B的横坐标为_；（上述结果均用含c的代数式表示） (2)连结BC，过点A作直线AEBC，与抛物线yx2bxc交于点E，点D是x轴上的一点，其坐标为(2，0)当C，D，E三点在同一直线上时，求抛物线的解析式【解析】第(1)问将A（
4、1，0）代入yx2bxc，可以得出bc；根据一元二次方程根与系数的关系，得出1xB，即xB2c第(2)问如图3，由yx2bxc，求出此抛物线与y轴的交点C的坐标为(0，c)，则可设直线BC的解析式为ykxc，将B点坐标代入，运用待定系数法求出直线BC的解析式为yxc由AEBC，设直线AE，得到解析式为yxm，将点A的坐标代入，运用待定系数法求出直线AE得到解析式yx解方程组，求出点E坐标为（12c，1c），将点E坐标代入直线CD的解析式yxc，求出c2，进而得到抛物线的解析式为【名词释义】待定系数法作为最常用的解题方法，可以运用于因式分解、确定方程系数、解决应用问题等各种场合。其指导作用贯穿于
5、初中、高中甚至于大学的许多课程之中，认真学好并掌握待定系数法，必将大有裨益。1.待定系数法在分解因式时的运用 待定系数法是初中数学的一个重要方法。用待定系数法分解因式，就是先按已知条件把原式假设成若干个因式的连乘积，这些因式中的系数可先用字母表示，它们的值是待定的，由于这些因式的连乘积与原式恒等，然后根据恒等原理，建立待定系数的方程组，最后解方程组即可求出待定系数的值。在初中竞赛中经常出现。 （1）确定所求问题含待定系数的解析式。上面例题中，解析式就是: （2A） x2BxC （2）根据恒等条件，列出一组含待定系数的方程。在这一题中，恒等条件是：2-A=1 B=0 C=-5 （3）解方程或消去
6、待定系数，从而使问题得到解决。 A=1 B=0 C=-5 答案就出来了。2.待定系数法在求函数解析式中的运用这是待定系数法的一个主要用途，学生也是在这种运用过程中开始较深入的接触待定系数法初中阶段主要有正比例函数、反比例函数、一次函数、二次函数这几类函数，前面三种分别可设y=kx，y=kx+b的形式(其中k、b为待定系数，且k0)而二次函数可以根据题目所给条件的不同，设成y=x2+bx+c(、b、c为待定系数)，y=(xh) 2+k(、k、h为待定系数)，y=(xx1)(xx2)( 、x1、x2为待定系数)三类形式根据题意(可以是语句形式，也可以是图象形式)，确定出h、k、c、b、x1、x2等
7、待定系数一般步骤如下：（1）写出函数解析式的一般式，其中包括未知的系数；（2）把自变量与函数的对应值代入函数解析式中，得到关于待定系数的方程或方程组。（3）解方程（组）求出待定系数的值，从而写出函数解析式。3.在确定方程或解方程时，某些时候使用待定系数法也可使问题得到简化例如：已知一元二次方程的两根为x1、x2，求二次项系数为1的一元二次方程时，可设该方程为x2+mx+n=0，则有(xx1)(xx2)=0，即x2(x1+x2)x+x1x2=0，对应相同项的系数得m=(x1+x2)，n=x1x2，所以所求方程为：x2(x1+x2)x+x1x2=04.待定系数法在分式展开化为部分分式中的应用这类型
8、的问题思路基本上跟因式分解类似，首先用未知数表示化为部分分式和以后的形式，展开后，根据分子、分母的多项式分别相等可列出含有未知数的方程组，解方程组，带入所设的部分和即可可得结果。【典例示例】例题1：已知：，求A，B，C的值解 去分母，得x2x2 A(x3)(x2)Bx(x2)Cx(x3)根据恒等式定义，选择x的适当值，可直接求出A，B，C的值，所以，当x0时，有26A，得A；当x3时，有815B，得B；当x2时，有810C，得C例题2：知关于x的方程2的解是负数，则n的取值范围为_【解析】2，解方程得xn2关于x的方程2的解是负数，n20，解得n2又原方程有意义的条件为x，n2，即n故答案为n
9、2且n例题3：（2019湖北省仙桃市8分）某农贸公司销售一批玉米种子，若一次购买不超过5千克，则种子价格为20元/千克，若一次购买超过5千克，则超过5千克部分的种子价格打8折设一次购买量为x千克，付款金额为y元（1）求y关于x的函数解析式；（2）某农户一次购买玉米种子30千克，需付款多少元？【答案】（1）根据题意，得当0x5时，y20x；当x5，y200.8（x5）+20516x+20；（2）把x30代入y16x+20，即可求解；【解答】解：（1）根据题意，得当0x5时，y20x；当x5，y200.8（x5）+20516x+20；（2）把x30代入y16x+20，y1630+20500；一次购
10、买玉米种子30千克，需付款500元；【归纳总结】“有比较才有鉴别”。通过比较，可以发现事物的相同点和不同点，更容易找到事物的变化规律。找规律的题目，通常按照一定的顺序给出一系列量，要求我们根据这些已知的量找出一般规律。揭示的规律，常常包含着事物的序列号。所以，把变量和序列号放在一起加以比较，就比较容易发现其中的奥秘。【强化巩固】1. （2019浙江绍兴4分）若三点（1，4），（2，7），（a，10）在同一直线上，则a的值等于（）A1B0C3D4【解答】解：设经过（1，4），（2，7）两点的直线解析式为ykx+b，y3x+1，将点（a，10）代入解析式，则a3；故选：C2. 已知关于x的分式方程
11、1的解是非正数，则a的取值范围是( )A.a1 B.a1，且a2 C.a1，且a2 D.a1【解析】去分母，得a2x1，解得xa1x0且x10，a10，且a11，a1，且a2，a1，且a2故选B3. 2018金华一模若多项式x2px12可以分解成两个一次因式的积，则整数p可取的值的个数为(C)A4 B5 C6 D8【解析】设12可分成mn，则p=m+n（m，n同号），m=1，2，3，n=12，6，4，p=13，8，7，共6个值故选C4. 一只小球落在数轴上的某点P0处，第一次从P0处向右跳1个单位到P1处，第二次从P1向左跳2个单位到P2处，第三次从P2向右跳3个单位到P3处，第四次从P3向左
12、跳4个单位到P4处若小球按以上规律跳了(2n3)次时，它落在数轴上的点P2n3处所表示的数恰好是n3，则这只小球的初始位置点P0所表示的数是( )A4 B5 Cn6 Dn3【解析】 设点P0所表示的数是x，则点P1所表示的数是x1，点P2所表示的数是x12x1，点P3所表示的数是x13x2，点P4所表示的数是x24x2，点P2n3所表示的数是n3，xn3，解得x5.5. 使得52m1是完全平方数的整数m的个数为_【解析】由题意，可设52m1(2k1)2（k为正整数），则52m4k（k1），即52m2k（k1）由于k（k1）是连续的两个正整数的积，故可知52m25 x4，m4即使得52m1是完全
13、平方数的整数m的个数只有1个6. 已知(19x31)(13x17)(1713x)(11x23)可因式分解成(axb)(30xc)，其中a，b，c均为整数，求abc的值【解析】：(19x31)(13x17)(1713x)(11x23)(19x31)(13x17)(13x17)(11x23)(13x17)(30x54)，a13，b17，c54，abc58.7. 已知抛物线的对称轴为x=2，且经过点（1,4）和（5,0），试求该抛物线的表达式。【答案】解：根据抛物线对称轴为直线x=2，且抛物线过点（5,0），可知抛物线与x轴另一交点为（-1,0），则设抛物线解析式为y=a（x+1）（x-5），将点（
14、1,4）代入，得4=a2（-4），解得a=- ，则抛物线解析式为y=- （x+1）（x-5）=- x2+2x+ 8. 已知方程x49x212x40有一个根是1，一个根是2，解这个方程解 因为1、2是方程x49x212x40的根，所以x49x212x4有因式(x1)（x2）设x49x212x4（x1）（x2）（x2mx2）令x1，得246（m1），m3解方程x23x20，得x因此，方程的根为1，2，9. 已知二次函数的图象以A（1，4）为顶点，且过点B（2，5）（1）求该函数的关系式；（2）求当横坐标取3和1时所对应的函数值；（3）根据（2）计算，直接写出当x的值在什么范围时，所对应的函数值大于
15、0【案】（1）解：已知顶点A（1，4），则设顶点式y=a（x+1）2+4，将B（2，5）代入，得-5= a（2+1）2+4，解得a=-1，则函数解析式为y=-（x+1）2+4=-x2-2x+3；（2）解：当x=-3时，y=-（-3+1）2+4=0，当x=1时，y=-（1+1）2+4=0（3）解：由x=-3和x=1时，y=0，且a=-10，即抛物线开口向下，则当-1x3时，所对应的函数值大于010. 发现 任意五个连续整数的平方和是5的倍数验证 (1)(1)202122232的结果是5的几倍？(2)设五个连续整数的中间一个为n，写出它们的平方和，并说明是5的倍数；延伸(3)任意三个连续整数的平方
16、和被3除的余数是几呢？请写出理由解：(1)(1)2021222321014915，1553，即(1)202122232的结果是5的3倍；(2)设五个连续整数的中间一个为n，则其余的4个整数分别是n2，n1，n1，n2，它们的平方和为(n2)2(n1)2n2(n1)2(n2)2n24n4n22n1n2n22n1n24n45n2105(n22)，n是整数，n22是整数，五个连续整数的平方和是5的倍数；(3)设三个连续整数的中间一个为n，则其余的2个整数是n1，n1，它们的平方和为(n1)2n2(n1)2n22n1n2n22n13n22，n是整数，n2是整数，任意三个连续整数的平方和被3除的余数是2.11. 如图1，抛物线yx22x8交y轴于点A，交x轴正半轴于点B(1)求直线AB对应的函数关系式；(2)有一宽度为1的直尺平行于y轴，在点A、B之间平行移动，直尺两长边所在直线被直线AB和抛物线截得两线段MN、PQ，设M点的横坐标为m，且0m0时，m0，MNPQ；当2m30时，0m，即MNPQ0，MNPQ10原创
