2020版高考数学大一轮复习 第九章 平面解析几何 9.6 双曲线

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1、9.6双曲线最新考纲考情考向分析了解双曲线的定义、几何图形和标准方程,知道其简单的几何性质(范围、对称性、顶点、离心率、渐近线).主要侧重双曲线的方程以及以双曲线方程为载体,研究参数a,b,c及与渐近线有关的问题,其中离心率和渐近线是重点.以选择、填空题为主,难度为中低档.一般不再考查与双曲线相关的解答题,解题时应熟练掌握基础内容及双曲线方程的求法,能灵活应用双曲线的几何性质.1.双曲线定义平面内与两个定点F1,F2的距离的差的绝对值等于常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线.这两个定点叫做双曲线的焦点,两焦点间的距离叫做双曲线的焦距.集合PM|MF1|MF2|2a,|F1F2|2c,其

2、中a,c为常数且a0,c0.(1)当2a|F1F2|时,P点不存在.2.双曲线的标准方程和几何性质标准方程1(a0,b0)1(a0,b0)图形性质范围xa或xa,yRxR,ya或ya对称性对称轴:坐标轴对称中心:原点顶点A1(a,0),A2(a,0)A1(0,a),A2(0,a)渐近线yxyx离心率e,e(1,),其中c实虚轴线段A1A2叫做双曲线的实轴,它的长|A1A2|2a,线段B1B2叫做双曲线的虚轴,它的长|B1B2|2b;a叫做双曲线的实半轴长,b叫做双曲线的虚半轴长a,b,c的关系c2a2b2 (ca0,cb0)概念方法微思考1.平面内与两定点F1,F2的距离之差的绝对值等于常数2

3、a的动点的轨迹一定为双曲线吗?为什么?提示不一定.当2a|F1F2|时,动点的轨迹是两条射线;当2a|F1F2|时,动点的轨迹不存在;当2a0时,动点的轨迹是线段F1F2的中垂线.2.方程Ax2By21表示双曲线的充要条件是什么?提示若A0,B0,表示焦点在x轴上的双曲线;若A0,表示焦点在y轴上的双曲线.所以Ax2By21表示双曲线的充要条件是AB0,b0,二者没有大小要求,若ab0,ab0,0ab0时,1e0时,e(亦称等轴双曲线),当0a.题组一思考辨析1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)平面内到点F1(0,4),F2(0,4)距离之差的绝对值等于8的点的轨迹是双曲线

4、.()(2)方程1(mn0)表示焦点在x轴上的双曲线.()(3)双曲线方程(m0,n0,0)的渐近线方程是0,即0.()(4)等轴双曲线的渐近线互相垂直,离心率等于.()(5)若双曲线1(a0,b0)与1(a0,b0)的离心率分别是e1,e2,则1(此条件中两条双曲线称为共轭双曲线).()题组二教材改编2.若双曲线1(a0,b0)的焦点到其渐近线的距离等于实轴长,则该双曲线的离心率为()A. B.5C. D.2答案A解析由题意知焦点到其渐近线的距离等于实轴长,双曲线的渐近线方程为0,即bxay0,2ab.又a2b2c2,5a2c2.e25,e.3.已知ab0,椭圆C1的方程为1,双曲线C2的方

5、程为1,C1与C2的离心率之积为,则C2的渐近线方程为()A.xy0 B.xy0C.x2y0 D.2xy0答案A解析椭圆C1的离心率为,双曲线C2的离心率为,所以,即a44b4,所以ab,所以双曲线C2的渐近线方程是yx,即xy0.4.经过点A(4,1),且对称轴都在坐标轴上的等轴双曲线方程为_.答案1解析设双曲线的方程为1(a0),把点A(4,1)代入,得a215(舍负),故所求方程为1.题组三易错自纠5.(2016全国)已知方程1表示双曲线,且该双曲线两焦点间的距离为4,则n的取值范围是()A.(1,3) B.(1,)C.(0,3) D.(0,)答案A解析方程1表示双曲线,(m2n)(3m

6、2n)0,解得m2n3m2,由双曲线性质,知c2(m2n)(3m2n)4m2(其中c是半焦距),焦距2c22|m|4,解得|m|1,1n0,b0)的一条渐近线经过点(3,4),则此双曲线的离心率为()A. B. C. D.答案D解析由条件知yx过点(3,4),4,即3b4a,9b216a2,9c29a216a2,25a29c2,e.故选D.7.已知双曲线过点(4,),且渐近线方程为yx,则该双曲线的标准方程为_.答案y21解析由双曲线的渐近线方程为yx,可设该双曲线的标准方程为y2(0),已知该双曲线过点(4,),所以()2,即1,故所求双曲线的标准方程为y21.题型一双曲线的定义例1 (1)

7、已知定点F1(2,0),F2(2,0),N是圆O:x2y21上任意一点,点F1关于点N的对称点为M,线段F1M的中垂线与直线F2M相交于点P,则点P的轨迹是()A.椭圆 B.双曲线C.抛物线 D.圆答案B解析如图,连接ON,由题意可得|ON|1,且N为MF1的中点,又O为F1F2的中点,|MF2|2.点F1关于点N的对称点为M,线段F1M的中垂线与直线F2M相交于点P,由垂直平分线的性质可得|PM|PF1|,|PF2|PF1|PF2|PM|MF2|2|F1F2|,由双曲线的定义可得,点P的轨迹是以F1,F2为焦点的双曲线.(2)已知F1,F2为双曲线C:x2y22的左、右焦点,点P在C上,|P

8、F1|2|PF2|,则cosF1PF2_.答案解析由双曲线的定义有|PF1|PF2|PF2|2a2,|PF1|2|PF2|4,则cosF1PF2.引申探究1.本例(2)中,若将条件“|PF1|2|PF2|”改为“F1PF260”,则F1PF2的面积是多少?解不妨设点P在双曲线的右支上,则|PF1|PF2|2a2,在F1PF2中,由余弦定理,得cosF1PF2,|PF1|PF2|8,|PF1|PF2|sin 602.2.本例(2)中,若将条件“|PF1|2|PF2|”改为“0”,则F1PF2的面积是多少?解不妨设点P在双曲线的右支上,则|PF1|PF2|2a2,0,在F1PF2中,有|PF1|2

9、|PF2|2|F1F2|2,即|PF1|2|PF2|216,|PF1|PF2|4,|PF1|PF2|2.思维升华 (1)利用双曲线的定义判定平面内动点与两定点的轨迹是否为双曲线,进而根据要求可求出双曲线方程.(2)在“焦点三角形”中,常利用正弦定理、余弦定理,经常结合|PF1|PF2|2a,运用平方的方法,建立与|PF1|PF2|的联系.跟踪训练1 设双曲线x21的左、右焦点分别为F1,F2,若点P在双曲线上,且F1PF2为锐角三角形,则|PF1|PF2|的取值范围是_.答案(2,8)解析如图,由已知可得a1,b,c2,从而|F1F2|4,由对称性不妨设P在右支上,设|PF2|m,则|PF1|

10、m2am2,由于PF1F2为锐角三角形,结合实际意义需满足解得1m3,又|PF1|PF2|2m2,22m20,b0).由题意知,2b12,e,b6,c10,a8.双曲线的标准方程为1或1.双曲线经过点M(0,12),M(0,12)为双曲线的一个顶点,故焦点在y轴上,且a12.又2c26,c13,b2c2a225.双曲线的标准方程为1.设双曲线方程为mx2ny21(mn0).解得双曲线的标准方程为1.思维升华 求双曲线标准方程的方法(1)定义法(2)待定系数法当双曲线焦点位置不确定时,设为Ax2By21(AB0).与双曲线1共渐近线的双曲线方程可设为(0);与双曲线1共焦点的双曲线方程可设为1(

11、b2k0,b0)的一条渐近线方程为yx,且与椭圆1有公共焦点,则C的方程为()A.1 B.1C.1 D.1答案B解析由yx,可得. 由椭圆1的焦点为(3,0),(3,0),可得a2b29. 由可得a24,b25.所以C的方程为1.故选B.题型三双曲线的几何性质命题点1与渐近线有关的问题例3已知F1,F2是双曲线C:1(a0,b0)的两个焦点,P是C上一点,若|PF1|PF2|6a,且PF1F2最小内角的大小为30,则双曲线C的渐近线方程是()A.xy0 B.xy0C.x2y0 D.2xy0答案A解析由题意,不妨设|PF1|PF2|,则根据双曲线的定义得,|PF1|PF2|2a,又|PF1|PF

12、2|6a,解得|PF1|4a,|PF2|2a.在PF1F2中,|F1F2|2c,而ca,所以有|PF2|0,b0)的一条渐近线,直线l与圆(xc)2y2a2(其中c2a2b2,c0)相交于A,B两点,若|AB|a,则双曲线C的离心率为_.答案解析由题意可知双曲线的渐近线方程为bxay0,圆(xc)2y2a2的圆心为(c,0),半径为a.因为直线l为双曲线C:1(a0,b0)的一条渐近线,与圆(xc)2y2a2(其中c2a2b2,c0)相交于A,B两点,且|AB|a,所以22a2,即4b23a2,即4(c2a2)3a2,即,又e,且e1,所以e.思维升华 (1)求双曲线的渐近线的方法求双曲线1(

13、a0,b0)或1(a0,b0)的渐近线方程的方法是令右边的常数等于0,即令0,得yx;或令0,得yx.反之,已知渐近线方程为yx,可设双曲线方程为(a0,b0,0).(2)求双曲线的离心率求双曲线的离心率或其范围的方法()求a,b,c的值,由1直接求e.()列出含有a,b,c的齐次方程(或不等式),借助于b2c2a2消去b,然后转化成关于e的方程(或不等式)求解.双曲线的渐近线的斜率k与离心率e的关系:k.跟踪训练3 (2018锦州模拟)已知F1,F2是双曲线1(a0,b0)的左、右焦点,过F1的直线l与双曲线的左右两支分别交于点B,A,若ABF2为等边三角形,则双曲线的离心率为()A. B.

14、4 C. D.答案A解析因为ABF2为等边三角形,所以不妨设|AB|BF2|AF2|m,因为A为双曲线右支上一点,所以|F1A|F2A|F1A|AB|F1B|2a,因为B为双曲线左支上一点,所以|BF2|BF1|2a,|BF2|4a,由ABF260,得F1BF2120,在F1BF2中,由余弦定理得4c24a216a222a4acos 120,得c27a2,则e27,又e1,所以e.故选A.高考中离心率问题离心率是椭圆与双曲线的重要几何性质,是高考重点考查的一个知识点,这类问题一般有两类:一类是根据一定的条件求离心率;另一类是根据一定的条件求离心率的取值范围,无论是哪类问题,其难点都是建立关于a

15、,b,c的关系式(等式或不等式),并且最后要把其中的b用a,c表示,转化为关于离心率e的关系式,这是化解有关椭圆与双曲线的离心率问题难点的根本方法.例1 已知椭圆E:1(ab0)的右焦点为F,短轴的一个端点为M,直线l:3x4y0交椭圆E于A,B两点.若|AF|BF|4,点M到直线l的距离不小于,则椭圆E的离心率的取值范围是()A. B.C. D.答案A解析设左焦点为F0,连接F0A,F0B,则四边形AFBF0为平行四边形.|AF|BF|4,|AF|AF0|4,a2.设M(0,b),则M到直线l的距离d,1b0,b0),由已知,取A点坐标为,取B点坐标为,则C点坐标为且F1(c,0).由ACB

16、F1知0,又,可得2c20,又b2c2a2,可得3c410c2a23a40,则有3e410e230,可得e23或,又e1,所以e.故选B.1.(2018鄂尔多斯调研)已知双曲线1(a0,b0),点(4,2)在它的一条渐近线上,则离心率等于()A. B. C. D.答案B解析渐近线方程为yx,故(4,2)满足方程24,所以,所以e ,故选B.2.(2018新余摸底)双曲线1(a0)的渐近线方程为()A.y2x B.yxC.y4x D.yx答案A解析根据双曲线的渐近线方程知,yx2x,故选A.3.(2018辽宁省五校联考)在平面直角坐标系xOy中,已知双曲线C:1(a0,b0)的离心率为,从双曲线

17、C的右焦点F引渐近线的垂线,垂足为A,若AFO的面积为1,则双曲线C的方程为()A.1 B.y21C.1 D.x21答案D解析因为双曲线C的右焦点F到渐近线的距离|FA|b,|OA|a,所以ab2,又双曲线C的离心率为,所以 ,即b24a2,解得a21,b24,所以双曲线C的方程为x21,故选D.4.已知F1,F2为双曲线C:x2y21的左、右焦点,点P在C上,F1PF260,则|PF1|PF2|等于()A.2 B.4 C.6 D.8答案B解析由双曲线的方程,得a1,c,由双曲线的定义得|PF1|PF2|2.在PF1F2中,由余弦定理,得|F1F2|2|PF1|2|PF2|22|PF1|PF2

18、|cos 60|PF1|2|PF2|2|PF1|PF2|(|PF1|PF2|)2|PF1|PF2|22|PF1|PF2|(2)2,解得|PF1|PF2|4.故选B.5.已知双曲线x21的左、右焦点分别为F1,F2,双曲线的离心率为e,若双曲线上存在一点P使e,则的值为()A.3 B.2 C.3 D.2答案B解析由题意及正弦定理得e2,|PF1|2|PF2|,由双曲线的定义知|PF1|PF2|2,|PF1|4,|PF2|2,又|F1F2|4,由余弦定理可知cosPF2F1,|cosPF2F1242.故选B.6.(2018沈阳模拟)已知双曲线1的右焦点为F,P为双曲线左支上一点,点A(0,),则A

19、PF周长的最小值为()A.4 B.4(1)C.2() D.3答案B解析由题意知F(,0),设左焦点为F0,则F0(,0),由题意可知APF的周长l为|PA|PF|AF|,而|PF|2a|PF0|,l|PA|PF0|2a|AF|AF0|AF|2a22444(1),当且仅当A,F0,P三点共线时取得“”,故选B.7.已知离心率为的双曲线C:1(a0,b0)的左、右焦点分别为F1,F2,M是双曲线C的一条渐近线上的点,且OMMF2,O为坐标原点,若16,则双曲线的实轴长是()A.32 B.16 C.84 D.4答案B解析由题意知F2(c,0),不妨令点M在渐近线yx上,由题意可知|F2M|b,所以|

20、OM|a.由16,可得ab16,即ab32,又a2b2c2,所以a8,b4,c4,所以双曲线C的实轴长为16.故选B.8.(2018葫芦岛模拟)已知双曲线C1:1(a0,b0),圆C2:x2y22axa20,若双曲线C1的一条渐近线与圆C2有两个不同的交点,则双曲线C1的离心率的取值范围是()A. B.C.(1,2) D.(2,)答案A解析由双曲线方程可得其渐近线方程为yx,即bxay0,圆C2:x2y22axa20可化为(xa)2y2a2,圆心C2的坐标为(a,0),半径ra,由双曲线C1的一条渐近线与圆C2有两个不同的交点,得2b,即c24b2,又知b2c2a2,所以c24(c2a2),即

21、c2a2,所以e1,所以双曲线C1的离心率的取值范围为,故选A.9.(2016北京)已知双曲线1(a0,b0)的一条渐近线为2xy0,一个焦点为(,0),则a_;b_.答案12解析由2xy0,得y2x,所以2.又c,a2b2c2,解得a1,b2.10.(2018河北名校名师俱乐部二调)已知F1,F2分别是双曲线x21(b0)的左、右焦点,A是双曲线上在第一象限内的点,若|AF2|2且F1AF245,延长AF2交双曲线的右支于点B,则F1AB的面积等于_.答案4解析由题意知a1,由双曲线定义知|AF1|AF2|2a2,|BF1|BF2|2a2,|AF1|2|AF2|4,|BF1|2|BF2|.由

22、题意知|AB|AF2|BF2|2|BF2|,|BA|BF1|,BAF1为等腰三角形,F1AF245,ABF190,BAF1为等腰直角三角形.|BA|BF1|AF1|42,|BA|BF1|224.11.(2018辽阳模拟)已知焦点在x轴上的双曲线1,它的焦点到渐近线的距离的取值范围是_.答案(0,2)解析对于焦点在x轴上的双曲线1(a0,b0),它的焦点(c,0)到渐近线bxay0的距离为b.双曲线1,即1,其焦点在x轴上,则解得4m0,b0)的右焦点为F,左顶点为A,以F为圆心,FA为半径的圆交C的右支于P,Q两点,APQ的一个内角为60,则双曲线C的离心率为_.答案解析设左焦点为F1,由于双

23、曲线和圆都关于x轴对称,又APQ的一个内角为60,PAF30,PFA120,|AF|PF|ca,|PF1|3ac,在PFF1中,由余弦定理得,|PF1|2|PF|2|F1F|22|PF|F1F|cosF1FP,即3c2ac4a20,即3e2e40,e(舍负).13.(2018营口调研)已知双曲线C:1(a0,b0)的左、右焦点分别为F1,F2,P为双曲线C上第二象限内一点,若直线yx恰为线段PF2的垂直平分线,则双曲线C的离心率为()A. B.C. D.答案C解析如图,直线PF2的方程为y(xc),设直线PF2与直线yx的交点为N,易知N.又线段PF2的中点为N,所以P.因为点P在双曲线C上,

24、所以1,即5a2c2,所以e.故选C.14.已知F1,F2是双曲线1(a0,b0)的左、右焦点,过F1的直线l与双曲线的左支交于点A,与右支交于点B,若|AF1|2a,F1AF2,则等于()A.1 B.C. D.答案B解析如图所示,由双曲线定义可知|AF2|AF1|2a.又|AF1|2a,所以|AF2|4a,因为F1AF2,所以|AF1|AF2|sinF1AF22a4a2a2.由双曲线定义可知|BF1|BF2|2a,所以|BF1|2a|BF2|,又知|BF1|2a|BA|,所以|BA|BF2|.又知BAF2,所以BAF2为等边三角形,边长为4a,所以|AB|2(4a)24a2,所以.15.已知

25、双曲线E:1(a0,b0)的左、右焦点分别为F1,F2,|F1F2|8,P是E右支上的一点,PF1与y轴交于点A,PAF2的内切圆与边AF2的切点为Q.若|AQ|,则E的离心率是()A.2 B.C. D.答案D解析如图所示,设PF1,PF2分别与PAF2的内切圆切于M,N,依题意,有|MA|AQ|,|NP|MP|,|NF2|QF2|,|AF1|AF2|QA|QF2|,2a|PF1|PF2|(|AF1|MA|MP|)(|NP|NF2|)2|QA|2,故a,从而e,故选D.16.已知双曲线1 (a0,b0)的左、右焦点分别为F1,F2,点P在双曲线的右支上,且|PF1|6|PF2|,则此双曲线的离心率e的最大值为_.答案解析由定义,知|PF1|PF2|2a.又|PF1|6|PF2|,|PF1|a,|PF2|a.当P,F1,F2三点不共线时,在PF1F2中,由余弦定理,得cosF1PF2e2,即e2cosF1PF2.cosF1PF2(1,1),e.当P,F1,F2三点共线时,|PF1|6|PF2|,e,综上,e的最大值为.

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