2020北师大版高中数学必修二《第二章 解析几何初步》章末检测卷(含答案)

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1、章末检测(二)一、选择题(本大题共12个小题,每小题5分,共60分)1.与直线l:3x5y40关于x轴对称的直线的方程为()A.3x5y40 B.3x5y40C.5x3y40 D.5x3y40解析因为点(x,y)关于x轴对称的点的坐标为(x,y),所以只需将已知直线中的变量y变为y即可,即为3x5y40.答案A2.空间直角坐标系中,点A(3,4,0)与B(x,1,6)的距离为,则x的值为()A.2 B.8C.2或8 D.8或2解析由空间中两点间的距离公式得(x3)2(14)2(60)2()2,解得x2或x8.答案C3.已知直线l1的倾斜角为60,直线l2经过点A(1,),B(2,2),则直线l

2、1,l2的位置关系是()A.平行或重合 B.平行C.垂直 D.重合解析由题意可知直线l1的斜率k1tan 60,直线l2的斜率k2,因为k1k2,所以l1l2或l1,l2重合.答案A4.已知直线l过圆x2(y3)24的圆心,且与直线xy10垂直,则l的方程是()A.xy20 B.xy20C.xy30 D.xy30解析圆x2(y3)24的圆心为点(0,3),又因为直线l与直线xy10垂直,所以直线l的斜率k1.由点斜式得直线l:y3x0,化简得xy30.答案D5.已知直线2xmy13m0,当m变动时,所有直线都通过定点()A. B.C. D.解析(2x1)m(y3)0恒成立,2x10,y30,x

3、,y3,定点为.答案D6.若直线ykx1与圆x2y2kxy90的两个交点恰好关于y轴对称,则k=()A.0 B.1 C.2 D.3解析联立得(1k2)x22kx90,40k2360.设直线与圆的两交点的横坐标为x1,x2,x1,x2关于y轴对称,x1x20,k0.答案A7.设点A(2,3),B(3,2),直线过P(1,1)且与线段AB相交,则l的斜率k的取值范围是()A.k或k4 B.4kC.k4 D.以上都不对解析如图,直线l过点P且与线段AB相交可得kkPB或kkPA.kPB,kPA4,k或k4.答案A8.已知直线x2y30与圆(x2)2(y3)29交于E,F两点,则EOF(O是原点)的面

4、积为()A. B. C.2 D.解析该圆的圆心为A(2,3),半径长r3,圆心到直线的距离d,弦长为224.因为原点到直线的距离为,所以S4.答案D9.已知直线l1:ax4y20与直线l2:2x5yb0互相垂直,垂足为(1,c),则abc的值为()A.4 B.20 C.0 D.24解析垂足(1,c)是两直线的交点,且l1l2,故1,a10.l1:10x4y20.将(1,c)代入,得c2;将(1,2)代入l2:得b12.则abc10(12)(2)4.答案A10.若x,y满足x2y22x4y200,则x2y2的最小值是()A.5 B.5C.3010 D.无法确定解析设P(x,y)是圆C上一点.配方

5、,得(x1)2(y2)225,圆心坐标为C(1,2),半径r5.,要使最小,则线段PO最短.如图,当点P,O,C在同一直线上时,|PO|min|PC|OC|55,即(x2y2)min3010.答案C11.如图,已知A(4,0)、B(0,4),从点P(2,0)射出的光线经直线AB反射后再射到直线OB上,最后经直线OB反射后又回到P点,则光线所经过的路程是()A.2 B.6C.3 D.2解析由题意知点P关于直线AB的对称点为D(4,2),关于y轴的对称点为C(2,0),则光线所经过的路程为|CD|2.答案A12.当曲线y1与直线yk(x2)4有两个相异交点时,实数k的取值范围是()A. B.C.

6、D.解析曲线y1是以(0,1)为圆心,2为半径的半圆(如图),直线yk(x2)4是过定点(2,4)的直线.设切线PC的斜率为k0,则切线PC的方程为yk0(x2)4,圆心(0,1)到直线PC的距离等于半径2,即2,k0.直线PA的斜率为k1.所以,实数k的取值范围是k.答案C二、填空题(本大题共4个小题,每小题5分,共20分)13.已知M(3,0)是圆x2y28x2y100内一点,则过点M的最长的弦所在直线方程为_.解析因为直径是圆的最长的弦,所以圆心(4,1)在所求的直线上.所以所求的直线方程为,即xy30.答案xy3014.已知直线l与直线y1,xy70分别相交于点P、Q,线段PQ的中点坐

7、标为(1,1),那么直线l的斜率为_.解析设P(x,1),则Q(2x,3),将Q坐标代入xy70得,2x370.x2,P(2,1),kl.答案15.对于任意实数k,直线(3k2)xky20与圆x2y22x2y20的位置关系是_.解析(3xy)k2x20,直线恒过点(1,3).又点(1,3)在圆上,直线与圆相切或相交.答案相切或相交16.若O(0,0),A(4,1)两点到直线axa2y60的距离相等,则实数a_.解析由题意得,即4aa266,解得a0或2或4或6.检验得a0不合题意,所以a2或4或6.答案2或4或6三、解答题(本大题共6个小题,共70分)17.(10分)求经过两直线2x3y30和

8、xy20的交点且与直线3xy10平行的直线方程.解法一由方程组得直线l和直线3xy10平行,直线l的斜率k3.根据点斜式有y3,故所求直线方程为15x5y160.法二直线l过两直线2x3y30和xy20的交点,设直线l的方程为2x3y3(xy2)0,即(2)x(3)y230.直线l与直线3xy10平行,解得.从而所求直线方程为15x5y160.18.(12分)已知直线l经过点P(4,3),且被圆(x1)2(y2)225截得的弦长为8,求直线l的方程.解圆(x1)2(y2)225的圆心为(1,2),半径r5,当直线l的斜率不存在时,其方程为x4,由题意可知直线x4符合题意.当直线l的斜率存在时,

9、设其方程为y3k(x4),即kxy4k30.由题意可知()2()252,解得k.即所求直线方程为4x3y250,综上所述,满足题设的直线l方程为x4或4x3y250.19.(12分)如图所示,射线OA,OB分别与x轴正半轴成45和30角,过点P(1,0)作直线AB分别交OA,OB于A,B两点,当线段AB的中点C恰好落在直线yx上时,求直线AB的方程.解由题意可得kOAtan 451,kOBtan(18030),所以直线lOA:yx,lOB:yx.设A(m,m),B(n,n),所以线段AB的中点C的坐标为,由点C在直线yx上,且A,P,B三点共线得解得m,所以A(,).因为P(1,0),所以kA

10、BkAP,所以lAB:y(x1),即直线AB的方程为(3)x2y30.20.(12分)已知圆C:x2y22x4y30.(1)若圆C的切线在x轴和y轴上的截距相等,求此切线的方程;(2)从圆C外一点P(x1,y1)向该圆引一条切线,切点为M,O为坐标原点,且有|PM|PO|,求使得|PM|取得最小值时点P的坐标.解(1)将圆C整理,得(x1)2(y2)22.当切线在两坐标轴上的截距为0时,设切线方程为ykx,圆心到切线的距离为,即k24k20,解得k2.切线方程为y(2)x.当切线在两坐标轴上的截距不为0时,设切线方程为xya0,圆心到切线的距离为,即|a1|2,解得a3或1.切线方程为xy10

11、或xy30.综上所述,所求切线方程为y(2)x或xy10或xy30.(2)|PO|PM|,xy(x11)2(y12)22,即2x14y130,即点P在直线l:2x4y30上.当|PM|取最小值时,|OP|取得最小值,此时直线OPl,直线OP的方程为2xy0.联立方程组解得点P的坐标为.21.(12分)光线沿直线l1:x2y50射入,遇直线l:3x2y70后反射,求反射光线所在的直线方程.解法一由得反射点M的坐标为(1,2).又取直线x2y50上一点P(5,0),设P关于直线l的对称点为P(x0,y0),由PPl可知,kPP.而PP的中点Q的坐标为,Q点在l上,3270.由得根据直线的两点式方程

12、可得所求反射光线所在的直线方程为29x2y330.法二设直线x2y50上任意一点P(x0,y0)关于直线l的对称点为P(x,y),则,又PP的中点Q在l上,3270,由可得P点的坐标为x0,y0,代入方程x2y50中,化简得29x2y330,所求反射光线所在的直线方程为29x2y330.22.(12分)如图,已知圆心坐标为(,1)的圆M与x轴及直线yx分别相切于A,B两点,另一圆N与圆M外切,且与x轴及直线yx分别相切于C,D两点.(1)求圆M与圆N的方程;(2)过点B作直线MN的平行线l,求直线l被圆N截得的弦的长度.解(1)因为点M的坐标为(,1),所以点M到x轴的距离为1,即圆M的半径长为1,则圆M的方程为(x)2(y1)21.设圆N的半径长为r,连接MA,NC,OM,如图所示,则MAx轴,NCx轴.由题意知点M,N都在COD的平分线上,所以O,M,N三点共线.由RtOAMRtOCN可知,|OM|ON|MA|NC|,即r3.则|OC|3,N(3,3),则圆N的方程为(x3)2(y3)29.(2)由对称性可知所求的弦长等于过点A与MN平行的直线被圆N截得的弦的长度,此弦的方程是y(x)(x),即xy0,圆心N到该直线的距离d,则弦长为2.

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