1、1.2 类比推理,第一章 1 归纳与类比,学习目标,1.了解类比推理的含义，能进行简单的类比推理. 2.正确认识合情推理在数学中的重要作用.,问题导学,达标检测,题型探究,内容索引,问题导学,思考 科学家对火星进行研究，发现火星与地球有许多类似的特征： (1)火星也是绕太阳公转、绕轴自转的行星；(2)有大气层，在一年中也有季节更替；(3)火星上大部分时间的温度适合地球上某些已知生物的生存等.由此，科学家猜想：火星上也可能有生命存在.他们使用了什么样的推理？,知识点一 类比推理,答案 类比推理.,梳理 类比推理的定义及特征,类似,类似,不一定,两类事物特征,思考 归纳推理与类比推理有何区别与联系
2、？,知识点二 合情推理,答案 区别：归纳推理是由特殊到一般的推理；而类比推理是由个别到个别的推理或是由特殊到特殊的推理. 联系：在前提为真时，归纳推理与类比推理的结论都可真可假.,梳理 合情推理的定义及分类 定义：根据实验和实践的结果、个人的 和 、已有的 和正确的结论(定义、公理、定理等)，推测出某些结果的推理方式. 分类：常见的合情推理有 推理与 推理.,经验,直觉,事实,归纳,类比,1.由平面三角形的性质推测四面体的性质是类比推理.( ) 2.类比推理是从特殊到特殊的推理.( ) 3.合乎情理的推理一定是正确的.( ),思考辨析 判断正误,题型探究,类型一 平面图形与立体图形间的类比,解
3、析,解 对平面凸四边形：,类比在三棱锥中，,反思与感悟 (1)类比推理的一般步骤,(2)中学阶段常见的类比知识点：等差数列与等比数列，空间与平面，圆与球等等，比如平面几何的相关结论类比到立体几何的相关类比点如下：,跟踪训练1 在平面几何里，有勾股定理：“设ABC的两边AB，AC互相垂直，则AB2AC2BC2”.拓展到空间(如图)，类比平面几何的勾股定理，研究三棱锥的侧面面积与底面面积间的关系，可以得出的结论是_.,答案,设三棱锥ABCD的三个侧面ABC，ACD，ADB两两互相垂直，,解析,解析 类比条件：,两边AB，AC互相垂直,侧面ABC，ACD，ADB互相垂直.,类型二 数列中的类比推理,
4、解析,答案,例2 在等差数列an中，若a100，证明：等式a1a2ana1a2a19n(n19，nN)成立，并类比上述性质相应的在等比数列bn中，若b91，则有等式_成立.,b1b2bnb1b2b17n(n17，nN),解析 在等差数列an中， 由a100，得a1a19a2a18ana20nan1a19n2a100， a1a2ana190， 即a1a2ana19a18an1， 又a1a19，a2a18，a19nan1， a1a2ana19a18an1a1a2a19n. 相应地，类比此性质在等比数列bn中， 可得b1b2bnb1b2b17n(n17，nN).,反思与感悟 (1)运用类比思想找出项
5、与项的联系，应用等差、等比数列的性质解题是解决该题的关键. (2)等差数列和等比数列有非常类似的运算和性质，一般情况下等差数列中的和(或差)对应着等比数列中的积(或商).,解析,答案,解析 由于等差数列与等比数列具有类比性，且等差数列与和差有关，等比数列与积商有关， 因此当等差数列依次每4项的和仍成等差数列时，类比等比数列为依次每4项的积成等比数列.下面证明该结论的正确性： 设等比数列bn的公比为q，首项为b1，,例3 下列是用类比推理得出的结论： 由“abacbc”类比得到“abacbc”； 由“a(bc)abac”类比得到“sin(AB)sin Asin B”； 由“平面内，垂直于同一直线
6、的两直线相互平行”，类比得到“空间中，垂直于同一直线的两直线相互平行”； 由“分数的分子、分母同乘一个非零的数，分数值不变”类比得到“分数的分子、分母同乘一个非零的式子，分数值不变”. 其中正确结论的个数为 A.0 B.1 C.2 D.3,类型三 定义、定理或性质中的类比,解析,答案,解析 当c0时，中类比的结论不正确； 显然中类比的结论不正确； 空间中，垂直于同一直线的两直线可能平行，可能相交，也可能异面，故中类比的结论不一定成立； 中类比的结论是正确的.,反思与感悟 运用类比推理常常先要寻找合适的类比对象，例如实数加法的对象为实数，向量加法的对象为向量，且都满足交换律与结合律，都存在逆运算
7、，而且实数0与零向量分别在实数加法和向量加法中占有特殊的地位.因此我们可以从这四个方面进行类比.,解析,答案,则b2ac，即c2a2ac，可得e2e1，又由e1，,达标检测,1,2,3,4,5,1.下列平面图形中，与空间的平行六面体作为类比对象较合适的是 A.三角形 B.梯形 C.平行四边形 D.矩形,解析,答案,解析 因为平行六面体相对的两个面互相平行，类比平面图形，则相对的两条边互相平行，故选C.,1,2,3,4,5,2.下面使用类比推理，得出的结论正确的是 A.若“a3b3，则ab”类比出“若a0b0，则ab” B.“若(ab)cacbc”类比出“(ab)cacbc” C.“若(ab)c
8、acbc”类比出“ (c0)” D.“(ab)nanbn”类比出“(ab)nanbn”,解析,答案,解析 显然A，B，D不正确，只有C正确.,3.根据“正三角形的内切圆切于三边的中点”，可类比猜想出正四面体的内切球切于四面体 A.各正三角形内一点 B.各正三角形的某高线上的点 C.各正三角形的中心 D.各正三角形外的某点,1,2,3,4,5,答案,解析,解析 正四面体的四个面都是正三角形，其内切球与正四面体的四个面相切于各正三角形的中心.,解析,1,2,3,4,5,因为等差数列中的求和类比等比数列中的乘积，,答案,5.已知圆：x2y2r2上任意一点(x0，y0)处的切线方程为x0xy0yr2，
9、类比以上结论有：双曲线 上任意一点(x0，y0)处的切线方程为 _.,答案,解析,解析 圆x2y2r2上任意一点(x0，y0)处的切线方程为x0xy0yr2，可以看作是圆的方程中的用x0x代替x2，用y0y代替y2而得，故类比过圆上一点的切线方程，,1,2,3,4,5,1.进行类比推理时，要尽量从本质上思考，不要被表面现象所迷惑，否则，只抓住一点表面的相似甚至假象就去类比，就会犯机械类比的错误. 2.多用下列技巧会提高所得结论的准确性 (1)类比对象的共同属性或相似属性尽可能的多些. (2)这些共同属性或相似属性应是类比对象的主要属性. (3)这些共同(相似)属性应包括类比对象的各个方面，并尽可能是多方面.,规律与方法,
