1、专题突破四用两种概型计算时的几个关注点一、关注基本事件的有限性和等可能性例1袋中有大小相同的3个白球，2个红球，2个黄球，每个球有一个区别于其他球的编号，从中随机摸出一个球.(1)把每个球的编号看作一个基本事件建立的概率模型是不是古典概型？(2)把球的颜色作为划分基本事件的依据，有多少个基本事件？以这些基本事件建立的概率模型是不是古典概型？思维切入将基本事件列出来，分析是否有限和等可能.解(1)因为基本事件个数有限，而且每个基本事件发生的可能性相同，所以是古典概型.(2)把球的颜色作为划分基本事件的依据，可得到“取得一个白球”“取得一个红球”“取得一个黄球”，共3个基本事件.这些基本事件个数有
2、限，但“取得一个白球”的概率与“取得一个红球”或“取得一个黄球”的概率不相等，即不满足等可能性，故不是古典概型.点评只有同时满足有限性和等可能性这两个条件的试验才是古典概型，两个条件只要有一个不满足就不是古典概型.跟踪训练1一个口袋内装有大小相等的1个白球和已有不同编号的三个黑球，从中任意摸出2个球.(1)共有多少个不同的基本事件，这样的基本事件是否为等可能的？该试验是古典概型吗？(2)摸出的两个球都是黑球记为事件A，问事件A包含几个基本事件？(3)计算事件A的概率.解(1)任意摸出两球，共有白球和黑球1，白球和黑球2，白球和黑球3，黑球1和黑球2，黑球1和黑球3，黑球2和黑球36个基本事件.
3、因为4个球的大小相同，所以摸出每个球是等可能的，故6个基本事件都是等可能事件，由古典概型定义知，这个试验是古典概型.(2)从4个球中摸出2个黑球包含3个基本事件.故事件A包含3个基本事件.(3)因为试验中基本事件总数n6，而事件A包含的基本事件数m3.所以P(A).二、关注基本事件的计算，做到不重不漏例2一只口袋内装有5个大小相同的球，白球3个，黑球2个，从中一次摸出2个球.(1)共有多少个基本事件？(2)“2个都是白球”包含几个基本事件？思维切入将结果一一列举，再计算基本事件数.解方法一(列举法)(1)分别记白球为1,2,3号，黑球为4,5号，则所有的基本事件如下：1,2，1,3，1,4，1
4、,5，2,3，2,4，2,5，3,4，3,5，4,5，共10个(其中1,2表示摸到1号球和2号球).(2)由(1)中知，“2个都是白球”包含1,2，1,3，2,3，共3个基本事件. 方法二(列表法)(1)设5个球的编号分别为a，b，c，d，e，其中a，b，c为白球，d，e为黑球.列表如下：abcdeaa，ba，ca，da，ebb，ab，cb，db，ecc，ac，bc，dc，edd，ad，bd，cd，eee，ae，be，ce，d由于每次取2个球，每次所取2个球不相同，而摸到b，a与a，b是相同的事件，故共有10个基本事件.(2)由(1)中知，“2个都是白球”包含a，b，b，c，a，c，共3个基本
5、事件.点评计算基本事件的个数时，要做到不重不漏，就需要按一定程序操作，如列举法，列表法，还可以用树状图法求解.跟踪训练2从1,2,3,4,5这5个数字中任取三个不同的数字，求下列事件的概率：(1)A三个数字中不含1和5；(2)B三个数字中含1或5.解这个试验的所有可能结果为：(1,2,3)，(1,2,4)，(1,2,5)，(1,3,4)，(1,3,5)，(1,4,5)，(2,3,4)，(2,3,5)，(2,4,5)，(3,4,5)，共10种.(1)事件A为(2,3,4)，故P(A).(2)事件B的所有可能结果为：(1,2,3)，(1,2,4)，(1,2,5)，(1,3,4)，(1,3,5)，(
6、1,4,5)，(2,3,5)，(2,4,5)，(3,4,5)，共9种.故P(B).三、关注事件间的关系，优化概率计算方法例3有3个完全相同的小球a，b，c，随机放入甲、乙两个盒子中，求两个盒子都不空的概率.思维切入先分析三个小球随机放入甲、乙两个盒子的基本事件，再确定两个盒子都不空的对立事件是至少有一个盒子为空所包含的事件，从而确定该事件的概率.解a，b，c三个小球随机放入甲、乙两个盒子的基本事件为：甲盒a，b，ca，baa，cb，cbc空乙盒空cb，cbac，aa，ba，b，c两个盒子都不空的对立事件是至少有一个盒子为空，所包含事件：甲盒子a，b，c，乙盒子空；甲盒子空，乙盒子a，b，c，共
7、2个，故P1.点评在求解较复杂事件的概率时，可将其分解为几个互斥的简单事件的和事件，由公式P(A1A2An)P(A1)P(A2)P(An)求得或采用正难则反的原则，转化为其对立事件，再用公式P(A)1P()求得.跟踪训练3袋中有红、黄、白3种颜色的球各1只，从中任取1只，有放回地抽取3次，求3只颜色不全相同的概率.解记“3只颜色全相同”为事件A，则所求事件为A的对立事件.因为“3只颜色全相同”又可分为“3只全是红球(事件B)”，“3只全是黄球(事件C)”，“3只全是白球(事件D)”，且它们彼此互斥，故3只颜色全相同即为事件BCD，由于红、黄、白球的个数一样，基本事件的总数为27，故有P(B)P
8、(C)P(D)，所以P(A)P(BCD)P(B)P(C)P(D)，因此有P()1.四、关注事件的测度，规避几何概型易错点例4(1)在RtABC中，A90，ABAC，过点A作一射线交线段BC于点M，求BMAB的概率；(2)在RtABC中，A90，ABAC，在线段BC上取一点M，求BMAB的概率.思维切入(1)“过点A作一射线”等可能地分布在BAC内，测度为角度.(2)“在线段BC上取一点M”，等可能地分布在线段BC上，测度为长度.解(1)记“过点A作一射线交线段BC于点M，使BMAB”为事件，由于是过点A作一射线交线段BC于点M，所以射线在BAC内是等可能出现的，又当ABBM时BAM67.5，所
9、以P().(2)设ABAC1，则BC，设“在线段BC上取一点M，使BMAB”为事件，则P().点评当试验是“过点A作一射线”时，用角度作测度；当试验是“在线段BC上取一点”时，用线段长度作测度.一般地，试验是什么，可以确定基本事件是什么.基本事件累积起来，就可以确定区域是角度、长度还是面积等.跟踪训练4如图，在单位圆O的某一直径上随机的取一点Q，求过点Q且与该直径垂直的弦长长度不超过1的概率.解弦长不超过1，故OQ，因为Q点在直径AB上是随机的，设事件A为“弦长长度超过1”，由几何概型的概率计算公式得，P(A).所以其对立事件“弦长不超过1”的概率为P()1P(A)1.1.在一个袋子中装有分别
10、标注数字1,2,3,4,5的五个小球，这些小球除标注的数字不同外其他完全相同.现从中随机取出2个小球，则取出的小球标注的数字之和为3或6的概率是()A. B. C. D.答案A解析随机取出2个小球得到的结果有10种，取出的小球标注的数字之和为3或6的结果为1,2，1,5，2,4，共3种，所以P，故选A.2.从集合a，b，c，d，e的所有子集中任取一个，则这个集合恰是集合a，b，c的子集的概率是()A. B. C. D.答案C解析集合a，b，c，d，e共有2532(个)子集，而集合a，b，c的子集有238(个)，所以所求概率为P.3.盒子里有25个外形相同的球，其中有10个白球，5个黄球，10个
11、黑球，从盒子中任意取出一球，已知它不是白球，则它是黑球的概率为()A. B. C. D.答案D解析试验发生包含的事件是从盒子中取出一个不是白球的小球，共有51015(种)结果，满足条件的事件是取出的球是一个黑球，共有10种结果，因此它是黑球的概率P.故选D.4.在等腰RtABC中，C90，在直角边BC上任取一点M，则CAM30的概率是_.答案解析点M在直角边BC上是等可能出现的，“测度”是长度.设直角边长为a，则所求概率为.5.在1,2,3,4四个数中随机地抽取一个数记为a，再在剩余的三个数中随机地抽取一个数记为b，则“不是整数”的概率为_.答案解析在1,2,3,4四个数中随机地抽取一个数记为
12、a，再在剩余的三个数中随机地抽取一个数记为b，基本事件总数n4312.“不是整数”包含的基本事件有，共8个.“不是整数”的概率P.6.已知在ABC中，ABC60，AB2，BC6，在BC上任取一点D，则使ABD为钝角三角形的概率为_.答案解析如图，当BE1时，AEB为直角，则当点D在线段BE(不包含B，E点)上时，ABD为钝角三角形；当BF4时，BAF为直角，则当点D在线段CF(不包含C，F点)上时，ABD为钝角三角形，所以ABD为钝角三角形的概率为.7.在区间0,2中随机地取出两个数，求两数之和小于1的概率.解设x，y表示所取的任意两个数，由于x0,2，y0,2，以两数x，y为坐标的点在以2为
13、边长的正方形区域内，设“两数和小于1”为事件A，则事件A所在区域为直线xy1的下方且在正方形的区域内，设其面积为S.则S，P(A).8.已知关于x的二次函数f(x)ax2bx1，设集合P1,2,3，Q1,1,2,3,4，分别从集合P和Q中随机取一个数a和b得到数对(a，b). (1)列举出所有的数对(a，b)，并求函数yf(x)有零点的概率；(2)求函数yf(x)在区间1，)上是增函数的概率.解(1)(a，b)有(1，1)，(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2，1)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(3，1)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，共15种情况.函数yf(x)有零点等价于b24a0，有(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,3)，(2,4)，(3,4)，共6种情况满足条件.所以函数yf(x)有零点的概率为.(2)因为a0，函数yf(x)图象的对称轴为直线x，在区间1，)上是增函数，所以有1，满足条件的(a，b)为(1，1)，(1,1)，(1,2)，(2，1)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(3，1)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，共13种.所以函数yf(x)在区间1，)上是增函数的概率为.
