1、5.2 空间关系及空间角 与距离专项练,-2-,1.直线、平面平行的判定及其性质 (1)线面平行的判定定理:a,b,aba. (2)线面平行的性质定理:a,a,=bab. (3)面面平行的判定定理:a,b,ab=P,a,b. (4)面面平行的性质定理:,=a,=bab. 2.直线、平面垂直的判定及其性质 (1)线面垂直的判定定理:m,n,mn=P,lm,lnl. (2)线面垂直的性质定理:a,bab. (3)面面垂直的判定定理:a,a. (4)面面垂直的性质定理:,=l,a,ala.,-3-,3.空间角的求法 (1)定义法求空间角 求空间角的大小,一般是根据相关角(异面直线所成的角、直线和平面
2、所成的角、二面角)的定义,把空间角转化为平面角来求解. (2)向量法求空间角 利用空间向量来求解,首先根据几何体的结构特征建立空间直角坐标系,把直线的方向向量与平面的法向量求出来,然后进行坐标运算,要注意所求的角与两向量夹角之间的关系.,-4-,4.空间中点到平面的距离的求法 (1)定义法:过点向平面作垂线,点与垂足的距离. (2)“等积法”:求解点到平面的距离常转化为锥体的高,利用三棱锥体积公式求点到平面的距离.因为三棱锥的特殊性任意一个面都可以作为其底面,所以可通过换底法把距离问题转化为体积和面积的有关计算. (3)“向量法”:求解点到平面的距离,可转化为向量在平面的法向量上射影的长.,-
3、5-,一、选择题,二、填空题,1.(2019北京顺义统考二,理6)已知m,n是两条不同直线,是两个不同平面,则( ) A.若m,则m B.若m,n,则mn C.若m,n,m,n,则 D.若m,n,则mn,答案,解析,-6-,一、选择题,二、填空题,2.(2019全国卷2,理7)设,为两个平面,则的充要条件是( ) A.内有无数条直线与平行 B.内有两条相交直线与平行 C.,平行于同一条直线 D.,垂直于同一平面,答案,解析,-7-,一、选择题,二、填空题,3.如图,在下列四个正方体中,A,B为正方体的两个顶点,M,N,Q为所在棱的中点,则在这四个正方体中,直线AB与平面MNQ不平行的是( ),
4、答案,解析,-8-,一、选择题,二、填空题,4.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E为棱CD的中点,则( ) A.A1EDC1 B.A1EBD C.A1EBC1 D.A1EAC,答案,解析,-9-,一、选择题,二、填空题,5.(2019四川成都二模,理6)已知a,b是两条异面直线,直线c与a,b都垂直,则下列说法正确的是( ) A.若c平面,则a B.若c平面,则a,b C.存在平面,使得c,a,b D.存在平面,使得c,a,b,答案,解析,-10-,一、选择题,二、填空题,6.已知直三棱柱ABC-A1B1C1中,ABC=120,AB=2,BC=CC1=1,则异面直线AB1与BC1所成角的
5、余弦值为 ( ),答案 C,-11-,一、选择题,二、填空题,解析 方法一:如图,取AB,BB1,B1C1的中点M,N,P,连接MN,NP,PM,可知AB1与BC1所成的角等于MN与NP所成的角. 取BC的中点Q,连接PQ,QM,则可知PQM为直角三角形. 在ABC中,AC2=AB2+BC2-2ABBCcosABC,-12-,一、选择题,二、填空题,-13-,一、选择题,二、填空题,7.在ABC中,AB=9,AC=15,BAC=120,它所在平面外一点P到ABC三个顶点的距离都是14,则点P到平面ABC的距离为( ) A.6 B.7 C.8 D.12,答案,解析,-14-,一、选择题,二、填空
6、题,8.在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=BC=1,AA1= ,则异面直线AD1与DB1所成角的余弦值为( ),答案,解析,-15-,一、选择题,二、填空题,9.(2019全国卷3,理8)如图,点N为正方形ABCD的中心,ECD为正三角形,平面ECD平面ABCD,M是线段ED的中点,则( ) A.BM=EN,且直线BM,EN是相交直线 B.BMEN,且直线BM,EN是相交直线 C.BM=EN,且直线BM,EN是异面直线 D.BMEN,且直线BM,EN是异面直线,答案 B,-16-,一、选择题,二、填空题,解析 如图,连接BD,BE. 在BDE中,N为BD的中点,M为DE的中点, BM
7、,EN是相交直线, 排除选项C,D. 作EOCD于点O,连接ON. 作MFOD于点F,连接BF. 平面CDE平面ABCD,平面CDE平面ABCD=CD,EOCD,EO平面CDE, EO平面ABCD. 同理,MF平面ABCD.,-17-,一、选择题,二、填空题,-18-,一、选择题,二、填空题,10.平面过正方体ABCD-A1B1C1D1的顶点A,平面CB1D1,平面ABCD=m,平面ABB1A1=n,则m,n所成角的正弦值为( ),答案 A,解析 (方法一)平面CB1D1,平面ABCD平面A1B1C1D1,平面ABCD=m,平面CB1D1平面A1B1C1D1=B1D1,mB1D1. 平面CB1
8、D1,平面ABB1A1平面DCC1D1,平面ABB1A1=n,平面CB1D1平面DCC1D1=CD1,nCD1. B1D1,CD1所成的角等于m,n所成的角,即B1D1C等于m,n所成的角. B1D1C为正三角形,B1D1C=60,m,n所成的角的正弦值为 .,-19-,一、选择题,二、填空题,(方法二)由题意画出图形如图,将正方体ABCD-A1B1C1D1平移, 补形为两个全等的正方体如图,易证平面AEF平面CB1D1,所以平面AEF即为平面,m即为AE,n即为AF,所以AE与AF所成的角即为m与n所成的角.因为AEF是正三角形,所以EAF=60,故m,n所成角的正弦值为 .,-20-,一、
9、选择题,二、填空题,11.(2019浙江卷,8)设三棱锥V-ABC的底面是正三角形,侧棱长均相等,P是棱VA上的点(不含端点).记直线PB与直线AC所成的角为,直线PB与平面ABC所成的角为,二面角P-AC-B的平面角为,则( ) A., B., C., D.,答案,解析,-21-,一、选择题,二、填空题,12.(2019山西运城二模,理11)如图,在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,M,P,Q分别是棱A1D1,AB,BC的中点,若经过点M,P,Q的平面与平面CDD1C1的交线为l,则l与直线QB1所成角的余弦值为( ),答案,解析,-22-,一、选择题,二、填空题,13.已知三棱
10、锥P-ABC的顶点P、A、B、C在球O的表面上,ABC是边长为 的等边三角形,如果球O的表面积为36,那么P到平面ABC距离的最大值为 .,答案,解析,-23-,一、选择题,二、填空题,14.(2019福建漳州质检二,理8改编)如图,正方体ABCD-A1B1C1D1的棱AB和A1D1的中点分别为E,F,则直线EF与平面AA1D1D所成角的正弦值为 .,答案,解析,-24-,一、选择题,二、填空题,15.(2019安徽“江南十校”二模,理16)九章算术卷第五商功中描述几何体“阳马”为“底面为矩形,一棱垂直于底面的四棱锥”,现有阳马S-ABCD,SA平面ABCD,AB=1,AD=3,SA= ,BC上有一点E,使截面SDE的周长最短,则SE与CD所成角的余弦值等于 .,答案,解析,-25-,一、选择题,二、填空题,16.已知三棱锥P-ABC中,PA,PB,PC两两垂直,且PA=1,PB=2,PC=3,则点P到平面ABC的距离为 .,答案,解析,
