1、第2章 二次函数一选择题（共14小题）1二次函数yx2+2x7的函数值是8，那么对应的x的值是（）A3B5C3和5D3和52若二次函数yax2+bx+c的x与y的部分对应值如下表，则当x1时，y的值为（）x765432y27133353A5B3C13D273将二次函数yx22x+3化为y（xh）2+k的形式，结果为（）Ay（x+1）2+4By（x1）2+4Cy（x+1）2+2Dy（x1）2+24根据关于x的一元二次方程x2+px+q0，可列表如下：则方程x2+px+q0的正数解满足（） x00.511.11.21.3x2+px+q158.7520.590.842.29A解的整数部分是0，十分位
2、是5B解的整数部分是0，十分位是8C解的整数部分是1，十分位是1D解的整数部分是1，十分位是25正方形ABCD边长为1，E、F、G、H分别为边AB、BC、CD、DA上的点，且AEBFCGDH设小正方形EFGH的面积为y，AEx则y关于x的函数图象大致是（）ABCD6如图，函数yax22x+1和yaxa（a是常数，且a0）在同一平面直角坐标系的图象可能是（）ABCD7已知抛物线yx22mx4（m0）的顶点M关于坐标原点O的对称点为M，若点M在这条抛物线上，则点M的坐标为（）A（1，5）B（3，13）C（2，8）D（4，20）8如图，垂直于x轴的直线AB分别与抛物线C1：yx2（x0）和抛物线C2
3、：y（x0）交于A，B两点，过点A作CDx轴分别与y轴和抛物线C2交于点C，D，过点B作EFx轴分别与y轴和抛物线C1交于点E，F，则的值为（）ABCD9将抛物线yx2向左平移2个单位，再向下平移5个单位，平移后所得新抛物线的表达式为（）Ay（x+2）25By（x+2）2+5Cy（x2）25Dy（x2）2+510已知二次函数yx2+x+6及一次函数yx+m，将该二次函数在x轴上方的图象沿x轴翻折到x轴下方，图象的其余部分不变，得到一个新函数（如图所示），当直线yx+m与新图象有4个交点时，m的取值范围是（）Am3Bm2C2m3D6m211如图是二次函数yax2+bx+c的部分图象，由图象可知不
4、等式ax2+bx+c0的解集是（）A1x5Bx5Cx1且x5Dx1或x512某校校园内有一个大正方形花坛，如图甲所示，它由四个边长为3米的小正方形组成，且每个小正方形的种植方案相同其中的一个小正方形ABCD如图乙所示，DG1米，AEAFx米，在五边形EFBCG区域上种植花卉，则大正方形花坛种植花卉的面积y与x的函数图象大致是（）ABCD13如图，已知二次函数yax2+bx+c的图象与x轴分别交于A、B两点，与y轴交于C点，OAOC则由抛物线的特征写出如下结论：abc0；4acb20；ab+c0；ac+b+10其中正确的个数是（）A4个B3个C2个D1个14当2x1时，二次函数y（xm）2+m2
5、+1有最大值4，则实数m的值为（）AB或C2或D2或或二填空题（共8小题）15如图，在平面直角坐标系中，点A在抛物线yx22x+2上运动过点A作ACx轴于点C，以AC为对角线作矩形ABCD，连结BD，则对角线BD的最小值为 16二次函数yx22x+6的最小值是 17如图，图中二次函数解析式为yax2+bx+c（a0）则下列命题中正确的有 （填序号）abc0；b24ac；4a2b+c0；2a+bc18将抛物线y3（x4）2+2向右平移1个单位长度，再向下平移3个单位长度，平移后抛物线的解析式是 19若将二次函数yx22x+3配方为y（xh）2+k的形式，则y 20如图，已知函数y与yax2+bx
6、（a0，b0）的图象交于点P点P的纵坐标为1则关于x的方程ax2+bx+0的解为 21如图，若抛物线yax2+bx+c上的P（4，0），Q两点关于它的对称轴x1对称，则Q点的坐标为 22如图，四边形ABCD是矩形，A、B两点在x轴的正半轴上，C、D两点在抛物线yx2+6x上设OAm（0m3），矩形ABCD的周长为l，则l与m的函数解析式为 三解答题（共5小题）23如图，已知二次函数yx2+bx+c过点A（1，0），C（0，3）（1）求此二次函数的解析式；（2）在抛物线上存在一点P使ABP的面积为10，请直接写出点P的坐标24已知二次函数y（m2）x2+（m+3）x+m+2的图象过点（0，5）（
7、1）求m的值，并写出二次函数的解析式；（2）求出二次函数图象的顶点坐标和对称轴25如图，已知二次函数ya（xh）2+的图象经过原点O（0，0），A（2，0）（1）写出该函数图象的对称轴；（2）若将线段OA绕点O逆时针旋转60到OA，试判断点A是否为该函数图象的顶点？26如图，二次函数的图象与x轴交于A（3，0）和B（1，0）两点，交y轴于点C（0，3），点C、D是二次函数图象上的一对对称点，一次函数的图象过点B、D（1）请直接写出D点的坐标（2）求二次函数的解析式（3）根据图象直接写出使一次函数值大于二次函数值的x的取值范围27已知二次函数yx2+bx+c的图象与y轴交于点C（0，6），与x轴
8、的一个交点坐标是A（2，0）（1）求二次函数的解析式，并写出顶点D的坐标；（2）将二次函数的图象沿x轴向左平移个单位长度，当 y0时，求x的取值范围参考答案与试题解析一选择题（共14小题）1二次函数yx2+2x7的函数值是8，那么对应的x的值是（）A3B5C3和5D3和5【分析】根据题意，把函数的值代入函数表达式，然后解方程即可【解答】解：根据题意，得x2+2x78，即x2+2x150，解得x3或5，故选：D2若二次函数yax2+bx+c的x与y的部分对应值如下表，则当x1时，y的值为（）x765432y27133353A5B3C13D27【分析】由表可知，抛物线的对称轴为x3，顶点为（3，5
9、），再用待定系数法求得二次函数的解析式，再把x1代入即可求得y的值【解答】解：设二次函数的解析式为ya（xh）2+k，当x4或2时，y3，由抛物线的对称性可知h3，k5，ya（x+3）2+5，把（2，3）代入得，a2，二次函数的解析式为y2（x+3）2+5，当x1时，y27故选：D3将二次函数yx22x+3化为y（xh）2+k的形式，结果为（）Ay（x+1）2+4By（x1）2+4Cy（x+1）2+2Dy（x1）2+2【分析】本题是将一般式化为顶点式，由于二次项系数是1，只需加上一次项系数的一半的平方来凑成完全平方式即可【解答】解：yx22x+3x22x+11+3（x1）2+2故选：D4根据关
10、于x的一元二次方程x2+px+q0，可列表如下：则方程x2+px+q0的正数解满足（） x00.511.11.21.3x2+px+q158.7520.590.842.29A解的整数部分是0，十分位是5B解的整数部分是0，十分位是8C解的整数部分是1，十分位是1D解的整数部分是1，十分位是2【分析】仔细看表，可知x2+px+q的值0.59和0.84最接近于0，再看对应的x的值即可得【解答】解：根据表中函数的增减性，可以确定函数值是0时，x应该是大于1.1而小于1.2所以解的整数部分是1，十分位是1故选：C5正方形ABCD边长为1，E、F、G、H分别为边AB、BC、CD、DA上的点，且AEBFCG
11、DH设小正方形EFGH的面积为y，AEx则y关于x的函数图象大致是（）ABCD【分析】由已知得BECFDGAH1x，根据yS正方形ABCDSAEHSBEFSCFGSDGH，求函数关系式，判断函数图象【解答】解：依题意，得yS正方形ABCDSAEHSBEFSCFGSDGH14（1x）x2x22x+1，即y2x22x+1（0x1），抛物线开口向上，对称轴为x，故选：C6如图，函数yax22x+1和yaxa（a是常数，且a0）在同一平面直角坐标系的图象可能是（）ABCD【分析】可先根据一次函数的图象判断a的符号，再判断二次函数图象与实际是否相符，判断正误即可【解答】解：A、由一次函数yaxa的图象可
12、得：a0，此时二次函数yax22x+1的图象应该开口向下，故选项错误；B、由一次函数yaxa的图象可得：a0，此时二次函数yax22x+1的图象应该开口向上，对称轴x0，故选项正确；C、由一次函数yaxa的图象可得：a0，此时二次函数yax22x+1的图象应该开口向上，对称轴x0，和x轴的正半轴相交，故选项错误；D、由一次函数yaxa的图象可得：a0，此时二次函数yax22x+1的图象应该开口向上，故选项错误故选：B7已知抛物线yx22mx4（m0）的顶点M关于坐标原点O的对称点为M，若点M在这条抛物线上，则点M的坐标为（）A（1，5）B（3，13）C（2，8）D（4，20）【分析】先利用配方
13、法求得点M的坐标，然后利用关于原点对称点的特点得到点M的坐标，然后将点M的坐标代入抛物线的解析式求解即可【解答】解：yx22mx4x22mx+m2m24（xm）2m24点M（m，m24）点M（m，m2+4）m2+2m24m2+4解得m2m0，m2M（2，8）故选：C8如图，垂直于x轴的直线AB分别与抛物线C1：yx2（x0）和抛物线C2：y（x0）交于A，B两点，过点A作CDx轴分别与y轴和抛物线C2交于点C，D，过点B作EFx轴分别与y轴和抛物线C1交于点E，F，则的值为（）ABCD【分析】可以设A、B横坐标为a，易求得点E、F、D的坐标，即可求得OE、CE、AD、BF的长度，即可解题【解答
14、】解：设点A、B横坐标为a，则点A纵坐标为a2，点B的纵坐标为，BEx轴，点F纵坐标为，点F是抛物线yx2上的点，点F横坐标为x，CDx轴，点D纵坐标为a2，点D是抛物线y上的点，点D横坐标为x2a，ADa，BFa，CEa2，OEa2，故选：D9将抛物线yx2向左平移2个单位，再向下平移5个单位，平移后所得新抛物线的表达式为（）Ay（x+2）25By（x+2）2+5Cy（x2）25Dy（x2）2+5【分析】先求出平移后的抛物线的顶点坐标，再利用顶点式抛物线解析式写出即可【解答】解：抛物线yx2的顶点坐标为（0，0），先向左平移2个单位再向下平移5个单位后的抛物线的顶点坐标为（2，5），所以，平
15、移后的抛物线的解析式为y（x+2）25故选：A10已知二次函数yx2+x+6及一次函数yx+m，将该二次函数在x轴上方的图象沿x轴翻折到x轴下方，图象的其余部分不变，得到一个新函数（如图所示），当直线yx+m与新图象有4个交点时，m的取值范围是（）Am3Bm2C2m3D6m2【分析】如图，解方程x2+x+60得A（2，0），B（3，0），再利用折叠的性质求出折叠部分的解析式为y（x+2）（x3），即yx2x6（2x3），然后求出直线yx+m经过点A（2，0）时m的值和当直线yx+m与抛物线yx2x6（2x3）有唯一公共点时m的值，从而得到当直线yx+m与新图象有4个交点时，m的取值范围【解答】
16、解：如图，当y0时，x2+x+60，解得x12，x23，则A（2，0），B（3，0），将该二次函数在x轴上方的图象沿x轴翻折到x轴下方的部分图象的解析式为y（x+2）（x3），即yx2x6（2x3），当直线yx+m经过点A（2，0）时，2+m0，解得m2；当直线yx+m与抛物线yx2x6（2x3）有唯一公共点时，方程x2x6x+m有相等的实数解，解得m6，所以当直线yx+m与新图象有4个交点时，m的取值范围为6m2故选：D11如图是二次函数yax2+bx+c的部分图象，由图象可知不等式ax2+bx+c0的解集是（）A1x5Bx5Cx1且x5Dx1或x5【分析】利用二次函数的对称性，可得出图象与
17、x轴的另一个交点坐标，结合图象可得出ax2+bx+c0的解集【解答】解：由图象得：对称轴是x2，其中一个点的坐标为（5，0），图象与x轴的另一个交点坐标为（1，0）利用图象可知：ax2+bx+c0的解集即是y0的解集，x1或x5故选：D12某校校园内有一个大正方形花坛，如图甲所示，它由四个边长为3米的小正方形组成，且每个小正方形的种植方案相同其中的一个小正方形ABCD如图乙所示，DG1米，AEAFx米，在五边形EFBCG区域上种植花卉，则大正方形花坛种植花卉的面积y与x的函数图象大致是（）ABCD【分析】先求出AEF和DEG的面积，然后可得到五边形EFBCG的面积，继而可得y与x的函数关系式【
18、解答】解：SAEFAEAFx2，SDEGDGDE1（3x），S五边形EFBCGS正方形ABCDSAEFSDEG9x2x2+x+，则y4（x2+x+）2x2+2x+30，AEAD，x3，综上可得：y2x2+2x+30（0x3）故选：A13如图，已知二次函数yax2+bx+c的图象与x轴分别交于A、B两点，与y轴交于C点，OAOC则由抛物线的特征写出如下结论：abc0；4acb20；ab+c0；ac+b+10其中正确的个数是（）A4个B3个C2个D1个【分析】此题可根据二次函数的性质，结合其图象可知：a0，1c0，b0，再对各结论进行判断【解答】解：观察图象可知，开口方上a0，对称轴在右侧b0，与
19、y轴交于负半轴c0，abc0，故正确；抛物线与x轴有两个交点，b24ac0，即4acb20，故错误；当x1时yab+c，由图象知（1，ab+c）在第二象限，ab+c0，故正确设C（0，c），则OC|c|，OAOC|c|，A（c，0）代入抛物线得ac2+bc+c0，又c0，ac+b+10，故正确；故正确的结论有三个，故选：B14当2x1时，二次函数y（xm）2+m2+1有最大值4，则实数m的值为（）AB或C2或D2或或【分析】根据对称轴的位置，分三种情况讨论求解即可【解答】解：二次函数的对称轴为直线xm，m2时，x2时二次函数有最大值，此时（2m）2+m2+14，解得m，与m2矛盾，故m值不存在
20、；当2m1时，xm时，二次函数有最大值，此时，m2+14，解得m，m（舍去）；当m1时，x1时二次函数有最大值，此时，（1m）2+m2+14，解得m2，综上所述，m的值为2或故选：C二填空题（共8小题）15如图，在平面直角坐标系中，点A在抛物线yx22x+2上运动过点A作ACx轴于点C，以AC为对角线作矩形ABCD，连结BD，则对角线BD的最小值为1【分析】先利用配方法得到抛物线的顶点坐标为（1，1），再根据矩形的性质得BDAC，由于AC的长等于点A的纵坐标，所以当点A在抛物线的顶点时，点A到x轴的距离最小，最小值为1，从而得到BD的最小值【解答】解：yx22x+2（x1）2+1，抛物线的顶点
21、坐标为（1，1），四边形ABCD为矩形，BDAC，而ACx轴，AC的长等于点A的纵坐标，当点A在抛物线的顶点时，点A到x轴的距离最小，最小值为1，对角线BD的最小值为1故答案为116二次函数yx22x+6的最小值是5【分析】利用配方法将原函数关系式化为顶点式，即可求出二次函数的最小值【解答】解：yx22x+6x22x+1+5（x1）2+5，可见，二次函数的最小值为5故答案为：517如图，图中二次函数解析式为yax2+bx+c（a0）则下列命题中正确的有（填序号）abc0；b24ac；4a2b+c0；2a+bc【分析】由抛物线的开口向上、对称轴在y轴右侧、抛物线与y轴交于y轴负半轴，即可得出a0
22、、b0、c0，进而可得出abc0，正确；由抛物线与x轴有两个不同的交点，可得出b24ac0，b24ac，错误；由当x2时y0，可得出4a2b+c0，正确；由抛物线对称轴的大致范围，可得出2ab0，结合a0、c0可得出2a+b0c，正确综上即可得出结论【解答】解：抛物线开口向上，抛物线的对称轴在y轴右侧，抛物线与y轴交于y轴负半轴，a0，0，c0，b0，abc0，正确；抛物线与x轴有两个不同交点，b24ac0，b24ac，错误；当x2时，y4a2b+c0，正确；01，2ab0，2a+b0c，正确故答案为：18将抛物线y3（x4）2+2向右平移1个单位长度，再向下平移3个单位长度，平移后抛物线的解
23、析式是y3（x5）21【分析】根据“左加右减、上加下减”的原则进行解答即可【解答】解：y3（x4）2+2向右平移1个单位所得抛物线解析式为：y3（x5）2+2；再向下平移3个单位为：y3（x5）21故答案为：y3（x5）2119若将二次函数yx22x+3配方为y（xh）2+k的形式，则y（x1）2+2【分析】利用配方法先提出二次项系数，在加上一次项系数的一半的平方来凑完全平方式，把一般式转化为顶点式【解答】解：yx22x+3（x22x+1）+2（x1）2+2故本题答案为：y（x1）2+220如图，已知函数y与yax2+bx（a0，b0）的图象交于点P点P的纵坐标为1则关于x的方程ax2+bx+
24、0的解为x3【分析】先根据点P的纵坐标为1求出x的值，再把于x的方程ax2+bx+0化为于x的方程ax2+bx的形式，此方程就化为求函数y与yax2+bx（a0，b0）的图象交点的横坐标，由求出的P点坐标即可得出结论【解答】解：P的纵坐标为1，1，x3，ax2+bx+0化为于x的方程ax2+bx的形式，此方程的解即为两函数图象交点的横坐标的值，x3故答案为：x321如图，若抛物线yax2+bx+c上的P（4，0），Q两点关于它的对称轴x1对称，则Q点的坐标为（2，0）【分析】直接利用二次函数的对称性得出Q点坐标即可【解答】解：抛物线yax2+bx+c上的P（4，0），Q两点关于它的对称轴x1对
25、称，P，Q两点到对称轴x1的距离相等，Q点的坐标为：（2，0）故答案为：（2，0）22如图，四边形ABCD是矩形，A、B两点在x轴的正半轴上，C、D两点在抛物线yx2+6x上设OAm（0m3），矩形ABCD的周长为l，则l与m的函数解析式为l2m2+8m+12【分析】求l与m的函数解析式就是把m当作已知量，求l，先求AD，它的长就是D点的纵坐标，再把D点纵坐标代入函数解析式求C点横坐标，C点横坐标与D点横坐标的差就是线段CD的长，用l2（AD+CD），建立函数关系式【解答】解：把xm代入抛物线yx2+6x中，得ADm2+6m把ym2+6m代入抛物线yx2+6x中，得m2+6mx2+6x解得x1
26、m，x26mC的横坐标是6m，故AB6mm62m矩形的周长是l2（m2+6m）+2（62m）即l2m2+8m+12三解答题（共5小题）23如图，已知二次函数yx2+bx+c过点A（1，0），C（0，3）（1）求此二次函数的解析式；（2）在抛物线上存在一点P使ABP的面积为10，请直接写出点P的坐标【分析】（1）利用待定系数法把A（1，0），C（0，3）代入二次函数yx2+bx+c中，即可算出b、c的值，进而得到函数解析式是yx2+2x3；（2）首先求出A、B两点坐标，再算出AB的长，再设P（m，n），根据ABP的面积为10可以计算出n的值，然后再利用二次函数解析式计算出m的值即可得到P点坐标【
27、解答】解：（1）二次函数yx2+bx+c过点A（1，0），C（0，3），解得，二次函数的解析式为yx2+2x3；（2）当y0时，x2+2x30，解得：x13，x21；A（1，0），B（3，0），AB4，设P（m，n），ABP的面积为10，AB|n|10，解得：n5，当n5时，m2+2m35，解得：m4或2，P（4，5）（2，5）；当n5时，m2+2m35，方程无解，故P（4，5）（2，5）；24已知二次函数y（m2）x2+（m+3）x+m+2的图象过点（0，5）（1）求m的值，并写出二次函数的解析式；（2）求出二次函数图象的顶点坐标和对称轴【分析】（1）把点（0，5）代入函数的解析式中，转化为
28、关于m的一元一次方程解答；（2）求出函数解析式，根据函数解析式就可求出顶点坐标和对称轴【解答】解：（1）图象过点（0，5），由题意：解得m3二次函数解析式为yx2+6x+5（2）yx2+6x+5（x+3）24，此二次函数图象的顶点坐标为（3，4），对称轴为直线x325如图，已知二次函数ya（xh）2+的图象经过原点O（0，0），A（2，0）（1）写出该函数图象的对称轴；（2）若将线段OA绕点O逆时针旋转60到OA，试判断点A是否为该函数图象的顶点？【分析】（1）由于抛物线过点O（0，0），A（2，0），根据抛物线的对称性得到抛物线的对称轴为直线x1；（2）作ABx轴于B，先根据旋转的性质得OA
29、OA2，AOA60，再根据含30度的直角三角形三边的关系得OBOA1，ABOB，则A点的坐标为（1，），根据抛物线的顶点式可判断点A为抛物线y（x1）2+的顶点【解答】解：（1）二次函数ya（xh）2+的图象经过原点O（0，0），A（2，0）解得：h1，a，抛物线的对称轴为直线x1；（2）点A是该函数图象的顶点理由如下：如图，作ABx轴于点B，线段OA绕点O逆时针旋转60到OA，OAOA2，AOA60，在RtAOB中，OAB30，OBOA1，ABOB，A点的坐标为（1，），点A为抛物线y（x1）2+的顶点26如图，二次函数的图象与x轴交于A（3，0）和B（1，0）两点，交y轴于点C（0，3），
30、点C、D是二次函数图象上的一对对称点，一次函数的图象过点B、D（1）请直接写出D点的坐标（2）求二次函数的解析式（3）根据图象直接写出使一次函数值大于二次函数值的x的取值范围【分析】（1）根据抛物线的对称性来求点D的坐标；（2）设二次函数的解析式为yax2+bx+c（a0，a、b、c常数），把点A、B、C的坐标分别代入函数解析式，列出关于系数a、b、c的方程组，通过解方程组求得它们的值即可；（3）根据图象直接写出答案【解答】解：（1）如图，二次函数的图象与x轴交于A（3，0）和B（1，0）两点，对称轴是x1又点C（0，3），点C、D是二次函数图象上的一对对称点，D（2，3）；（2）设二次函数的
31、解析式为yax2+bx+c（a0，a、b、c常数），根据题意得 ，解得 ，所以二次函数的解析式为yx22x+3；（3）如图，一次函数值大于二次函数值的x的取值范围是x2或x127已知二次函数yx2+bx+c的图象与y轴交于点C（0，6），与x轴的一个交点坐标是A（2，0）（1）求二次函数的解析式，并写出顶点D的坐标；（2）将二次函数的图象沿x轴向左平移个单位长度，当 y0时，求x的取值范围【分析】（1）将点A和点C的坐标代入抛物线的解析式可求得b、c的值，从而得到抛物线的解析式，然后依据配方法可求得抛物线的顶点坐标；（2）依据抛物线的解析式与平移的规划规律，写出平移后抛物线的解析式，然后求得抛物线与x轴的交点坐标，最后依据y0可求得x的取值范围【解答】解：（1）把C（0，6）代入抛物线的解析式得：C6，把A（2，0）代入yx2+bx6得：b1，抛物线的解析式为yx2x6y（x）2抛物线的顶点坐标D（，）（2）二次函数的图形沿x轴向左平移个单位长度得：y（x+2）2令y0得：（x+2）20，解得：x1，x2a0，当y0时，x的取值范围是x
