1、2019年中考数学真题分类训练专题八：二次函数一、选择题1（2019山西）北中环桥是省城太原的一座跨汾河大桥（如图1），它由五个高度不同，跨径也不同的抛物线型钢拱通过吊桥，拉索与主梁相连，最高的钢拱如图2所示，此钢拱（近似看成二次函数的图象-抛物线）在同一竖直平面内，与拱脚所在的水平面相交于A，B两点拱高为78米（即最高点O到AB的距离为78米），跨径为90米（即AB=90米），以最高点O为坐标原点，以平行于AB的直线为x轴建立平面直角坐标系，则此抛物线钢拱的函数表达式为Ay=x2By=-x2Cy=x2Dy=-x2【答案】B2（2019舟山）小飞研究二次函数y=（xm）2m+1（m为常数）性质
2、时，有如下结论：这个函数图象的顶点始终在直线y=x+1上；存在一个m的值，使得函数图象的顶点与x轴的两个交点构成等腰直角三角形；点A（x1，y1）与点B（x2，y2）在函数图象上，若x12m，则y1y2；当1x|b|，在同一平面直角坐标系中，二次函数y1=ax2+bx与一次函数y2=ax+b的大致图象不可能是ABCD【答案】D9（2019遂宁）二次函数的图象如图所示，对称轴为直线，下列结论不正确的是AB当时，顶点的坐标为C当时，D当时，y随x的增大而增大【答案】C10（2019绍兴）在平面直角坐标系中，抛物线经过变换后得到抛物线，则这个变换可以是A向左平移2个单位B向右平移2个单位C向左平移8
3、个单位D向右平移8个单位【答案】B11（2019济宁）将抛物线向上平移两个单位长度，再向右平移一个单位长度后，得到的抛物线解析式是ABCD【答案】D12（2019福建）若二次函数y=|a|x2+bx+c的图象经过A（m，n）、B（0，y1）、C（3-m，n）、D（，y2）、E（2，y3），则y1、y2、y3的大小关系是Ay1y2y3By1y3y2Cy3y2y1Dy2y3y1y2B2y2y1Cy1y22Dy2y12【答案】A14（2019河南）已知抛物线y=-x2+bx+4经过（-2，n）和（4，n）两点，则n的值为A-2B-4C2D4【答案】B二、填空题15（2019广安）在某市中考体考前，某
4、初三学生对自己某次实心球训练的录像进行分析，发现实心球飞行高度y（米）与水平距离x（米）之间的关系为，由此可知该生此次实心球训练的成绩为_米【答案】1016（2019济宁）如图，抛物线与直线交于A（-1，P），B（3，q）两点，则不等式的解集是_【答案】或17（2019凉山州）当时，直线与抛物线有交点，则a的取值范围是_【答案】18（2019安徽）在平面直角坐标系中，垂直于x轴的直线l分别与函数y=x-a+1和y=x2-2ax的图象相交于P，Q两点若平移直线l，可以使P，Q都在x轴的下方，则实数a的取值范围是_【答案】a1或a0，k223（2019宿迁）超市销售某种儿童玩具，如果每件利润为40
5、元（市场管理部门规定，该种玩具每件利润不能超过60元），每天可售出50件根据市场调查发现，销售单价每增加2元，每天销售量会减少1件设销售单价增加元，每天售出件（1）请写出与之间的函数表达式；（2）当为多少时，超市每天销售这种玩具可获利润2250元？（3）设超市每天销售这种玩具可获利元，当为多少时最大，最大值是多少？解：（1）根据题意得，（2）根据题意得，解得：，每件利润不能超过60元，答：当为10时，超市每天销售这种玩具可获利润2250元（3）根据题意得，当时，随的增大而增大，当时，答：当为20时最大，最大值是2400元24（2019潍坊）扶贫工作小组对果农进行精准扶贫，帮助果农将一种有机生态
6、水果拓宽了市场与去年相比，今年这种水果的产量增加了1000千克，每千克的平均批发价比去年降低了1元，批发销售总额比去年增加了（1）已知去年这种水果批发销售总额为10万元，求这种水果今年每千克的平均批发价是多少元？（2）某水果店从果农处直接批发，专营这种水果调查发现，若每千克的平均销售价为41元，则每天可售出300千克；若每千克的平均销售价每降低3元，每天可多卖出180千克，设水果店一天的利润为元，当每千克的平均销售价为多少元时，该水果店一天的利润最大，最大利润是多少？（利润计算时，其它费用忽略不计）解：（1）由题意，设这种水果今年每千克的平均批发价是元，则去年的批发价为元，今年的批发销售总额为
7、万元，整理得，解得或（不合题意，舍去），故这种水果今年每千克的平均批发价是24元（2）设每千克的平均售价为元，依题意由（1）知平均批发价为24元，则有，整理得，抛物线开口向下，当元时，取最大值，即每千克的平均销售价为35元时，该水果店一天的利润最大，最大利润是7260元25（2019南充）在“我为祖国点赞”征文活动中，学校计划对获得一、二等奖的学生分别奖励一支钢笔，一本笔记本.已知购买2支钢笔和3个笔记本共38元，购买4支钢笔和5个笔记本共70元（1）钢笔、笔记本的单价分别为多少元？（2）经与商家协商，购买钢笔超过30支时，每增加一支，单价降低0.1元；超过50支，均按购买50支的单价销售，笔
8、记本一律按原价销售，学校计划奖励一、二等奖学生共计100人，其中一等奖的人数不少于30人，且不超过60人，这次奖励一等学生多少人时，购买奖品金额最少，最少为多少元？解：（1）设钢笔、笔记本的单价分别为、元，根据题意可得，解得：答：钢笔、笔记本的单价分别为10元，6元（2）设钢笔单价为元，购买数量为b支，支付钢笔和笔记本总金额为W元，当30b50时，w=b（-0.1b+13）+6（100-b），当时，W=720，当b=50时，W=700，当30b50时，700W722.5当50b60时，a=8，当30b60时，W的最小值为700元，当一等奖人数为50时花费最少，最少为700元26（2019梧州）
9、我市某超市销售一种文具，进价为5元/件售价为6元/件时，当天的销售量为100件在销售过程中发现：售价每上涨0.5元，当天的销售量就减少5件设当天销售单价统一为x元/件（x6，且x是按0.5元的倍数上涨），当天销售利润为y元（1）求y与x的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）；（2）要使当天销售利润不低于240元，求当天销售单价所在的范围；（3）若每件文具的利润不超过80%，要想当天获得利润最大，每件文具售价为多少元？并求出最大利润解：（1）由题意，y=（x-5）（100-5）=-10x2+210x-800，故y与x的函数关系式为：y=-10x2+210x-800（2）要使当天利润不低于24
10、0元，则y240，y=-10x2+210x-800=-10（x-10.5）2+302.5=240，解得，x1=8，x2=13，-100，抛物线的开口向下，当天销售单价所在的范围为8x13（3）每件文具利润不超过80%，得x9，文具的销售单价为6x9，由（1）得y=-10x2+210x-800=-10（x-10.5）2+302.5，对称轴为x=10.5，6x9在对称轴的左侧，且y随着x的增大而增大，当x=9时，取得最大值，此时y=-10（9-10.5）2+302.5=280，即每件文具售价为9元时，最大利润为280元27（2019云南）某驻村扶贫小组实施产业扶贫，帮助贫困农户进行西瓜种植和销售已
11、知西瓜的成本为6元/千克，规定销售单价不低于成本，又不高于成本的两倍经过市场调查发现，某天西瓜的销售量y（千克）与销售单价x（元/千克）的函数关系如图所示：（1）求y与x的函数解析式（也称关系式）；（2）求这一天销售西瓜获得的利润W的最大值解：（1）当6x10时，设y与x的关系式为y=kx+b（k0），根据题意得，解得，y=-200x+1200，当10x12时，y=200，故y与x的函数解析式为：y=（2）由已知得：W=（x-6）y，当6x10时，W=（x-6）（-200x+1200）=-200（x-）2+1250，-2000，抛物线的开口向下，x=时，取最大值，W=1250，当100），物价
12、部门规定该商品售价不得超过65元/件，该商店在今后的销售中，周销售量与售价仍然满足（1）中的函数关系若周销售最大利润是1400元，求m的值解：（1）依题意设y=kx+b，则有，解得，所以y关于x的函数解析式为y=-2x+200该商品进价是50-1000100=40，设每周获得利润w=ax2+bx+c，则有，解得，w=-2x2+280x-8000=-2（x-70）2+1800，当售价是70元/件时，周销售利润最大，最大利润是1800元；故答案为：40，70，1800；（2）根据题意得，w=（x-40-m）（-2x+200）=-2x2+（280+2m）x-8000-200m，对称轴x=，当65时（
13、舍），当65时，x=65时，w求最大值1400，解得：m=530（2019杭州）设二次函数y=（xx1）（xx2）（x1，x2是实数）（1）甲求得当x=0时，y=0；当x=1时，y=0；乙求得当x时，y若甲求得的结果都正确，你认为乙求得的结果正确吗？说明理由（2）写出二次函数图象的对称轴，并求该函数的最小值（用含x1，x2的代数式表示）（3）已知二次函数的图象经过（0，m）和（1，n）两点（m，n是实数），当0x1x21时，求证：0mn解：（1）乙求得的结果不正确，理由如下：当x=0时，y=0；当x=1时，y=0；二次函数经过点（0，0），（1，0），x1=0，x2=1，yx（x1）=x2x，
14、当x时，y，乙求得的结果不正确；（2）对称轴为x，当x时，函数的最小值是；（3）二次函数的图象经过（0，m）和（1，n）两点，m=x1x2，n=1x1x2+x1x2，mn=，0x1x21，0，0，0mn31（2019金华）如图，在平面直角坐标系中，正方形OABC的边长为4，边OA，OC分别在x轴，y轴的正半轴上，把正方形OABC的内部及边上，横、纵坐标均为整数的点称为好点点P为抛物线y=（xm）2+m+2的顶点（1）当m=0时，求该抛物线下方（包括边界）的好点个数（2）当m=3时，求该抛物线上的好点坐标（3）若点P在正方形OABC内部，该抛物线下方（包括边界）恰好存在8个好点，求m的取值范围解
15、：（1）如图1中，当m=0时，二次函数的表达式y=x2+2，函数图象如图1所示当x=0时，y=2，当x=1时，y=1，抛物线经过点（0，2）和（1，1），观察图象可知：好点有：（0，0），（0，1），（0，2），（1，0），（1，1），共5个（2）如图2中，当m=3时，二次函数解析式为y=（x3）2+5如图2当x=1时，y=1，当x=2时，y=4，当x=4时，y=4，抛物线经过（1，1），（2，4），（4，4），由图象可知，抛物线上存在好点，坐标分别为（1，1），（2，4），（4，4）（3）如图3中，抛物线的顶点P（m，m+2），抛物线的顶点P在直线y=x+2上，点P在正方形内部，则0m2，如
16、图3中，E（2，1），F（2，2），观察图象可知，当点P在正方形OABC内部，该抛物线下方（包括边界）恰好存在8个好点时，抛物线与线段EF有交点（点F除外），当抛物线经过点E时，（2m）2+m+2=1，解得m或（舍弃），当抛物线经过点F时，（2m）2+m+2=2，解得m=1或4（舍弃），当m0时，c0，函数不经过第三象限，则0，0b8，4x0，当5x1时，函数有最小值2b，当52时，函数有最大值1+3b，当21时，函数有最大值253b；函数的最大值与最小值之差为16，当最大值1+3b时，1+3b2b=16，b=6或b=10，4b8，b=6；当最大值253b时，253b2b=16，b=2或b=1
17、8，2b4，b=2；综上所述b=2或b=633（2019温州）如图，在平面直角坐标系中，二次函数yx2+2x+6的图象交x轴于点A，B（点A在点B的左侧）（1）求点A，B的坐标，并根据该函数图象写出y0时x的取值范围（2）把点B向上平移m个单位得点B1若点B1向左平移n个单位，将与该二次函数图象上的点B2重合；若点B1向左平移（n+6）个单位，将与该二次函数图象上的点B3重合已知m0，n0，求m，n的值解：（1）令y=0，则，解得x1=2，x2=6，A（2，0），B（6，0），由函数图象得，当y0时，2x6；（2）由题意得，B1（6，m），B2（6n，m），B3（n，m），函数图象的对称轴为直
18、线，点B2，B3在二次函数图象上且纵坐标相同，n=1，m，n的值分别为，134（2019宁波）如图，已知二次函数y=x2+ax+3的图象经过点P（2，3）（1）求a的值和图象的顶点坐标（2）点Q（m，n）在该二次函数图象上当m=2时，求n的值；若点Q到y轴的距离小于2，请根据图象直接写出n的取值范围解：（1）把点P（2，3）代入y=x2+ax+3中，得3=（2）22a+3，解得a=2，y=x2+2x+3=（x+1）2+2，顶点坐标为（1，2）；（2）把x=2代入y=x+2x+3，求得y=11，当m=2时，n=11；点Q到y轴的距离小于2，|m|2，2m2，2n1135（2019衢州）某宾馆有若
19、干间标准房，当标准房的价格为200元时，每天入住的房间数为60间经市场调查表明，该馆每间标准房的价格在170240元之间（含170元，240元）浮动时，每天入住的房间数y（间）与每间标准房的价格x（元）的数据如下表：x（元）190200210220y（间）65605550（1）根据所给数据在坐标系中描出相应的点，并画出图象（2）求y关于x的函数表达式，并写出自变量x的取值范围（3）设客房的日营业额为w（元）若不考虑其他因素，问宾馆标准房的价格定为多少元时，客房的日营业额最大？最大为多少元？解：（1）如图所示：（2）设y=kx+b，将（200，60）、（220，50）代入，得：，解得，yx+16
20、0（170x240）；（3）w=xy=x（x+160）x2+160x，对称轴为直线x160，a0，在170x240范围内，w随x的增大而减小，当x=170时，w有最大值，最大值为12750元36（2019舟山）某农作物的生长率p与温度t（）有如下关系：如图，当10t25时可近似用函数p刻画；当25t37时可近似用函数p（th）2+0.4刻画（1）求h的值（2）按照经验，该作物提前上市的天数m（天）与生长率p之间满足已学过的函数关系，部分数据如下：求：m关于p的函数表达式；用含t的代数式表示m天气寒冷，大棚加温可改变农作物生长速度大棚恒温20时每天的成本为100元，计划该作物30天后上市，现根据
21、市场调查：每提前一天上市售出（一次售完），销售额可增加600元因此决定给大棚继续加温，但加温导致成本增加，估测加温到20t25时的成本为200元/天，但若欲加温到25t37，由于要采用特殊方法，成本增加到400元/天问加温到多少度时增加的利润最大？并说明理由（注：农作物上市售出后大棚暂停使用）解：（1）把（25，0.3）代入p（th）2+0.4，得0.3（25h）2+0.4，解得h=29或h=21，25t37，h=29（2）由表格可知，m是p的一次函数，设m=kp+b，把（0.2，0），（0.3，10）代入得，解得，m=100p20当10t25时，p，m=100（）20=2t40；当25t37
22、时，p（t29）2+0.4，m=100（t29）2+0.420（t29）2+20，m.当20t25时，增加的利润为：600m+10030200（30m）=800m3000=1600t35000，当t=25时，增加的利润的最大值为16002535000=5000（元）；当25t37时，增加的利润为：600m+10030400（30m）=1000m9000=625（t29）2+11000，当t=29时，增加的利润的最大值为11000元综上，当t=29时，提前20天上市，增加的利润最大，最大值为11000元37（2019湖州）如图1，已知在平面直角坐标系xOy中，四边形OABC是矩形，点A，C分别在
23、x轴和y轴的正半轴上，连结AC，OA=3，tanOAC，D是BC的中点（1）求OC的长和点D的坐标；（2）如图2，M是线段OC上的点，OMOC，点P是线段OM上的一个动点，经过P，D，B三点的抛物线交x轴的正半轴于点E，连结DE交AB于点F将DBF沿DE所在的直线翻折，若点B恰好落在AC上，求此时BF的长和点E的坐标；以线段DF为边，在DF所在直线的右上方作等边DFG，当动点P从点O运动到点M时，点G也随之运动，请直接写出点G运动路径的长解：（1）OA=3，tanOAC，OC四边形OABC是矩形，BC=AO=3D是BC的中点，CDBC，点D的坐标为（，）（2）tanOAC，OAC=30，ACB
24、=OAC=30设将DBF翻折后，点B落在AC上的B处，则DB=DB=DC，BDF=BDF，DBC=ACB=30，BDB=60，BDF=BDF=30B=90，BF=BDtan30AB，AF=BFBFD=AFE，B=FAE=90，BFDAFE（ASA），AE=BD，OE=OA+AE，点E的坐标为（，0）；动点P在点O时，抛物线过点P（0，0）、D（，）、B（3，）求得此时抛物线解析式为yx2x，E（，0），直线DE：y，F1（3，）；当动点P从点O运动到点M时，抛物线过点P（0，）、D（，）、B（3，）求得此时抛物线解析式为yx2，E（6，0），直线DE：y，F2（3，）；点F运动路径的长为F1F2，DFG为等边三角形，G运动路径的长为
