1、圆的相关证明与计算类型一圆性质的相关证明与计算(省卷：2019.23)1. (2019广西北部湾经济区)如图，ABC是O的内接三角形，AB为O直径，AB6，AD平分BAC，交BC于点E，交O于点D，连接BD.(1)求证：BADCBD；(2)若AEB125，求的长(结果保留)第1题图2. (2019绵阳)如图，AB是O的直径，点C为的中点，CF为O的弦，且CFAB，垂足为E，连接BD交CF于点G，连接CD，AD，BF.(1)求证：BFGCDG；(2)若ADBE2，求BF的长第2题图3. (2019温州)如图，在ABC中，BAC90，点E在BC边上，且CACE，过A，C，E三点的O交AB于另一点F
2、，作直径AD，连接DE并延长交AB于点G，连接CD，CF.(1)求证：四边形DCFG是平行四边形；(2)当BE4，CDAB时，求O的直径长第3题图4. (2019贵阳)如图，已知AB是O的直径，点P是O上一点，连接OP，点A关于OP的对称点C恰好落在O上(1)求证：OPBC；(2)过点C作O的切线CD，交AP的延长线于点D.如果D90，DP1.求O的直径第4题图5. (2019苏州)如图，AB为O的直径，C为O上一点，D是弧BC的中点，BC与AD，OD分别交于点E，F.(1)求证：DOAC；(2)求证：DEDADC2；(3)若tanCAD，求sinCDA的值第5题图6. 如图，ABC是O的内接
3、三角形，直径AB10，sinA，点D为线段AC上一动点(不运动至端点A、C)，作DFAB于F，连接BD，并延长BD交O于点H，连接CF.(1)当DF经过圆心O时，求AD的长；(2)求证：ACFABD；(3)求CFDH的最大值第6题图类型二与切线有关的证明与计算(省卷：2018.22，2017.23，2016.20；昆明卷：2018.21，20122016.22；曲靖卷：2018.22，2016.22，2014.23，2013.23)1. (2019黄冈)如图，RtABC中，ACB90，以AC为直径的O交AB于点D，过点D作O的切线交BC于点E，连接OE.(1)求证：DBE是等腰三角形；(2)求
4、证：COECAB.第1题图2. (2019娄底)如图，点D在以AB为直径的O上，AD平分BAC，DCAC，过点B作O的切线交AD的延长线于点E.(1)求证：直线CD是O的切线；(2)求证：CDBEADDE.第2题图3. (2019泰州)如图，四边形ABCD内接于O，AC为O的直径，D为的中点，过点D作DEAC，交BC的延长线于点E.(1)判断DE与O的位置关系，并说明理由；(2)若O的半径为5，AB8，求CE的长第3题图4. (2019衡阳)如图，点A、B、C在半径为8的O上过点B作BDAC，交OA延长线于点D.连接BC，且BCAOAC30.(1)求证：BD是O的切线；(2)求图中阴影部分的面
5、积第4题图5. (2019昆明官渡区二模)如图，AB是O的直径，点P是弦AC上一动点(不与点A、C重合)，过点P作PEAB，垂足为E，射线EP交弧AC于点F，交过点C的切线于点D.(1)求证：DCDP；(2)若CAB30，当F是弧AC的中点时，判断以A，O，C，F为顶点的四边形是什么四边形？请说明理由第5题图6. (2019扬州节选)如图，AB是O的弦，过点O作OCOA，OC交AB于点P，CPBC.(1)求证：BC是O的切线；(2)已知BAO25，点Q是上的一点若OA18，求的长第6题图7. (2019鄂州)如图，PA是O的切线，切点为A，AC是O的直径，连接OP交O于点E.过A点作ABPO于
6、点D，交O于点B，连接BC，PB.(1)求证：PB是O的切线；(2)求证：E为PAB的内心；(3)若cosPAB，BC1，求PO的长第7题图8. (2017省卷)已知AB是O的直径，PB是O的切线，C是O上的点，ACOP，M是直径AB上的动点，A点与直线CM上的点连线距离的最小值为d，B点与直线CM上的点连线距离的最小值为f.(1)求证：PC是O的切线；(2)设OPAC，求CPO的正弦值；(3)设AC9，AB15，求df的取值范围第8题图参考答案类型一圆性质的相关证明与计算1. (1)证明：AD平分BAC，BADCAD.又CBDCAD，BADCBD；(2)解：AEB125，AEBCBDADB，
7、又ADB 90， CBD1259035，由(1)可得DABCBD35，如解图，连接OD, 第1题解图DOB70，直径AB6，O的半径为3.的长度为.2. (1)证明：C是的中点，.AB是O的直径，且CFAB，CDBF.在BFG和CDG中，BFGCDG(AAS)；(2)解：如解图，过点C作CHAD，交AD的延长线于点H，连接AC、BC，HACBAC.CEAB，CHCE.ACAC，RtAHCRtAEC(HL)，AEAH.CHCE，CDCB，RtCDHRtCBE(HL)，DHBE2，AEAHADDH224，ABAEBE426.AB是O的直径，ACB90，ACBBEC90.EBCABC，BECBCA，
8、BC2ABBE6212，BFBC2.第2题解图3. (1)证明：如解图，连接AE，第3题解图BAC90，CF为O的直径ACEC，CFAE.AD为O的直径，AED90，即GDAE，CFDG.AD为O的直径，ACD90.ACDBAC180.ABCD.四边形DCFG为平行四边形；(2)解：由CDAB，可设CD3x，AB8x，CDFG3x.AOFCOD，AFCD3x.BG8x3x3x2x.GECF，BEGBCF，.又BE4，ACCE6.BCCEBE6410.AB88x.x1.在RtACF中，AF3，AC6，CF3，即O的直径长为3.4. (1)证明：点A关于OP的对称点是点C，AOPCOP.OBOC，
9、OBCOCB.AOCOBCOCB，2AOP2B，AOPB，OPBC；(2)解：如解图，连接PC，第4题解图CD是O的切线，CDOC.D90，ADOC，AAOC180，即A2AOP180，由(1)知，AOPB，A2B180，在AOP中，OAOP，AOPA，AOPAAOP2AB180，由解得AB60，AOP，COB都是等边三角形，POC60.OPOC，OPC是等边三角形，OCPC，DCPDCOPCO30.在RtPCD中，PC2PD2，O的直径为2OC2PC4.5. (1)证明：(方法一)D是的中点，OD是圆的半径，CADBAD，CAB2BAD.在O中，DOB2BAD.CABDOB.DOAC；(方法
10、二)D是的中点，ODBC，BFO90，AB是O的直径，ACB90，ACBBFO，ODAC；(2)证明：，CADBCD.又ADCCDE，ACDCED.，DEDADC2；(3)解：(方法一)如解图，过点C作CGAD于点G.AB为O的直径，C为O上一点，ACB90.tanCAD，.设CEk(k0)，则AC2k，AEk.ACDCED，.设DEx(x0)，则CD2x，AD4x.ADAEDE，4xkx，解得xk，CD2xk.CGAD，CGACGD90，则ACECGA.又CAEGAC，ACEAGC.，即，GCk.在RtCDG中，sinCDA.第5题解图第5题解图(方法二)如解图，连接BD.AB为O的直径，C
11、为O上一点，ACB90.DOAC，OFBACB90，BFD90.CADCBD(同弧所对的圆周角相等)，tanCBDtanCAD，.设DFk(k0)，则BF2k，设OBODr，则OFODDFrk，在RtBOF中，有OF2BF2OB2，即(rk)2(2k)2r2，化简得rk.OFODDFrkk，sinCBA.CDACBA(同弧所对的圆周角相等)，sinCDAsinCBA.6. (1)解：当DF经过圆心O时，AFOA5，AB为直径，AB10，ACB90，sinA，BC6，由勾股定理得：AC8.ABDF，AFDACB90.AA，ADFABC，AD；(2)证明：由(1)得：ADFABC，即，又A为ACF
12、和ABD的公共角，ACFABD；(3)解：如解图，连接CH，第6题解图由(2)知ACFABD，ABDACF.ABDACH，ACHACF.又CAFH，ACFHCD，即CFHDCDAF，设ADx，则CD8x，AFx，CFDHx(8x)x2x(x4)2，当x4时，CFDH的最大值为.类型二与切线有关的证明与计算1. 证明：(1)如解图，连接OD，第1题解图DE是O的切线，ODE90.在RtOCE和RtODE中，RtOCERtODE(HL)，DECE，ECDCDE.AC是O的直径，CDA90，CDB90，BECD90，CDEBDE90.ECDCDE，BDEB，BEDE，DBE是等腰三角形；(2)BED
13、ECE，点E是BC的中点，OE是ABC的中位线OEAB，COECAB.2. 证明：(1)如解图，连接OD，第2题解图AB是O的直径，ADB90.DCAC，1290.AD平分BAC，13.OAOD，43.4290.ODC90，OD是O的半径，直线CD是O的切线；(2)如解图，连接BD，BE是O的切线，ABBE，AB为O的直径，BDAE.在RtBDE与RtABE中，EE，35.13，15.又CBDE90，ADCBED.，即CDBEADDE.3. 解：(1)DE与O相切理由如下：如解图，连接OD，第3题解图点D是弧的中点，ODAC.DEAC，DEOD.OD是O的半径，DE与O相切；(2)如解图，连接
14、CD，则ADCD，DACDCA45，过点C作CFDE，垂足为点F，可得矩形ODFC，OCOD，矩形ODFC为正方形，CFOC5.ACDE，EACB.AC是O的直径，ABCEFC90，ABCCFE，即，解得CE.4. (1)证明：如解图，连接OB，BCA30，O2BCA60.OAC30，OOAC90，OBAC.BDAC，OBBD.OB为O的半径，BD是O的切线；(2)解：O60，半径为8，S扇形OAB.OBBD，tanO，即tan60，解得BD8.SOBDBDOB8832.S阴影SOBDS扇形OAB32.第4题解图5. (1)证明：如解图，连接OC，CD为切线，OCCD，OCD90，即OCAAC
15、D90.OAOC，OCAOAC.DEAB，OACAPE90，APEDPC，OACDPC90，OCADPC90，DPCACD，DCDP；第5题解图(2)解：以A，O，C，F为顶点的四边形是菱形理由如下：如解图，连接OF，AF，CF.CAB30，COB60，AOC120，F是弧AC的中点，AOFCOF60，AOF与COF均为等边三角形，AFAOOCCF，四边形AOCF为菱形6. (1)证明：如解图，连接OB，CPCB，OBOA，CBPCPB，ABOBAO.OAOC，BAOAPO90.APOCPB，OBACBP90，即CBO90，OB是O的半径，BC是O的切线；第6题解图(2)解：OBOA，ABOB
16、AO25，AOB1802525130，的长为：1823.7. (1)证明：如解图，连接OB，AC为O的直径，ABC90.又ABPO，POBC，AOPC，POBOBC.OBOC，OBCC，AOPPOB.在AOP和BOP中， AOPBOP(SAS)，OBPOAP.PA为O的切线，OAP90， OBP90，OB是O的半径，PB是O的切线；第7题解图(2)证明：如解图，连接AE，PA为O的切线，PAEOAE90.ADED，EADAED90，OEOA，OAEAED，PAEDAE，即EA平分PAD.PA、PB为O的切线，PD平分APB，E为PAB的内心；(3)解：PABBAC90，CBAC90，PABC，
17、cosCcosPAB，在RtABC中，cosC ，AC，AO.OPBC，AOPC，又ABCPAO90，PAOABC，PO5.8. (1)证明：如解图，连接OC，第8题解图ACOP，CAOPOB，ACOCOP.OAOC，CAOACO，POBPOC，在POB和POC中，POBPOC(SAS)，PBOPCO.PB是O的切线，PBO90，OCP90，即OCPC.又OC为O的半径，PC是O的切线；(2)解：如解图，连接BC，第8题解图AB是O的直径，C是O上的点，ACB90.在ACB和OCP中，由(1)知CABACOCOP，ACBOCP90.ACBOCP，.设O的半径为r，则AB2r，OCr，再由OPA
18、C得ACOP，解得OPr(负值已舍去)在RtOCP中，sinCPO，CPO的正弦值等于；(3)解：如解图，A与直线CM上的点连线距离的最小值为AE，记为d，B与直线CM上的点连线距离的最小值为BF，记为f，第8题解图A到直线CM的距离为d，B到直线CM的距离为f.AB是O的直径，C是O上的点，ACB90.在ACB中，ACB90，AC9，AB15，BC12.设ABC的面积为S，AMC的面积为S1，BMC的面积为S2，则SS1S2，即CMdCMf91254.df.过点C作CHAB，垂足为点H，则SACBCABCH，CH.当M运动到H点时，CM最小，即CM的最小值为；当M自H向A点运动时，由CM得CM逐渐增大，最大时为CA；当M自H向B点运动时，由CM得CM也逐渐增大，最大时为CB.AC9，BC12，CM的最大值为BC，即CM的最大值为12，CM12，915，df的取值范围为9df15.
