1、高考专题突破三高考中的数列问题第1课时等差、等比数列与数列求和题型一等差数列、等比数列的交汇例1 记Sn为等比数列an的前n项和已知S22，S36.(1)求an的通项公式；(2)求Sn，并判断Sn1，Sn，Sn2是否成等差数列解(1)设an的公比为q.由题设可得解得q2，a12.故an的通项公式为an(2)n.(2)由(1)可得Sn(1)n.由于Sn2Sn1(1)n22Sn，故Sn1，Sn，Sn2成等差数列思维升华 等差与等比数列的基本量之间的关系，利用方程思想和通项公式、前n项和公式求解求解时，应“瞄准目标”，灵活应用数列的有关性质，简化运算过程跟踪训练1 (2019鞍山模拟)已知公差不为0
2、的等差数列an的前n项和为Sn，S11，S3，S4成等差数列，且a1，a2，a5成等比数列(1)求数列an的通项公式；(2)若S4，S6，Sn成等比数列，求n及此等比数列的公比解(1)设数列an的公差为d，由题意可知整理得即an2n1.(2)由(1)知an2n1，Snn2，S416，S636，又S4SnS，n281，n9，公比q.题型二新数列问题例2 对于数列xn，若对任意nN，都 有xn2xn1xn1xn成立，则称数列xn为“增差数列”设an，若数列a4，a5，a6，an(n4，nN)是“增差数列”，则实数t的取值范围是_答案解析数列a4，a5，a6，an(n4，nN)是“增差数列”，故得到
3、an2an2an1(n4，nN)，即2(n4，nN)，化简得到(2n24n1)t2(n4，nN)，即t对于n4恒成立，当n4时，2n24n1有最小值15，故实数t的取值范围是.思维升华 根据新数列的定义建立条件和结论间的联系是解决此类问题的突破口，灵活对新数列的特征进行转化是解题的关键跟踪训练2 (1)定义“等积数列”，在一个数列中，如果每一项与它的后一项的积都为同一个常数，那么这个数列叫做等积数列，这个常数叫做该数列的公积已知数列an是等积数列且a12，前21项的和为62，则这个数列的公积为_答案0或8解析当公积为0时，数列a12，a20，a360，a4a5a210满足题意；当公积不为0时，
4、应该有a1a3a5a212，且a2a4a6a20，由题意可得，a2a4a6a206221140，则a2a4a6a204，此时数列的公积为248.综上可得，这个数列的公积为0或8.(2)意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列数：1，1，2，3，5，8，13，.该数列的特点是：前两个数都是1，从第三个数起，每一个数都等于它前面两个数的和，人们把这样的一列数组成的数列称为“斐波那契数列”若an是“斐波那契数列”，则(a1a3a)(a2a4a)(a3a5a)(a2 017a2 019a)的值为_答案1解析因为a1a3a12121，a2a4a13221，a3a5a25321，a4a
5、6a38521，a2 017a2 019a1，共有2 017项，所以(a1a3a)(a2a4a)(a3a5a)(a2 017a2 019a)1.题型三数列的求和命题点1分组求和与并项求和例3 (2018呼和浩特模拟)已知数列an是各项均为正数的等比数列，且a1a22，a3a432.(1)求数列an的通项公式；(2)设bnalog2an，求数列bn的前n项和Tn.解(1)设等比数列an的公比为q(q0)，则ana1qn1，且an0，由已知得化简得即又a10，q0，a11，q2，数列an的通项公式为an2n1.(2)由(1)知bnalog2an 4n1n1，Tn(14424n1)(0123n1).
6、命题点2错位相减法求和例4 (2018大连模拟)已知数列an满足an0，a1，anan12anan1，nN+.(1)求证：是等差数列，并求出数列an的通项公式；(2)若数列bn满足bn，求数列bn的前n项和Tn.解(1)由已知可得，2，是首项为3，公差为2的等差数列，32(n1)2n1，an.(2)由(1)知bn(2n1)2n，Tn32522723(2n1)2n1(2n1)2n，2Tn322523724(2n1)2n(2n1)2n1，两式相减得，Tn622222322n(2n1)2n1.6(2n1)2n12(2n1)2n1，Tn2(2n1)2n1.命题点3裂项相消法求和例5 在数列an中，a1
7、4，nan1(n1)an2n22n.(1)求证：数列是等差数列；(2)求数列的前n项和Sn.(1)证明nan1(n1)an2n22n的两边同时除以n(n1)，得2(nN+)，所以数列是首项为4，公差为2的等差数列(2)解由(1)，得2n2，所以an2n22n，故，所以Sn.思维升华 (1)一般求数列的通项往往要构造数列，此时可从要证的结论出发，这是很重要的解题信息(2)根据数列的特点选择合适的求和方法，常用的求和方法有错位相减法、分组转化法、裂项相消法等跟踪训练3已知正项数列an的前n项和为Sn，a11，且(t1)Sna3an2(tR)(1)求数列an的通项公式；(2)若数列bn满足b11，b
8、n1bnan1，求数列的前n项和Tn.解(1)因为a11，且(t1)Sna3an2，所以(t1)S1a3a12，所以t5.所以6Sna3an2. ()当n2时，有6Sn1a3an12，()得6ana3ana3an1，所以(anan1)(anan13)0，因为an0，所以anan13，又因为a11，所以an是首项a11，公差d3的等差数列，所以an3n2(nN+)(2)因为bn1bnan1，b11，所以bnbn1an(n2，nN+)，所以当n2时，bn(bnbn1)(bn1bn2)(b2b1)b1anan1a2b1.又b11也适合上式，所以bn(nN+)所以，所以Tn，.1已知等差数列an的前n
9、项和为Sn，且a37，a5a726.(1)求an及Sn；(2)令bn(nN)，求证：数列bn为等差数列(1)解设等差数列an的首项为a1，公差为d，由题意有解得a13，d2，则ana1(n1)d32(n1)2n1，Snn(n2)(2)证明因为bnn2，又bn1bnn3(n2)1，所以数列bn是首项为3，公差为1的等差数列2(2018包头模拟)在数列an和bn中，a11，an1an2，b13，b27，等比数列cn满足cnbnan.(1)求数列an和cn的通项公式；(2)若b6am，求m的值解(1)因为an1an2，且a11，所以数列an是首项为1，公差为2的等差数列所以an1(n1)22n1，即
10、an2n1.因为b13，b27，且a11，a23，所以c1b1a12，c2b2a24.因为数列cn是等比数列，且数列cn的公比q2，所以cnc1qn122n12n，即cn2n.(2)因为bnan2n，an2n1，所以bn2n2n1.所以b62626175.令2m175，得m38.3已知递增的等比数列an满足：a2a3a428，且a32是a2和a4的等差中项(1)求数列an的通项公式；(2)若bnanan，Snb1b2bn，求使Snn2n162成立的正整数n的最小值解(1)由题意，得解得或an是递增数列，a12，q2，数列an的通项公式为an22n12n.(2)bnanan2n2nn2n，Snb
11、1b2bn(12222n2n)，则2Sn(122223n2n1)，得Sn(2222n)n2n12n12n2n1，则Snn2n12n12，解2n1262，得n5，n的最小值为6.4正项等差数列an满足a14，且a2，a42，2a78成等比数列，an的前n项和为Sn.(1)求数列an的通项公式；(2)令bn，求数列bn的前n项和Tn.解(1)设数列an的公差为d(d0)，由已知得a2(2a78)(a42)2，化简得，d24d120，解得d2或d6(舍)，所以ana1(n1)d2n2.(2)因为Snn23n，所以bn，所以Tnb1b2b3bn.5数列an的前n项和为Sn，已知a11，(2n1)an1
12、(2n3)Sn(n1，2，3，)(1)证明：数列是等比数列；(2)求数列Sn的前n项和Tn.(1)证明an1Sn1SnSn，Sn1Sn，2，又a11，10，数列是以1为首项，2为公比的等比数列(2)解由(1)知，2n1，Sn(2n1)2n1，Tn132522(2n3)2n2(2n1)2n1，2Tn12322523(2n3)2n1(2n1)2n.得Tn12(21222n1)(2n1)2n12(2n1)2n(32n)2n3，Tn(2n3)2n3.6设数列an满足a1，an(n2，nN)(1)证明：数列为等比数列，并求数列an的通项公式；(2)设cn(3n1)an，证明：数列cn中任意三项不可能构成等差数列(1)解由条件，an11(n2，nN)，an11(n2，nN)，由a1知an0，an10.得，(n2，nN)，且0，是首项为，公比为的等比数列n1n，an.(2)证明由(1)得，cn(3n1)an3n1，(反证法)假设存在正整数l，m，n且1lmn，使得cl，cm，cn成等差数列则2(3m1)3l3n2，即23m3l3n，则有23ml13nl，即23ml3nl1，则有3ml23nl(ml)1，即3ml(23nm)1.l，m，nN且1lmn，3mlN.lmn与lmn矛盾，故假设不成立，数列cn中任意三项不可能构成等差数列
