1、第五章 数系的扩充与复数的引入,1 数系的扩充与复数的引入(一),学习目标,1.了解引进虚数单位i的必要性，了解数集的扩充过程. 2.理解在数系的扩充中由实数集扩展到复数集出现的一些基本概念. 3.掌握复数代数形式的表示方法，理解复数相等的充要条件.,问题导学,达标检测,题型探究,内容索引,问题导学,知识点一 复数的概念及复数的表示,思考 为解决方程x22在有理数范围内无根的问题，数系从有理数扩充到实数；那么怎样解决方程x210在实数系中无根的问题呢？,答案 设想引入新数i，使i是方程x210的根，即ii1，方程x210有解，同时得到一些新数.,梳理 复数及其表示 (1)复数的定义 规定i2
2、，其中i叫作 ； 若aR，bR，则形如 的数叫作复数. (2)复数的表示 复数通常表示为zabi(a，bR)； 对于复数zabi，a与b分别叫作复数z的实部与虚部，并且分别用 Re z与Im z表示，即aRe z，bIm z.,1,虚数单位,abi,(1)复数abi(a，bR),知识点二 复数的分类,(2)集合表示,知识点三 两个复数相等的充要条件,在复数集Cabi|a，bR中任取两个数abi，cdi (a，b，c，dR)，我们规定：abi与cdi相等的充要条件是 .,ac且bd,1.若a，b为实数，则zabi为虚数.( ) 2.复数zbi是纯虚数.( ) 3.若两个复数的实部的差和虚部的差都
3、等于0，那么这两个复数相等. ( ),思考辨析 判断正误,题型探究,类型一 复数的概念,例1 (1)给出下列命题： 若zC，则z20； 2i1虚部是2i； 2i的实部是0； 若实数a与ai对应，则实数集与纯虚数集一一对应； 实数集的补集是虚数集. 其中真命题的个数为 A.0 B.1 C.2 D.3,解析,答案,解析 令ziC，则i210，故不正确； 中2i1的虚部应是2，故不正确； 当a0时，ai0为实数，故不正确. 只有正确.,(2)已知复数za2(2b)i的实部和虚部分别是2和3，则实数a，b的值分别是_.,解析,答案,反思与感悟 (1)复数的代数形式：若zabi，只有当a，bR时，a才是
4、z的实部，b才是z的虚部，且注意虚部不是bi，而是b. (2)不要将复数与虚数的概念混淆，实数也是复数，实数和虚数是复数的两大构成部分. (3)举反例：判断一个命题为假命题，只要举一个反例即可，所以解答这类题时，可按照“先特殊，后一般，先否定，后肯定”的方法进行解答.,跟踪训练1 下列命题： 若aR，则(a1)i是纯虚数； 若(x24)(x23x2)i是纯虚数，则实数x2； 实数集是复数集的真子集. 其中正确说法的个数是 A.0 B.1 C.2 D.3,解析 对于，若a1，则(a1)i不是纯虚数，故错误； 对于，若x2，则x240，x23x20，此时(x24)(x23x2)i0不是纯虚数，故错
5、误. 显然正确.故选B.,解析,答案,类型二 复数的分类,解答,解 复数z是虚数的充要条件是,解得m3且m2. 当m3且m2时，复数z是虚数.,解答,(2)纯虚数.,解 复数z是纯虚数的充要条件是,故m3. 当m3时，复数z是纯虚数.,解答,引申探究 1.若本例条件不变，求m为何值时，z为实数.,虚部为m25m6. 复数z是实数的充要条件是,故m2. 当m2时，复数z是实数.,解析,答案,3或2,反思与感悟 利用复数的概念对复数分类时，主要依据实部、虚部满足的条件，可列方程或不等式求参数.,跟踪训练2 当实数m为何值时，复数lg(m22m7)(m25m6)i是 (1)纯虚数；,解答,解 若复数
6、lg(m22m7)(m25m6)i是纯虚数，,故当m4时，复数lg(m22m7)(m25m6)i是纯虚数.,解答,(2)实数.,解 若复数lg(m22m7)(m25m6)i是实数，,故当m2或3时，复数lg(m22m7)(m25m6)i为实数.,类型三 复数相等,例3 (1)已知x0是关于x的方程x2(2i1)x3mi0(mR)的实根，则 m的值是_.,解析,答案,(2)已知A1,2，a23a1(a25a6)i，B1,3，AB3，求实数a的值.,解答,解 由题意知，a23a1(a25a6)i3(aR)，,反思与感悟 (1)在两个复数相等的充要条件中，注意前提条件是a，b，c，dR，即当a，b，
7、c，dR时，abicdiac且bd.若忽略前提条件，则结论不成立. (2)利用条件把复数的实部和虚部分离出来，达到“化虚为实”的目的，从而将复数问题转化为实数问题来求解.,解析,答案,跟踪训练3 复数z1(2m7)(m22)i，z2(m28)(4m3)i，mR，若z1z2，则m_.,5,解析 因为mR，z1z2， 所以(2m7)(m22)i(m28)(4m3)i.,达标检测,1.若xii2y2i，x，yR，则复数xyi等于 A.2i B.2i C.12i D.12i,1,2,3,4,5,答案,解析,解析 由i21，得xii21xi， 则由题意得1xiy2i， 根据复数相等的充要条件得x2，y1
8、， 故xyi2i.,1,2,3,4,5,2.若复数zm21(m2m2)i为实数，则实数m的值为 A.1 B.2 C.1 D.1或2,答案,解析,解析 因为复数zm21(m2m2)i为实数， 所以m2m20，解得m1或m2.,3.下列几个命题： 两个复数相等的一个必要条件是它们的实部相等； 两个复数不相等的一个充分条件是它们的虚部不相等； 1ai(aR)是一个复数； 虚数的平方不小于0； 1的平方根只有一个，即为i； i是方程x410的一个根； i是一个无理数. 其中真命题的个数为 A.3 B.4 C.5 D.6,1,2,3,4,5,答案,解析,解析 命题正确，错误.,答案,解析,4.已知复数za2(2a3)i(aR)的实部大于虚部，则实数a的取值范围是_.,1,2,3,4,5,(，1)(3，),解析 由已知可得a22a3，即a22a30， 解得a3或a3或a1.,5.若log2(x23x2)ilog2(x22x1)1，则实数x的值是_.,答案,解析,2,1,2,3,4,5,1.对于复数zabi(a，bR)，可以限制a，b的值得到复数z的不同情况. 2.两个复数相等，要先确定两个复数的实、虚部，再利用两个复数相等的充要条件进行判断.,规律与方法,
