1、双曲线问题考向一：双曲线的定义与焦点三角形1、在双曲线的定义中，要注意双曲线上的点(动点)具备的几何条件，即“到两定点(焦点)的距离之差的绝对值为一常数，且该常数必须小于两定点间的距离”若定义中的“绝对值”去掉，点的轨迹是双曲线的一支同时需注意定义的转化应用2、在焦点三角形中，注意定义、余弦定理的活用，常将|PF1|PF2|2a平方，建立与|PF1|、|PF2|间的联系1.2016全国，11已知F1、F2是双曲线E：1的左、右焦点，点M在E上，MF1与x轴垂直，sinMF2F1，则E的离心率为()ABCD2答案A解析：解法一：由MF1x轴，可得M，|MF1|.由sinMF2F1，可得cosMF
2、2F1，又tanMF2F1，b2ac，c2a2b2c2a2ac0e2e10，e.解法二：设MF1=m，则MF2=3m，F1F2=22m2a=MF2-MF1=2m，2c=F1F2=22m所以e=22、2014大纲卷，9已知双曲线C的离心率为2，焦点为F1，F2，点A在C上若|F1A|2|F2A|，则cosAF2F1()ABCD答案A解析：由题意得解得|F2A|2a，|F1A|4a，又由已知可得2，所以c2a，即|F1F2|4a，所以cosAF2F13、2013湖南卷，14设F1，F2是双曲线C：1(a0，b0)的两个焦点，P是C上一点若|PF1|PF2|6a，且PF1F2的最小内角为30，则C的
3、离心率为_答案解析：不妨设点P在双曲线C的右支上，由双曲线定义知|PF1|PF2|2a，又因为|PF1|PF2|6a，由得|PF1|4a，|PF2|2a，因为ca，所以在PF1F2中，PF1F2为最小内角，因此PF1F230，在PF1F2中，由余弦定理可知，|PF2|2|PF1|2|F1F2|22|PF1|F1F2|cos30，即4a216a24c28ac.所以c22ac3a20，两边同除以a2得，e22e30.解得e.考向二：双曲线的标准方程1、2016全国，5已知方程1表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，则n的取值范围是()A(1，3) B(1，)C(0，3) D(0，)答案A解析原
4、方程表示双曲线，且焦距为4，或由得m21，n(1，3)无解2、2014北京卷，11设双曲线C经过点(2，2)，且与x21具有相同渐近线，则C的方程为_；渐近线方程为_答案1；y2x解析根据题意，可设双曲线C：x2，将(2，2)代入双曲线C的方程得3，C的方程为1.渐近线方程为y2x.与双曲线1有相同渐近线时，可设所求双曲线方程为(0)考向三：与渐近线有关的双曲线问题1、【2019全国卷理16】已知双曲线C：的左、右焦点分别为F1，F2，过F1的直线与C的两条渐近线分别交于A，B两点若，则C的离心率为_【答案】2分析：解答本题时，通过向量关系得到和，从而可以得到，再结合双曲线的渐近线可得进而得到
5、从而由可求离心率.解析：如图，由得又得OA是三角形的中位线，即由，得，又OA与OB都是渐近线，得又，又渐近线OB的斜率为，该双曲线的离心率为解法2：如图，由得又得OA是三角形的中位线，即由，得，取B(x,bax)，x2+b2a2x2=c2，x=a，所以B(a,b)因为F1A=b，所以OA=a，BF1=2b，BF2=2aSBF1F2=122a2b=122cb，所以e=22、【2019年高考全国卷理数】双曲线C：=1的右焦点为F，点P在C的一条渐近线上，O为坐标原点，若，则PFO的面积为ABCD【答案】A【解析】由，又P在C的一条渐近线上，不妨设为在上，则，3、2018全国，11已知双曲线C：y2
6、1，O为坐标原点，F为C的右焦点，过F的直线与C的两条渐近线的交点分别为M，N.若OMN为直角三角形，则|MN|()A B3 C2 D4答案B解析：由题意分析知，FON30.所以MON60，又因为OMN是直角三角形，不妨取NMO90，则ONF30，于是FNOF2，FMOF1，所以|MN|3.4、2018全国，11设F1，F2是双曲线C：1(a0，b0)的左、右焦点，O是坐标原点过F2作C的一条渐近线的垂线，垂足为P.若|PF1|OP|，则C的离心率为()A. B2 C. D.答案C解析一：由题可知|PF2|b，|OF2|c，|PO|a.在RtPOF2中，cosPF2O，在PF1F2中 ，cos
7、PF2O，c23a2，e.解析二：由题可知|PF2|b，|OF2|c，|PO|a.过F1作渐近线的垂线，垂足为Q.因为P、Q关于原点对称，|QF1|b，|QO|a，|PQ|2a.在RtPQF1中，QF12+PQ2=PF12b2+4a2=6a2，则b2=2a2，c2=3a2e.5、2017全国，15已知双曲线C：1(a0，b0)的右顶点为A，以A为圆心，b为半径作圆A，圆A与双曲线C的一条渐近线交于M，N两点若MAN60，则C的离心率为_答案解析：如图，由题意知点A(a，0)，双曲线的一条渐近线l的方程为yx，即bxay0，点A到l的距离d.又MAN60，MANAb，MAN为等边三角形，dMAb
8、，即b，a23b2，e .考向四：双曲线的离心率问题1、2015全国，11已知A，B为双曲线E的左、右顶点，点M在E上，ABM为等腰三角形，且顶角为120，则E的离心率为()AB2 CD答案D解析：设双曲线方程为1(a0，b0)，不妨设点M在双曲线的右支上，如图，ABBM2a，MBA120，作MHx轴于H，则MBH60，BHa，MHa，所以M(2a，a)将点M的坐标代入双曲线方程1，得ab，所以e.2、【2019年高考全国卷理数】设F为双曲线C：的右焦点，为坐标原点，以为直径的圆与圆交于P，Q两点若，则C的离心率为ABC2D【答案】A解析：设与轴交于点，由对称性可知轴，又，为以为直径的圆的半径
9、，又点在圆上，即，故选A考向五：与其他知识交汇的双曲线问题1、2017全国，9若双曲线C：1(a0，b0)的一条渐近线被圆(x2)2y24所截得的弦长为2，则C的离心率为()A2 BCD答案A解析：设双曲线的一条渐近线方程为yx，圆的圆心为(2，0)，半径为2，由弦长为2得出圆心到渐近线的距离为.根据点到直线的距离公式得，解得b23a2.所以C的离心率e 2.2、2013天津卷，5已知双曲线1(a0，b0)的两条渐近线与抛物线y22px(p0)的准线分别交于A，B两点，O为坐标原点若双曲线的离心率为2，AOB的面积为，则p()A1 BC2 D3答案C解析：由已知得双曲线离心率e2，得c24a2
10、，b2c2a23a2，即ba.又双曲线的渐近线方程为yx，抛物线的准线方程为x，所以A，B，于是|AB|.由AOB的面积为可得，所以p2444，解得p2或p2(舍去)，故选C.3、2013山东卷，11抛物线C1：yx2(p0)的焦点与双曲线C2：y21的右焦点的连线交C1于第一象限的点M.若C1在点M处的切线平行于C2的一条渐近线，则p()ABCD答案D解析：设抛物线C1的焦点为F，则F.设双曲线C2的右焦点为F1，则F1(2，0)直线FF1的方程为yx，设M，因为M在直线FF1上，x0.yx2，yx，C1在M点处的切线斜率为x0，又y21的渐近线方程为yx，故由题意得x0，将、联立得p，故选D.8
