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2019年中考数学真题分类训练——专题八:二次函数

1、2019年中考数学真题分类训练专题八:二次函数一、选择题1(2019山西)北中环桥是省城太原的一座跨汾河大桥(如图1),它由五个高度不同,跨径也不同的抛物线型钢拱通过吊桥,拉索与主梁相连,最高的钢拱如图2所示,此钢拱(近似看成二次函数的图象-抛物线)在同一竖直平面内,与拱脚所在的水平面相交于A,B两点拱高为78米(即最高点O到AB的距离为78米),跨径为90米(即AB=90米),以最高点O为坐标原点,以平行于AB的直线为x轴建立平面直角坐标系,则此抛物线钢拱的函数表达式为Ay=x2By=-x2Cy=x2Dy=-x2【答案】B2(2019舟山)小飞研究二次函数y=(xm)2m+1(m为常数)性质

2、时,有如下结论:这个函数图象的顶点始终在直线y=x+1上;存在一个m的值,使得函数图象的顶点与x轴的两个交点构成等腰直角三角形;点A(x1,y1)与点B(x2,y2)在函数图象上,若x12m,则y1y2;当1x|b|,在同一平面直角坐标系中,二次函数y1=ax2+bx与一次函数y2=ax+b的大致图象不可能是ABCD【答案】D9(2019遂宁)二次函数的图象如图所示,对称轴为直线,下列结论不正确的是AB当时,顶点的坐标为C当时,D当时,y随x的增大而增大【答案】C10(2019绍兴)在平面直角坐标系中,抛物线经过变换后得到抛物线,则这个变换可以是A向左平移2个单位B向右平移2个单位C向左平移8

3、个单位D向右平移8个单位【答案】B11(2019济宁)将抛物线向上平移两个单位长度,再向右平移一个单位长度后,得到的抛物线解析式是ABCD【答案】D12(2019福建)若二次函数y=|a|x2+bx+c的图象经过A(m,n)、B(0,y1)、C(3-m,n)、D(,y2)、E(2,y3),则y1、y2、y3的大小关系是Ay1y2y3By1y3y2Cy3y2y1Dy2y3y1y2B2y2y1Cy1y22Dy2y12【答案】A14(2019河南)已知抛物线y=-x2+bx+4经过(-2,n)和(4,n)两点,则n的值为A-2B-4C2D4【答案】B二、填空题15(2019广安)在某市中考体考前,某

4、初三学生对自己某次实心球训练的录像进行分析,发现实心球飞行高度y(米)与水平距离x(米)之间的关系为,由此可知该生此次实心球训练的成绩为_米【答案】1016(2019济宁)如图,抛物线与直线交于A(-1,P),B(3,q)两点,则不等式的解集是_【答案】或17(2019凉山州)当时,直线与抛物线有交点,则a的取值范围是_【答案】18(2019安徽)在平面直角坐标系中,垂直于x轴的直线l分别与函数y=x-a+1和y=x2-2ax的图象相交于P,Q两点若平移直线l,可以使P,Q都在x轴的下方,则实数a的取值范围是_【答案】a1或a0,k223(2019宿迁)超市销售某种儿童玩具,如果每件利润为40

5、元(市场管理部门规定,该种玩具每件利润不能超过60元),每天可售出50件根据市场调查发现,销售单价每增加2元,每天销售量会减少1件设销售单价增加元,每天售出件(1)请写出与之间的函数表达式;(2)当为多少时,超市每天销售这种玩具可获利润2250元?(3)设超市每天销售这种玩具可获利元,当为多少时最大,最大值是多少?解:(1)根据题意得,(2)根据题意得,解得:,每件利润不能超过60元,答:当为10时,超市每天销售这种玩具可获利润2250元(3)根据题意得,当时,随的增大而增大,当时,答:当为20时最大,最大值是2400元24(2019潍坊)扶贫工作小组对果农进行精准扶贫,帮助果农将一种有机生态

6、水果拓宽了市场与去年相比,今年这种水果的产量增加了1000千克,每千克的平均批发价比去年降低了1元,批发销售总额比去年增加了(1)已知去年这种水果批发销售总额为10万元,求这种水果今年每千克的平均批发价是多少元?(2)某水果店从果农处直接批发,专营这种水果调查发现,若每千克的平均销售价为41元,则每天可售出300千克;若每千克的平均销售价每降低3元,每天可多卖出180千克,设水果店一天的利润为元,当每千克的平均销售价为多少元时,该水果店一天的利润最大,最大利润是多少?(利润计算时,其它费用忽略不计)解:(1)由题意,设这种水果今年每千克的平均批发价是元,则去年的批发价为元,今年的批发销售总额为

7、万元,整理得,解得或(不合题意,舍去),故这种水果今年每千克的平均批发价是24元(2)设每千克的平均售价为元,依题意由(1)知平均批发价为24元,则有,整理得,抛物线开口向下,当元时,取最大值,即每千克的平均销售价为35元时,该水果店一天的利润最大,最大利润是7260元25(2019南充)在“我为祖国点赞”征文活动中,学校计划对获得一、二等奖的学生分别奖励一支钢笔,一本笔记本.已知购买2支钢笔和3个笔记本共38元,购买4支钢笔和5个笔记本共70元(1)钢笔、笔记本的单价分别为多少元?(2)经与商家协商,购买钢笔超过30支时,每增加一支,单价降低0.1元;超过50支,均按购买50支的单价销售,笔

8、记本一律按原价销售,学校计划奖励一、二等奖学生共计100人,其中一等奖的人数不少于30人,且不超过60人,这次奖励一等学生多少人时,购买奖品金额最少,最少为多少元?解:(1)设钢笔、笔记本的单价分别为、元,根据题意可得,解得:答:钢笔、笔记本的单价分别为10元,6元(2)设钢笔单价为元,购买数量为b支,支付钢笔和笔记本总金额为W元,当30b50时,w=b(-0.1b+13)+6(100-b),当时,W=720,当b=50时,W=700,当30b50时,700W722.5当50b60时,a=8,当30b60时,W的最小值为700元,当一等奖人数为50时花费最少,最少为700元26(2019梧州)

9、我市某超市销售一种文具,进价为5元/件售价为6元/件时,当天的销售量为100件在销售过程中发现:售价每上涨0.5元,当天的销售量就减少5件设当天销售单价统一为x元/件(x6,且x是按0.5元的倍数上涨),当天销售利润为y元(1)求y与x的函数关系式(不要求写出自变量的取值范围);(2)要使当天销售利润不低于240元,求当天销售单价所在的范围;(3)若每件文具的利润不超过80%,要想当天获得利润最大,每件文具售价为多少元?并求出最大利润解:(1)由题意,y=(x-5)(100-5)=-10x2+210x-800,故y与x的函数关系式为:y=-10x2+210x-800(2)要使当天利润不低于24

10、0元,则y240,y=-10x2+210x-800=-10(x-10.5)2+302.5=240,解得,x1=8,x2=13,-100,抛物线的开口向下,当天销售单价所在的范围为8x13(3)每件文具利润不超过80%,得x9,文具的销售单价为6x9,由(1)得y=-10x2+210x-800=-10(x-10.5)2+302.5,对称轴为x=10.5,6x9在对称轴的左侧,且y随着x的增大而增大,当x=9时,取得最大值,此时y=-10(9-10.5)2+302.5=280,即每件文具售价为9元时,最大利润为280元27(2019云南)某驻村扶贫小组实施产业扶贫,帮助贫困农户进行西瓜种植和销售已

11、知西瓜的成本为6元/千克,规定销售单价不低于成本,又不高于成本的两倍经过市场调查发现,某天西瓜的销售量y(千克)与销售单价x(元/千克)的函数关系如图所示:(1)求y与x的函数解析式(也称关系式);(2)求这一天销售西瓜获得的利润W的最大值解:(1)当6x10时,设y与x的关系式为y=kx+b(k0),根据题意得,解得,y=-200x+1200,当10x12时,y=200,故y与x的函数解析式为:y=(2)由已知得:W=(x-6)y,当6x10时,W=(x-6)(-200x+1200)=-200(x-)2+1250,-2000,抛物线的开口向下,x=时,取最大值,W=1250,当100),物价

12、部门规定该商品售价不得超过65元/件,该商店在今后的销售中,周销售量与售价仍然满足(1)中的函数关系若周销售最大利润是1400元,求m的值解:(1)依题意设y=kx+b,则有,解得,所以y关于x的函数解析式为y=-2x+200该商品进价是50-1000100=40,设每周获得利润w=ax2+bx+c,则有,解得,w=-2x2+280x-8000=-2(x-70)2+1800,当售价是70元/件时,周销售利润最大,最大利润是1800元;故答案为:40,70,1800;(2)根据题意得,w=(x-40-m)(-2x+200)=-2x2+(280+2m)x-8000-200m,对称轴x=,当65时(

13、舍),当65时,x=65时,w求最大值1400,解得:m=530(2019杭州)设二次函数y=(xx1)(xx2)(x1,x2是实数)(1)甲求得当x=0时,y=0;当x=1时,y=0;乙求得当x时,y若甲求得的结果都正确,你认为乙求得的结果正确吗?说明理由(2)写出二次函数图象的对称轴,并求该函数的最小值(用含x1,x2的代数式表示)(3)已知二次函数的图象经过(0,m)和(1,n)两点(m,n是实数),当0x1x21时,求证:0mn解:(1)乙求得的结果不正确,理由如下:当x=0时,y=0;当x=1时,y=0;二次函数经过点(0,0),(1,0),x1=0,x2=1,yx(x1)=x2x,

14、当x时,y,乙求得的结果不正确;(2)对称轴为x,当x时,函数的最小值是;(3)二次函数的图象经过(0,m)和(1,n)两点,m=x1x2,n=1x1x2+x1x2,mn=,0x1x21,0,0,0mn31(2019金华)如图,在平面直角坐标系中,正方形OABC的边长为4,边OA,OC分别在x轴,y轴的正半轴上,把正方形OABC的内部及边上,横、纵坐标均为整数的点称为好点点P为抛物线y=(xm)2+m+2的顶点(1)当m=0时,求该抛物线下方(包括边界)的好点个数(2)当m=3时,求该抛物线上的好点坐标(3)若点P在正方形OABC内部,该抛物线下方(包括边界)恰好存在8个好点,求m的取值范围解

15、:(1)如图1中,当m=0时,二次函数的表达式y=x2+2,函数图象如图1所示当x=0时,y=2,当x=1时,y=1,抛物线经过点(0,2)和(1,1),观察图象可知:好点有:(0,0),(0,1),(0,2),(1,0),(1,1),共5个(2)如图2中,当m=3时,二次函数解析式为y=(x3)2+5如图2当x=1时,y=1,当x=2时,y=4,当x=4时,y=4,抛物线经过(1,1),(2,4),(4,4),由图象可知,抛物线上存在好点,坐标分别为(1,1),(2,4),(4,4)(3)如图3中,抛物线的顶点P(m,m+2),抛物线的顶点P在直线y=x+2上,点P在正方形内部,则0m2,如

16、图3中,E(2,1),F(2,2),观察图象可知,当点P在正方形OABC内部,该抛物线下方(包括边界)恰好存在8个好点时,抛物线与线段EF有交点(点F除外),当抛物线经过点E时,(2m)2+m+2=1,解得m或(舍弃),当抛物线经过点F时,(2m)2+m+2=2,解得m=1或4(舍弃),当m0时,c0,函数不经过第三象限,则0,0b8,4x0,当5x1时,函数有最小值2b,当52时,函数有最大值1+3b,当21时,函数有最大值253b;函数的最大值与最小值之差为16,当最大值1+3b时,1+3b2b=16,b=6或b=10,4b8,b=6;当最大值253b时,253b2b=16,b=2或b=1

17、8,2b4,b=2;综上所述b=2或b=633(2019温州)如图,在平面直角坐标系中,二次函数yx2+2x+6的图象交x轴于点A,B(点A在点B的左侧)(1)求点A,B的坐标,并根据该函数图象写出y0时x的取值范围(2)把点B向上平移m个单位得点B1若点B1向左平移n个单位,将与该二次函数图象上的点B2重合;若点B1向左平移(n+6)个单位,将与该二次函数图象上的点B3重合已知m0,n0,求m,n的值解:(1)令y=0,则,解得x1=2,x2=6,A(2,0),B(6,0),由函数图象得,当y0时,2x6;(2)由题意得,B1(6,m),B2(6n,m),B3(n,m),函数图象的对称轴为直

18、线,点B2,B3在二次函数图象上且纵坐标相同,n=1,m,n的值分别为,134(2019宁波)如图,已知二次函数y=x2+ax+3的图象经过点P(2,3)(1)求a的值和图象的顶点坐标(2)点Q(m,n)在该二次函数图象上当m=2时,求n的值;若点Q到y轴的距离小于2,请根据图象直接写出n的取值范围解:(1)把点P(2,3)代入y=x2+ax+3中,得3=(2)22a+3,解得a=2,y=x2+2x+3=(x+1)2+2,顶点坐标为(1,2);(2)把x=2代入y=x+2x+3,求得y=11,当m=2时,n=11;点Q到y轴的距离小于2,|m|2,2m2,2n1135(2019衢州)某宾馆有若

19、干间标准房,当标准房的价格为200元时,每天入住的房间数为60间经市场调查表明,该馆每间标准房的价格在170240元之间(含170元,240元)浮动时,每天入住的房间数y(间)与每间标准房的价格x(元)的数据如下表:x(元)190200210220y(间)65605550(1)根据所给数据在坐标系中描出相应的点,并画出图象(2)求y关于x的函数表达式,并写出自变量x的取值范围(3)设客房的日营业额为w(元)若不考虑其他因素,问宾馆标准房的价格定为多少元时,客房的日营业额最大?最大为多少元?解:(1)如图所示:(2)设y=kx+b,将(200,60)、(220,50)代入,得:,解得,yx+16

20、0(170x240);(3)w=xy=x(x+160)x2+160x,对称轴为直线x160,a0,在170x240范围内,w随x的增大而减小,当x=170时,w有最大值,最大值为12750元36(2019舟山)某农作物的生长率p与温度t()有如下关系:如图,当10t25时可近似用函数p刻画;当25t37时可近似用函数p(th)2+0.4刻画(1)求h的值(2)按照经验,该作物提前上市的天数m(天)与生长率p之间满足已学过的函数关系,部分数据如下:求:m关于p的函数表达式;用含t的代数式表示m天气寒冷,大棚加温可改变农作物生长速度大棚恒温20时每天的成本为100元,计划该作物30天后上市,现根据

21、市场调查:每提前一天上市售出(一次售完),销售额可增加600元因此决定给大棚继续加温,但加温导致成本增加,估测加温到20t25时的成本为200元/天,但若欲加温到25t37,由于要采用特殊方法,成本增加到400元/天问加温到多少度时增加的利润最大?并说明理由(注:农作物上市售出后大棚暂停使用)解:(1)把(25,0.3)代入p(th)2+0.4,得0.3(25h)2+0.4,解得h=29或h=21,25t37,h=29(2)由表格可知,m是p的一次函数,设m=kp+b,把(0.2,0),(0.3,10)代入得,解得,m=100p20当10t25时,p,m=100()20=2t40;当25t37

22、时,p(t29)2+0.4,m=100(t29)2+0.420(t29)2+20,m.当20t25时,增加的利润为:600m+10030200(30m)=800m3000=1600t35000,当t=25时,增加的利润的最大值为16002535000=5000(元);当25t37时,增加的利润为:600m+10030400(30m)=1000m9000=625(t29)2+11000,当t=29时,增加的利润的最大值为11000元综上,当t=29时,提前20天上市,增加的利润最大,最大值为11000元37(2019湖州)如图1,已知在平面直角坐标系xOy中,四边形OABC是矩形,点A,C分别在

23、x轴和y轴的正半轴上,连结AC,OA=3,tanOAC,D是BC的中点(1)求OC的长和点D的坐标;(2)如图2,M是线段OC上的点,OMOC,点P是线段OM上的一个动点,经过P,D,B三点的抛物线交x轴的正半轴于点E,连结DE交AB于点F将DBF沿DE所在的直线翻折,若点B恰好落在AC上,求此时BF的长和点E的坐标;以线段DF为边,在DF所在直线的右上方作等边DFG,当动点P从点O运动到点M时,点G也随之运动,请直接写出点G运动路径的长解:(1)OA=3,tanOAC,OC四边形OABC是矩形,BC=AO=3D是BC的中点,CDBC,点D的坐标为(,)(2)tanOAC,OAC=30,ACB

24、=OAC=30设将DBF翻折后,点B落在AC上的B处,则DB=DB=DC,BDF=BDF,DBC=ACB=30,BDB=60,BDF=BDF=30B=90,BF=BDtan30AB,AF=BFBFD=AFE,B=FAE=90,BFDAFE(ASA),AE=BD,OE=OA+AE,点E的坐标为(,0);动点P在点O时,抛物线过点P(0,0)、D(,)、B(3,)求得此时抛物线解析式为yx2x,E(,0),直线DE:y,F1(3,);当动点P从点O运动到点M时,抛物线过点P(0,)、D(,)、B(3,)求得此时抛物线解析式为yx2,E(6,0),直线DE:y,F2(3,);点F运动路径的长为F1F2,DFG为等边三角形,G运动路径的长为