1、几何综合探究题类型一非动态类问题(省卷：2018.23)1. (2019长春)教材呈现：下图是华师版九年级上册数学教材第78页的部分内容请根据教材提示，结合图，写出完整的证明过程结论应用：在ABCD中，对角线AC、BD交于点O、E为边BC的中点，AE、BD交于点F.(1)如图，若ABCD为正方形，且AB6，则OF的长为_；(2)如图，连接DE交AC于点G，若四边形OFEG的面积为，则ABCD的面积为_第1题图2. (2019安顺)(1)如图，在四边形ABCD中，ABCD，点E是BC的中点，若AE是BAD的平分线，试判断AB，AD，DC之间的等量关系解决此问题可以用如下方法：延长AE交DC的延长
2、线于点F，易证AEBFEC，得到ABFC，从而把AB，AD，DC转化在一个三角形中即可判断AB，AD，DC之间的等量关系为_；(2)问题探究：如图，在四边形ABCD中，ABCD，AF与DC的延长线交于点F，点E是BC的中点，若AE是BAF的平分线，试探究AB，AF，CF之间的等量关系，并证明你的结论图 图第2题图3. (2019绥化)如图，在正方形ABCD中，AB6，M为对角线BD上任意一点(不与B、D重合)，连接CM，过点M作MNCM，交线段AB于点N.(1)求证：MNMC；(2)若DMDB25，求证：AN4BN；(3)如图，连接NC交BD于点G.若BGMG35，求NGCG的值图 图第3题图
3、4. (2019云南黑白卷)【探索发现】(1)如图，当四边形ABCD为正方形时，以边AB、AD为斜边分别向外侧作等腰RtABF和等腰RtADE，连接BD.直接写出线段BD、DE、BF之间的数量关系：_；【理解应用】(2)如图，当四边形ABCD为矩形时，以边AB、AD为斜边分别向矩形内侧、外侧作等腰RtABF和等腰RtADE，连接EF、BD.判断线段EF与BD之间的数量关系，并说明理由；【拓展迁移】(3)如图，当四边形ABCD为平行四边形时，以边AB、AD为底边分别向平行四边形内侧、外侧作等腰ABF和等腰ADE，且AEDAFB，连接EF、BD，交点为点G，若AD2，求AE的长第4题图5. (20
4、18省卷)如图，在平行四边形ABCD中，点E是CD的中点，点F是BC边上的点，AFADFC，平行四边形ABCD的面积为S，由A、E、F三点确定的圆的周长为l.(1)若ABE的面积为30，直接写出S的值；(2)求证：AE平分DAF；(3)若AEBE，AB4，AD5，求l的值第5题图6. (2019云南逆袭黑马卷)如图，在ABCD中，点E在对角线AC上，BEBA，BFAC于点F，BF的延长线交AD于点G.点H在BC的延长线上，且CHAG，连接EH，由A、F、G三点确定的圆的面积为S.(1)若ACB30，BC10，AB，直接写出BF的值；(2)在(1)的条件下，求S的值；(3)若ACB45，求证：B
5、EH是等腰三角形第6题图类型二与动点有关的问题1. (2019威海)如图，在正方形ABCD中，AB10 cm，E为对角线BD上一动点，连接AE，CE，过E点作EFAE，交直线BC于点F.E点从B点出发，沿着BD方向以每秒2 cm的速度运动，当点E与点D重合时，运动停止设BEF的面积为y cm2，E点的运动时间为x秒(1)求证：CEEF；(2)求y与x之间关系的函数表达式，并写出自变量x的取值范围；(3)求BEF面积的最大值第1题图2. 如图，等边三角形ABC的边长为6，点D，E分别是边BC，AC的中点，连接BE，点P，N分别是BE，BC上的动点(1)求点D到线段BE的最短距离；(2)若当PNP
6、D的长度取得最小值时，求BP的长度；(3)点Q在BE上，若BQ1，求QNNPPD的长度最小值第2题图3. (2018广州)如图，在四边形ABCD中，B60，D30，ABBC.(1)求AC的度数；(2)连接BD，探究AD，BD，CD三者之间的数量关系，并说明理由；(3)若AB1，点E在四边形ABCD内部运动，且满足AE2BE2CE2，求点E运动路径的长度第3题图4. (2019昆明盘龙区一模)如图，在平行四边形ABCD中，AB20 cm，AD30 cm，ABC60，点Q从点B出发沿BA向点A匀速运动，速度为2 cm/s，同时，点P从点D出发沿DC向点C匀速运动，速度为3 cm/s，当点P停止运动
7、，点Q也随之停止运动，过点P做PMAD交AD于点M，连接PQ、QM，设运动的时间为t s(0t6)(1)当PQPM时，求t的值；(2)是否存在某一时刻t，使得PQM的面积是平行四边形ABCD面积的？若存在，求出相应t的值；若不存在，请说明理由；(3)过点M作MNAB交BC于点N，是否存在某一时刻t，使得P在线段MN的垂直平分线上？荐存在，求出相应t的值；荐不存在，请说明理由第4题图类型三与折叠有关的问题(昆明卷：2018.23)1. (2019云南黑白卷)【探索发现】如图，将ABC沿中位线EH折叠，使点A的对称点D落在BC边上，再将BED和DHC分别沿EF，HG折叠，使点B、C均落在点D处，折
8、痕形成一个四边形EFGH.小刚在探索这个问题时发现四边形EFGH是矩形小刚是这样想的：(1)请参考小刚的思路写出证明过程；(2)连接AD，当ADBC时，写出线段EF、BF、CG的数量关系并证明；【理解运用】(3)如图，在四边形ABCD中，ADBC，B90，AB8，DC10，ADBC，点E为AB边的中点，把四边形ABCD折叠成如图所示的正方形EFGH，顶点C、D落在点M处，顶点A、B落在点N处，求BC的长第1题图2. (2018昆明卷)如图，在矩形ABCD中，P为CD边上一点(DPCP)，APB90.将ADP沿AP翻折得到ADP，PD的延长线交边AB于点M，过点B作BNMP交DC于点N.(1)求
9、证：AD2DPPC；(2)请判断四边形PMBN的形状，并说明理由；(3)如图，连接AC，分别交PM，PB于点E，F.若，求的值图图第2题图3. 如图，在正方形ABCD中，E是AB边上的一点， 将ADE沿DE对折，点A恰好与对角线BD上的点G重合，过点A作EG的平行线AF与DE交于点F，连接FG得到四边形AEGF，BHEG，交DE的延长线于点H.(1)求证：四边形AEGF 是菱形；(2)若正方形ABCD的边长为4，求AE的长；(3)在(2)的条件下，求BDH外接圆的面积S的值第3题图4. (2019昆明官渡区一模)在矩形ABCD中，AB12，P是边AB上一点，把PBC沿直线PC折叠，顶点B的对应
10、点是点G，过点B作BECG，垂足为点E且在AD上，BE交PC于点F.(1)如图，若点E是AD的中点，求证：AEBDEC; (2)如图，求证：BPBF；当AD25，且AEDE时，求cosPCB的值；当BP9时，求BEEF的值图图第4题图5. (2019云南逆袭黑马卷)如图，将矩形ABCD折叠，使BC边落在对角线BD上，折痕为BE，点C落在点F处，过点E作EMAB于点M，交BD于点G，连接MF.(1)若ADB38，求DBE的度数；(2)求证：BEMF；(3)设AB6，AD8.求MGF的面积第5题图6. (2019曲靖二模)如图，在矩形ABCD中，点E是BC边上的一个动点，沿着AE翻折矩形，使点B落
11、在点F处若AB3，BCAB.解答下列问题：(1)在点E从点B运动到点C的过程中，求点F运动的路径长；(2)当点E是BC的中点时，试判断FC与AE的位置关系，并说明你的理由；(3)当点F在矩形ABCD内部且DFCD时，求BE的长第6题图类型四与平移有关的问题 1. (2018贵港)已知：A、B两点在直线l的同一侧，线段AO，BM均是直线l的垂线段， 且BM在AO的右边，AO2BM，将BM沿直线l向右平移，在平移过程中，始终保持ABP90不变，BP边与直线l相交于点P.(1)当P与O重合时(如图所示)，设点C是AO的中点，连接BC，求证：四边形OCBM是正方形；(2)请利用如图所示的情形，求证：；
12、(3)若AO2，当点P在线段OM上，且当MO2PO时，请直接写出AB和PB的长第1题图2. (2019昆明西山区模拟)如图，BD是正方形ABCD的对角线，BC2，边BC在其所在的直线上平移，将通过平移得到的线段记为PQ，连接PA、QD，并过点Q作OQBD，垂足为点O，连接OA、OP.(1)请直接写出线段BC在平移过程中，四边形APQD是什么四边形？(2)请判断OA、OP之间的数量关系和位置关系，并加以证明；(3)在平移变换过程中，设ySOPB，BPx(0x2)，求y与x之间的函数关系式，并求出y的最大值第2题图类型五与旋转有关的问题1. (2019荆州)如图，等腰直角三角形OEF的直角顶点O为
13、正方形ABCD的中心，点C，D分别在OE和OF上，现将OEF绕点O逆时针旋转角(00)，FGAEx.正方形ABCD的边长为4，BE4x.DAB90，在RtDAB中，BD4.DGDA4， .解得x44，AE44；(3)解：ADE沿DE对折，点A恰好与对角线BD上的点G重合，DGE DAE90.又BHEG，DBHDGE90，DEGDHB.()2.在RtDAE中，DE2DA2AE242(44)232(2).DH264(2)DBH90，DH是BDH的外接圆的直径S()216(2).BDH外接圆的面积S的值为16(2).4. (1)证明：在矩形ABCD中，AD90，ABDC，点E是AD中点，AEDE.在
14、AEB和DEC中，AEBDEC(SAS)；(2)证明：在矩形ABCD中，ABC90，BPC沿PC折叠得到GPC，PGCPBC90，BPCGPC.BECG，BEPG.GPFPFB，BPFBFP，BPBF；解：当AD25时，CGBCAD25，BEC90，AEBCED90.AEBABE90，CEDABE.AD90，ABEDEC.设AEx，DE25x，解得x9或x16.AEDE，AE9，DE16.CE20，BE15.由折叠的性质得BPPG，BPBFPG.BEPG，ECFGCP.设BPBFPGy，.y.BP.在RtPBC中，PC，cosPCB；解：如解图，连接FG，第4题解图由(2)知：BFPG，BFP
15、GBP9，BPGF是菱形BPGF.GFEABE.又GEFA90，GEFEAB.BEEFABGF129108.5. (1)解：四边形ABCD是矩形，ADBC.DBCADB38.由翻折的性质可知，DBEEBCDBC19；(2)证明：四边形ABCD是矩形， ABCC90.EMAB，AMEBME90. 四边形BCEM是矩形EMBC.MEBEBC.又DBEEBC，MEBDBE.BGEG.又由折叠的性质可知，CEFG90.BMEEFG，在BMG与EFG中，BMGEFG(AAS)MGFG.GMFGFM.又BGEFGM，GMFGEB.BEMF；(3)解：四边形ABCD是矩形， AC90.在RtABD中，BD1
16、0.由折叠的性质可知，CEFB90， ECEF, BFBC8.DFBDBF1082.设EFx，则ECx，DE6x.在RtDEF中，由勾股定理得DF2EF2DE2，22x2(6x)2.解得x.EFEC.DE6x6.EMBC.DEGDCB.解得GE.MGEMGE8.如解图，过点F作FHEM，垂足为点H，第5题解图由(2)知四边形BCEM是矩形，FHEDEH90，FHDE.EFHDEF.DEFEFH. . .解得FH.SMGFMGFH.6. 解：(1)如解图，由翻折可得AFAB，BAEFAE，点F的运动路径是以点A为圆心，AB为半径，BAF为圆心角的弧当点E运动到点C时，tanBAE，BAE60，BAF2BAE120，点F的运动路径长为2；第6题解图(2)当点E是BC的中点时，FCAE.理由如下：如解图，连接BF交AE于点H，由折叠可得BEEF，又BECE，BEEFEC.12，34.1234180，2390.即BFC90.由折叠得BFAE，BHE90.
