1、10.2一元二次不等式(二)学习目标1.会解可化为一元二次不等式(组)的简单分式不等式.2.能够从实际生活和生产中抽象出一元二次不等式的模型，并加以解决.3.掌握与一元二次不等式有关的恒成立问题的解法.知识链接下列各命题正确的有_.(1) (x1)(2x)0的解集是x|1x2；(2)x29的解集是x|3x0的解集是x|x3；(5)不等式ax2bxc0的解集是全体实数的条件是a0且b24ac0(x1)(x3)0，所以解集是x|x3；对于(5)，当ab0且c0也满足题意，故不正确.预习导引1.分式不等式的同解变形法则：(1)0f(x)g(x)0；(2)0(3)a0.2.一元二次不等式恒成立问题(1
2、)转化为一元二次不等式解集为R的情况，即：ax2bxc0(a0)恒成立ax2bxc0(a0)恒成立(2)分离参数，将恒成立问题转化为求最值问题，即：kf(x)恒成立kf(x)max；kf(x)恒成立kf(x)min.题型一分式不等式的解法例1解下列不等式.(1)0；(2)1；(3)0.解(1)0(x3)(x2)02x3，原不等式的解集为x|2x3.(2)1，10，0，即0.此不等式等价于(x4)0且x0，解得x或x4.原不等式的解集为.(3)由0，此不等式等价于(x1)0，解得x1，原不等式的解集为.规律方法分式不等式的解法：先通过移项、通分整理成标准型0(1.解(1)原不等式可化为解得x或x
3、，原不等式的解集为.(2)方法一原不等式可化为或解得或3x0，化简得0，即0，(2x1)(x3)0，解得3x.原不等式的解集为.题型二不等式的恒成立问题例2设函数f(x)mx2mx1.(1)若对于一切实数x，f(x)0恒成立，求m的取值范围.(2)对于x1,3，f(x)m5恒成立，求m的取值范围.解(1)要使mx2mx10恒成立，若m0，显然10.若m0，得4m0.4m0.(2)方法一要使f(x)m5在x1,3上恒成立.就要使m2m60时，g(x)是增函数，g(x)maxg(3)7m60，0m；当m0时，60恒成立；当m0时，g(x)是减函数，g(x)maxg(1)m60，得m6，m0.综上所
4、述：m.方法二当x1,3时，f(x)m5恒成立，即当x1,3时，m(x2x1)60，又m(x2x1)60，m.函数y在1,3上的最小值为，只需m即可.规律方法有关不等式恒成立求参数的取值范围，通常处理方法有二：(1)考虑能否进行参数分离，若能，则构造关于变量的函数，转化为求函数的最大(小)值，从而建立参数的不等式；(2)若参数不能分离，则应构造关于变量的函数(如一次、二次函数)，并结合图象建立参数的不等式求解.跟踪演练2当a为何值时，不等式(a21)x2(a1)x10的解集为R?解当a210时，a1或1.若a1，则原不等式为10，恒成立.若a1，则原不等式为2x10，即x，不合题意，舍去.当a
5、210时，即a1时，原不等式的解集为R的条件是解得a1.综上a的取值范围是.题型三一元二次不等式在生活中的应用例3某汽车厂上年度生产汽车的投入成本为10万元/辆，出厂价为12万元/辆，年销售量为10000辆.本年度为适应市场需求，计划提高产品质量，适度增加投入成本.若每辆车投入成本增加的比例为x(0x1)，则出厂价相应地提高比例为0.75x，同时预计年销售量增加的比例为0.6x，已知年利润(出厂价投入成本)年销售量.(1)写出本年度预计的年利润y与投入成本增加的比例x的关系式；(2)为使本年度的年利润比上年度有所增加，则投入成本增加的比例x应在什么范围内？解(1)由题意得y12(10.75x)
6、10(1x)10000(10.6x)(0x1)，整理得y6000x22000x20000(0x1).(2)要保证本年度的年利润比上年度有所增加，必须有即解得0x12，S乙0.05x0.005x210.分别求解，得x甲30.x乙40.由于x0，从而得x甲30，x乙40.经比较知乙车超过限速，应负主要责任.课堂达标1.不等式|x(x2)|x(x2)的解集是()A.(0,2) B.(，0)C.(2，) D.(，0)(0，)答案A解析不等式|x(x2)|x(x2)的解集即x(x2)0的解集，解得0x2，故选A.2.不等式2的解集为()A.x|x2B.RC.D.x|x2答案A解析因x2x120，所以原不
7、等式x22x20(x2)20，x2.不等式的解集为x|x2.3.若产品的总成本y(万元)与产量x(台)之间的函数关系式是y300020x0.1x2(0x0恒成立时，则k的取值范围为_.答案(，)解析由题意知0，即14k，即k.5.若不等式(a2)x22(a2)x40的解集为R，求实数a的取值范围.解当a20，即a2时，原不等式为40，所以a2时解集为R.当a20时，由题意得即解得2a2.综上所述可知：2f(x)恒成立af(x)max；(2)af(x)恒成立af(x)min.3.解一元二次不等式应用题的关键在于构造一元二次不等式模型，选择其中起关键作用的未知量为x，用x来表示其他未知量，根据题意，列出不等关系再求解.
