1、人教版 数学 七年级 下册,6.1 平方根,第一课时,第二课时,第三课时,1,第一课时,返回,算术平方根,2,这时它的速度要大于第一宇宙速度v1 (m/s )而小于第二宇宙速度v2 (m/s). v1、v2的大小满足v12=gR, v22=2gR, 其中，g是物理中的一个常数, g9.8m/s2 , R是地球半径,R6.410 6 m.怎样求v1和v2呢?,1. 了解算术平方根的概念，会表示正数的算术平方根，并了解算术平方根的非负性.,2. 会求一些数的算术平方根，并用算术平方根符号表示.,素养目标,3. 了解开方与乘方互为逆运算，会用平方运算求 某些非负数的算术平方根.,学校要举行美术作品比
2、赛，小鸥很 高兴，他想裁出一块面积为25dm2 的正 方形画布，画上自己的得意之作参加比 赛，这块正方形画布的边长应取多少？,因为52 =25,算术平方根的概念和性质,所以这块正方形画布的边长应取5dm.,5,已知一个正数，求这个正数的平方,这是平方运算.,1,填表：,表1,【讨论】你能从表1发现什么共同点吗？,4,0. 25,已知一个正数的平方，求这个正数.,表2,2.表1和表2中的两种运算有什么关系？,1,2,0.6,7,【讨论】1.你能从表2发现什么共同点吗？,一般地，如果一个正数 x 的平方等于a，即x2a，那么这个正数x叫做a的算术平方根. a的算术平方根记为 ,读作“ 根号 a”
3、.,a的算术平方根,互为 逆运算,平方根号,被开方数,读作：根号a,（a0）,怎么用符号来表示一个数的算术平方根？,(x0),9,1.一个正数的算术平方根有几个？,0的算术平方根有1个，是0.,2.0的算术平方有几个？,负数没有算术平方根.,3.-1有算术平方根吗？负数有算术平方根?,一个正数的算术平方根有1个.,例1 求下列各数的算术平方根：,（1）100 ； （2） ； （3）0.0001,解：（1）因为 102=100 ， 所以100的算术平方根是10 即 ,求一个数的算术平方根,解：（2）因为 ， 所以 的算术平方根是 即 ,（2） ；,解：（3）因为0.012=0.0001， 所以0
4、.0001的算术平方根是0.01 即 ,总结：从例1可以看出：被开方数越大，对应的算术平方根也越大，这个结论对所有正数都成立.,（3）0.0001,1.求下列各式的值： （1） ； （2） ； （3） ； （4） ,解：（1） ； （2） ； （3） ； （4） ,1. 负数有算术平方根吗？ 2. 是什么数？ 3. 中的a可以取任何数吗？,15,也就是说，非负数的“算术”平方根是非负数.负数不存在算术平方根，即当 a0 时， 无意义.,算术平方根的双重非负性,的双重非负性,1.被开方数a0 2.a的算术平方根,例2 下列各式是否有意义，为什么？ （1） ；（2） ；（3） ；（4） ,解：,（
5、1）无意义；,（4）有意义,（3）有意义；,（2）有意义；,算术平方根有意义的识别,2.下列各式是否有意义，为什么？,3.下列各式中，x为何值时有意义？,-x0 x0,x2+10恒成立 x为任何数,（1）,（2）,（1）,（2）,（3）,（4）,解:,解:,解: 因为|m-1| 0， 0，又|m-1| + =0, 所以 |m-1| =0， =0，所以m=1,n=-3, 所以m+n=1+(-3)=-2.,例3 若|m-1| + =0,求m+n的值.,总结：几个非负数的和为0，则每个数均为0，初中阶段学过的非负数有绝对值、偶次幂及一个数的算术平方根.,利用非负性求字母的值,（3）若 ，则a= ；,
6、（2）若 （m-7)2=0 ，则m= ；,（4）若 ，则代数式 =_.,（1）若|a+3|=0 ， 则a= ；,-3,7,5,-1,4.求下列各式中字母的值.,1.（2019广东）化简 的结果是（ ） A4 B4 C4 D2,2.（2019上海）如果一个正方形的面积是3，那么它的边长是_,巩固练习,B,1. 4的算术平方根是 ( ) A. B. C. 2 D. 2 2. 下列说法正确的是 ( ) A. 1的算术平方根是1 B. 0没有算术平方根 C.1的相反数没有算术平方根 D. (1)2的算术平方根是1,D,D,3.填空：（看谁算得又对又快） (1) 一个数的算术平方根是3，则这个数是 .
7、(2) 一个自然数的算术平方根为a，则这个自然数 是_；和这个自然数相邻的下一个自然数是 . (3) 的算术平方根为 . (4) 2的算术平方根为_.,3,9,a2,a2+1,4. 求下列各数的算术平方根：,（1）0.0025； (2)81； (3)32,解：（1）因为 =0.0025，所以0.0025的算术平方 根是 _，即 = _.,（2）因为 =81，所以81的算术平方根是 _，即 = _.,（3）因为 = 32 ，所以 32 的算术平方根是 _，即 = _.,0.05,0.05,0.05,9,9,9,3,3,3,解:设每块地板砖的边长为x m.由题意得 故每块地板砖的边长是0.5 m.
8、,用大小完全相同的240块正方形地板砖，铺一间面积为60 m2的会议室的地面，每块地板砖的边长是多少？,求x-3y+4z的值.,解：由题意得：,解得,已知：x+2y|+,算术平方根,算术平方根的概念,算术平方根的双重非负性,算术平方根的应用,利用计算器求算术平方根和大小的比较,第二课时,返回,拼成的这个面积为 2 的大正方形的边长应该是多少呢？,?,2. 会用计算器求一个数的算术平方根，能用夹值法求一个数的算术平方根的近似值.,1. 用有理数估计无理数的大致范围，并初步体验“无限不循环小数”的含义,素养目标,3. 理解被开方数扩大（或缩小）与它的算术平方根扩大（或缩小）的规律.,算数平方根的估
9、算与比较,做一做:同学们,你能将手中两个相同的小正方形，剪一剪，拼一拼，拼成一个大正方形吗？,如果小正方形的边长是1dm，那大正方形的边长是多少呢？,解:设大正方形的边长为xdm, 则,答:大正方形的边长为 dm.,x2 2,由算术平方根的意义可知 x=,有多大呢？,31,你是怎样判断出 大于1而小于2的？,因为 12=1 ，22=4 ， 而 ， 所以 ,124,你能不能得到 的更精确的范围？,有多大呢？,32,因为1.42=1.96,1.52=2.25，而 所以 .,因为1.412=1.9881,1.42=2.0614，而 所以 .,因为1.4142=1.999396,1.4152=2.00
10、2225 而1.99939622.002225，所以 .,有多大呢？,33,小数位数无限,且小数部分不循环,事实上，继续重复上述的过程，可以得到,小数位数无限,且小数部分不循环的小数称为无限不循环小数.,无限不循环小数的概念,是一个无限不循环的小数.,例1 估算 -3的值 ( ) A.在1和2之间 B.在2和3之间 C.在3和4之间 D.在4和5之间,A,总结：估计一个有理数的算术平方根的近似值，必须先判断这个有理数位于哪两个数的平方之间.,算术平方根估算数值,解析：因为421952,所以4 5,所以1 -32. 故选A.,1.与 最接近的整数是( ) A. 4 B. 5 C. 6 D. 7,
11、C,2.估算 的值 ( ) A.在5和6之间 B.在6和7之间 C.在7和8之间 D.在8和9之间,C,例2 试比较 与0.5 的大小.,利用算术平方根比较大小,提示：比较数的大小，先估计其算术平方根的近似值.,解:,例3 小丽想用一块面积为400cm2的正方形纸片，沿着边的方向裁出一块面积为300cm2的长方形纸片，使它的长宽之比为32.她不知能否裁得出来，正在发愁.你能帮小丽用这块纸片裁出符合要求的纸片吗？Z,解:由题意知正方形纸片的边长为20cm.,设长方形的长为3x cm,则宽为2x cm.则有,3x2x=300,x2=50,长方形的长为,因为5049，,小丽不能裁出符合要求的纸片.,
12、3.通过估算比较下列各组数的大小： (1) 与1.9； (2) 与1.5.,解：(1)因为54，所以 2，所以 1.9.,(2)因为64，所以 2，所以 =1.5.,在估计有理数的算术平方根的过程中，为方便计算，可借助计算器求一个正有理数a的算术平方根(或其近似数).,a,=,按键顺序：,利用计算器求算术平方根,例4 用计算器求下列各式的值： (1) ； (2) （精确到0.001 ）,解：(1) 依次按键 3136 显示：56 ,(2) 依次按键 2 显示：1.414213562 ,利用计算器求算数平方根,=,=,41,4. 用计算器求下列各式的值：,(1) =_,(2) =_,(3) (
13、精确到0.01）_,37,10.06,2.24,42,(1)利用计算器计算下表中的算术平方根,并将计算结果填在表中,你发现了什么规律?你能说出其中的道理吗?,利用计算器找算术平方根,2,1,2,1,250,79.06,0.25,0.7906,2.5,7.906,25,规律：被开方数的小数点向右每移动 位,它的算术平方根的小数点就向右移动 位;被开方数的小数点向左每移动 位,它的算术平方根的小数点就向左移动 位.,5.计算 （精确到0.001）_；,_； _；,6.根据 的值填空： _；,7.你能根据 的值得出 的值吗？,1.732,0.1732,17.32,173.2,答：不能.,44,（20
14、19潍坊）利用教材中的计算器依次按键下： 则计算器显示的结果与下列各数中最接近的一个是（ ） A2.5 B2.6 C2.8 D2.9,巩固练习,B,1.式子 的结果精确到0.01为 ( ) A. 4.9 B. 4.87 C. 4.88 D. 4.89 2. 下列计算结果正确的是 ( ),C,B,A. B. C. D.,3.在计算器上按键 ，下列计算结果正确的是（ ） A. 3 B. 3 C. 1 D. 1 4. 估计 在 ( ) A. 23之间 B. 34之间 C. 45之间 D. 56之间,B,C,小明房间的面积为10.8平方米，房间地面恰由120块相同的正方形地砖铺成，问每块地砖的边长是多
15、少？,解：设每块地砖的边长为x米， 由题意得：,答：每块地砖的边长是0.3米., （米）,1.若 则a的取值(范围)为 ( ) A. 正数 B. 非负数 C. 1,0 D. 0 2. 有一列数按如下规律排列： 则第2016个数是 ( ),C,C,A.,B.,C.,D.,求算数平方根,使用计算器进行求算数平方根的运算,用计算器比较两个数的大小,平方根,第三课时,返回,51,1.什么叫做算术平方根？,2.判断下列各数有没有算术平方根，如果有，请求出它们的算术平方根. 100； 1； ; 0; 0.0025; (-3)2 ; 25；,如果一个正数x的平方等于a,那么这个正数x叫做a的算术平方根.,（
16、1）32= ，（3）2= ；,（2） ， ；,（3）0.82= ，（0.8）2= .,9,0.64,0.64,3. 填空,9,【讨论】反过来，如果已知一个数的平方，怎样求这个数？,1. 了解平方根的概念；掌握平方根的特征.,2. 能正确区分平方根与算术平方根的意义.,素养目标,3. 能利用开平方与平方互为逆运算的关系， 求某些非负数的平方根.,要做一张边长是3分米的方桌面，它的面积是多少？,这个问题实际上就是求：,答：9平方分米.,这是已知底数和指数，求幂的运算.,乘方运算,反过来，要做一张面积是9平方分米的方桌面，它的边长是多少分米？,实际上就是要求出一个数，使它的平方等于9，即：,显然，括
17、号里应是3，但3不符题意.,方桌面的边长应是3分米.,9平方分米,你还能得到什么问题呢？,问题: 如果一个数的平方等于9，这个数是多少？,想一想：3和-3有什么特征？,由于 ， 所以这个数是3或-3.,(1) 4的平方等于16，那么16的算术平方根就是_. (2) 的平方等于 ，那么 的算术平方根就是_. (3) 展厅地面为正方形，其面积是49 m2，则其边长为_m.,4,7,问题：平方等于16， ，49的数还有吗？,做一做,想一想:,写出左圈和右圈中的“？”表示的数：,-11,11,0.6,0,没有,x2,x,8,-8,4,3,4,3,-,？,？,？,？,？,？,？,？,？,？,-4,-0.
18、6,64,121,0.36,0,填一填，想一想:,根据上述问题，即要找出一个数，使它的平方等于给定的数.我们抽象出下述概念：,如果x是正数a的一个平方根，那么a的平方根有且只有两个：x与-x.即平方根互为相反数.,平方根的性质：,例如： (1)2=1，1的平方根为1.,如果有一个数x，使得x2=a，那么我们把x叫作a的一个平方根，也叫作二次方根.,1. 121的平方根是什么？,2. 0的平方根是什么？,4. -9有没有平方根？为什么？,0,没有，因为一个数的平方不可能是负数.,通过这些题目的解答，你能发现什么?,问题：（1）正数有几个平方根？ （2）0有几个平方根？ （3）负数呢？,因为任何实
19、数的平方都为非负数，所以负数没有平方根，也没有算术平方根.,归纳总结,平方根的性质： 1.正数有两个平方根，两个平方根互为相反数. 2.0的平方根还是0. 3.负数没有平方根.,例1 求下列各数的平方根： (1)100； (2) ； (3)0.25.,解：(1) (10)2100， 100的平方根是10；,(3) (0.5)20.25， 0.25的平方根是0.5.,(2) ( )2 ， 的平方根是 ；,求平方根,1.判断下列说法是否正确：,65,（1）0的平方根是0； （ ） （2）1的平方根是1； （ ） （3）-1的平方根是-1; （ ） （4）0.01是0.1的一个平方根.（ ）,2.填
20、表：,64,64,+4,-4,+0.6,-0.6,根号,被开方数,合起来，一个正数a的平方根就用“ ”表示，（读作“正、负根号a”）,一个正数a的正平方根，用“ ”表示，（读作“根号a”）.又叫a的算术平方根.a的负平方根，用“ ”表示，（读作“负根号a”）.,非负数a的平方根表示为：,例如：,5的平方根表示为,4的平方根表示为,的平方根表示为,0的平方根表示为:,规定,0的平方根为0.,例2 分别求下列各数的平方根：,解: 由于,因此36的平方根是6与-6.,36是正数,（1）36 ;,有两个平方根,即,利用平方根的表示求平方根,（2） ;,（1）36 ;,（3）1.21,有两个平方根,因此
21、 的平方根是 与 .,有两个平方根,（3）1.21,因此1.21的平方根是1.1与-1.1.,即,即,解: 由于 ，,解: 由于 ，,（2） ;,3. 求下列各数的平方根： （1）81； （2） ； （3）0.49;,解：(1) (9)2=81，,(3)(0.7)2=0.49，,0.49的平方根为0.7,81的平方根为9,即 .,（2）,的平方根是 ，,即 .,即 .,+1 -1 +2 -2 +3 -3,1 4 9,平方,已知一个数，求它的平方的运算，叫作平方运算.,+1 -1 +2 -2 +3 -3,1 4 9,？运算,反之，已知一个数的平方，求这个数的运算是什么？,求一个数的平方根的运算叫
22、作开平方.,开平方与平方是什么关系？,a的平方根,底数,幂,被开方数,互为 逆运算,指数,根号,已知底数和指数求幂,已知幂和指数求底数,开平方运算,平方运算,73,开平方与平方的对比填空,正数与零,任何数,幂,平方根,正,正,0,2,互为相反数,0,没有平方根,1.包含关系：平方根包含算术平方根，算术平方根是平方根的一种.,平方根与算术平方根的联系与区别：,2.只有非负数才有平方根和算术平方根.,3. 0的平方根是0，算术平方根也是0.,区别：,1.个数不同：一个正数有两个平方根， 但只有一个算术平方根.,联系：,2.表示法不同：平方根表示为： 而算术平方根表示为 .,例3 求下列各式的值：,
23、解：（1） ；,（2） ；,（3） .,开平方的有关计算,（1）,（2）,（3）,4.下列各式有意义吗？,5.求下列各式的值.,（4）,（1）,（2）,有意义,有意义,有意义,无意义,1. （2019桂林）9的平方根是（ ） A3 B3 C3 D9,2. （2019台州）若一个数的平方等于5，则这个数等于 _ ,巩固练习,B,1.下列说法正确的是_ -3是9的平方根; 25的平方根是5; -36的平方根是-6; 平方根等于0的数是0; 64的算术平方根是8.,B,2.下列说法不正确的是_ A.0的平方根是0 B. 的平方根是2 C.非负数的平方根互为相反数 D.一个正数的算术平方根一定大于这个
24、数的相反数,3. 判断下列说法是否正确.,正确.,（4）(-4)2的平方根是-4.,（1） 是 的一个平方根；,（2） 是6的算术平方根；,（3） 的值是4；,正确.,不正确，是 4.,不正确，是 4.,4.求下列各式的值：,（1）,（2）,（3）,解:（1）,（2）,（3）,1.a的一个平方根是3，则另一个平方根是 ，a= . 2.81的平方根是_， 的算术平方根是_ . 3.3a-2和2a-3是一个正数的两个平方根，则这两个平方根是_和_，这个数是_.,-3,9,3,1,-1,1,一个正数的两个平方根分别是2a1和a4， 求这个数,解：由于一个正数的两个平方根是2a1和a4， 则有2a1a40，即3a30， 解得a1. 所以这个数为(2a1)2(21)29.,平方根,平方根的概念,开平方及相关运算,平方根的性质,课后作业,作业 内容,教材作业,从课后习题中选取,自主安排,配套练习册练习,
