1、5.2平面向量基本定理及坐标表示考情考向分析主要考查向量的加法、减法、数乘向量的坐标运算及向量共线的坐标表示，考查向量线性运算的综合应用，考查学生的运算推理能力、数形结合能力，常与三角函数综合交汇考查，突出向量的工具性一般以填空题的形式考查，偶尔有与三角函数综合在一起考查的解答题，属于中档题1平面向量基本定理如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数1，2，使a1e12e2.其中，不共线的向量e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底2平面向量的坐标运算(1)向量加法、减法、数乘及向量的模设a(x1，y1)，b(x2，y2)，则ab(x1x
2、2，y1y2)，ab(x1x2，y1y2)，a(x1，y1)，|a|.(2)向量坐标的求法若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则(x2x1，y2y1)，|.3平面向量共线的坐标表示设a(x1，y1)，b(x2，y2)，其中a0.a，b共线x1y2x2y10.概念方法微思考1若两个向量存在夹角，则向量的夹角与直线的夹角一样吗？为什么？提示不一样因为向量有方向，而直线不考虑方向当向量的夹角为直角或锐角时，与直线的夹角相同当向量的夹角为钝角或平角时，与直线的夹角不一样2平面内的任一向量可以用任意两个非零向量表示吗？提示不一定当两个向量共线时，这两个向
3、量就不能表示，即两向量只有不共线时，才能作为一组基底表示平面内的任一向量题组一思考辨析1判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)平面内的任意两个向量都可以作为一组基底()(2)若a，b不共线，且1a1b2a2b，则12，12.()(3)在等边三角形ABC中，向量与的夹角为60.()(4)若a(x1，y1)，b(x2，y2)，则ab的充要条件可表示成.()(5)当向量的起点在坐标原点时，向量的坐标就是向量终点的坐标()(6)平面向量不论经过怎样的平移变换之后其坐标不变()题组二教材改编2P79练习T6已知ABCD的顶点A(1，2)，B(3，1)，C(5,6)，则顶点D的坐标为答案(1
4、,5)解析设D(x，y)，则由，得(4,1)(5x,6y)，即解得3P82T8已知向量a(2,3)，b(1,2)，若manb与a2b共线，则.答案解析由向量a(2,3)，b(1,2)，得manb(2mn,3m2n)，a2b(4，1)由manb与a2b共线，得，所以.题组三易错自纠4设e1，e2是平面内一组基底，若1e12e20，则12.答案05已知点A(0,1)，B(3,2)，向量(4，3)，则向量.答案(7，4)解析根据题意得(3,1)，(4，3)(3,1)(7，4)6已知向量a(m,4)，b(3，2)，且ab，则m.答案6解析因为ab，所以(2)m430，解得m6.题型一平面向量基本定理的
5、应用例1如图，在OCB中，A是CB的中点，D是将分成21的一个内分点，DC和OA交于点E，设a，b.(1)用a和b表示向量，；(2)若，求实数的值解(1)由题意知，A是BC的中点，且，由平行四边形法则，得2，所以22ab，(2ab)b2ab.(2)由题意知，故设x.因为(2ab)a(2)ab，2ab.所以(2)abx.因为a与b不共线，由平面向量基本定理，得解得故.思维升华应用平面向量基本定理的注意事项(1)选定基底后，通过向量的加、减、数乘以及向量平行的充要条件，把相关向量用这一组基底表示出来(2)强调几何性质在向量运算中的作用，用基底表示未知向量，常借助图形的几何性质，如平行、相似等(3)
6、强化共线向量定理的应用跟踪训练1在ABC中，点P是AB上一点，且，Q是BC的中点，AQ与CP的交点为M，又t，则t的值为答案解析，32，即22，2，即P为AB的一个三等分点，如图所示方法一A，M，Q三点共线，x(1x)(x1)，而，.又，由已知t，可得t，又，不共线，解得t.方法二过Q作PC的平行线交AB于D，Q是BC中点，QDPC，且D是PB中点，QD2PM，PC4PM，CMCP，又t，t.题型二平面向量的坐标运算例2(1)已知点M(5，6)和向量a(1，2)，若3a，则点N的坐标为答案(2,0)解析设N(x，y)，则(x5，y6)(3,6)，x2，y0.(2)已知A(2,4)，B(3，1)
7、，C(3，4)设a，b，c，ambnc(m，nR)，则mn.答案2解析由已知得a(5，5)，b(6，3)，c(1,8)mbnc(6mn，3m8n)，解得mn2.思维升华平面向量坐标运算的技巧(1)利用向量加、减、数乘运算的法则来进行求解，若已知有向线段两端点的坐标，则应先求向量的坐标(2)解题过程中，常利用“向量相等，则坐标相同”这一结论，由此可列方程(组)进行求解跟踪训练2线段AB的端点为A(x,5)，B(2，y)，直线AB上的点C(1,1)，使|2|，则xy.答案2或6解析由已知得(1x，4)，22(3,1y)由|2|，可得2，则当2时，有解得此时xy2；当2时，有解得此时xy6.综上可知
8、，xy2或6.题型三向量共线的坐标表示命题点1利用向量共线求向量或点的坐标例3已知O为坐标原点，点A(4,0)，B(4,4)，C(2,6)，则AC与OB的交点P的坐标为答案(3,3)解析方法一由O，P，B三点共线，可设(4，4)，则(44,4)又(2,6)，由与共线，得(44)64(2)0，解得，所以(3,3)，所以点P的坐标为(3,3)方法二设点P(x，y)，则(x，y)，因为(4,4)，且与共线，所以，即xy.又(x4，y)，(2,6)，且与共线，所以(x4)6y(2)0，解得xy3，所以点P的坐标为(3,3)命题点2利用向量共线求参数例4(2019江苏南通启东中学模拟)已知向量a，b(x
9、,1)，其中x0，若(a2b)(2ab)，则x.答案4解析向量a，b(x,1)，a2b，2ab(16x，x1)，(a2b)(2ab)，(82x)(x1)(16x)0，即x2400，又x0，x4.思维升华平面向量共线的坐标表示问题的解题策略(1)如果已知两向量共线，求某些参数的取值时，利用“若a(x1，y1)，b(x2，y2)，则ab的充要条件是x1y2x2y1”(2)在求与一个已知向量a共线的向量时，可设所求向量为a(R)跟踪训练3(1)已知向量a(1,1)，点A(3，0)，点B为直线y2x上的一个动点若a，则点B的坐标为答案(3，6)解析设B(x,2x)，则(x3,2x)a，x32x0，解得
10、x3，B(3，6)(2)已知向量(k,12)，(4,5)，(k,10)，且A，B，C三点共线，则实数k的值是答案解析(4k，7)，(2k，2)A，B，C三点共线，共线，2(4k)7(2k)，解得k.1已知M(3，2)，N(5，1)，且，则P点的坐标为答案解析设P(x，y)，则(x3，y2)而(8,1)，解得P.2若向量(2,0)，(1,1)，则.答案(4,2)解析(3,1)，又(1,1)，则(1,1)，所以(4,2)3若三点A(1，5)，B(a，2)，C(2，1)共线，则实数a的值为答案解析(a1,3)，(3,4)，根据题意知，4(a1)3(3)，即4a5，a.4(2018全国)已知向量a(1
11、,2)，b(2，2)，c(1，)若c(2ab)，则.答案解析由题意得2ab(4,2)，因为c(2ab)，所以42，得.5已知向量(1，3)，(2，1)，(k1，k2)，若A，B，C三点能构成三角形，则实数k应满足的条件是答案k1解析若点A，B，C能构成三角形，则向量，不共线(2，1)(1，3)(1,2)，(k1，k2)(1，3)(k，k1)，1(k1)2k0，解得k1.6已知向量m与向量n(3，sinAcosA)共线，其中A是ABC的内角，则角A的大小为答案解析mn，sinA(sinAcosA)0，2sin2A2sinAcosA3，1cos2Asin2A3，sin1，A(0，)，2A.因此2A
12、，解得A.7在平面直角坐标系xOy中，已知A(1,0)，B(0,1)，C为坐标平面内第一象限内一点，AOC，且OC2，若，则.答案2解析因为OC2，AOC，所以C(，)，又，所以(，)(1,0)(0,1)(，)，所以，2.8已知平面直角坐标系内的两个向量a(1,2)，b(m，3m2)，且平面内的任一向量c都可以唯一的表示成cab(，为实数)，则实数m的取值范围是答案(，2)(2，)解析由题意知向量a，b不共线，故2m3m2，即m2.9在ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，且cba，若向量m(ab,1)和向量n(bc,1)平行，且sinB，则当ABC的面积为时，b.答案2解析由向量m和
13、n平行知ac2b，由acsinB，得ac，由cba知B为锐角，则cosB，即，由可得b2.10向量a，b，c在正方形网格中的位置如图所示，若cab(，R)，则.答案4解析以向量a和b的交点为原点建立如图所示的平面直角坐标系(设每个小正方形边长为1)，则A(1，1)，B(6,2)，C(5，1)，a(1,1)，b(6,2)，c(1，3)cab，(1，3)(1,1)(6,2)，即解得2，4.11已知a(1,0)，b(2,1)，(1)当k为何值时，kab与a2b共线；(2)若2a3b，amb且A，B，C三点共线，求m的值解(1)kabk(1,0)(2,1)(k2，1)，a2b(1,0)2(2,1)(5
14、,2)kab与a2b共线，2(k2)(1)50，即2k450，得k.(2)方法一A，B，C三点共线，即2a3b(amb)，解得m.方法二2a3b2(1,0)3(2,1)(8,3)，amb(1,0)m(2,1)(2m1，m)，A，B，C三点共线，8m3(2m1)0，即2m30，m.12.如图，已知平面内有三个向量，其中与的夹角为120，与的夹角为30，且|1，|2.若(，R)，求的值解方法一如图，作平行四边形OB1CA1，则，因为与的夹角为120，与的夹角为30，所以B1OC90.在RtOB1C中，OCB130，|2，所以|2，|4，所以|4，所以42，所以4，2，所以6.方法二以O为原点，建立
15、如图所示的平面直角坐标系，则A(1,0)，B，C(3，)由，得解得所以6.13.如图，四边形ABCD是正方形，延长CD至E，使得DECD，若点P为CD的中点，且，则.答案解析由题意，设正方形的边长为1，建立平面直角坐标系如图，则B(1,0)，E(1,1)，(1,0)，(1,1)，(，)，又P为CD的中点，1，.14在矩形ABCD中，AB1，AD2，动点P在以点C为圆心且与BD相切的圆上若，则的最大值为答案3解析建立如图所示的平面直角坐标系，则C点坐标为(2,1)设BD与圆C切于点E，连结CE，则CEBD.CD1，BC2，BD，EC，即圆C的半径为，P点的轨迹方程为(x2)2(y1)2.设P(x
16、0，y0)，则(为参数)，而(x0，y0)，(0,1)，(2,0)(0,1)(2,0)(2，)，x01cos，y01sin.两式相加，得1sin1cos2sin()3，当且仅当2k，kZ时，取得最大值3.15.在直角梯形ABCD中，ABAD，DCAB，ADDC2，AB4，E，F分别为AB，BC的中点，点P在以A为圆心，AD为半径的圆弧DEM上变动(如图所示)若，其中，R，则2的取值范围是答案解析建立如图所示的平面直角坐标系，则A(0,0)，E(2,0)，D(0,2)，F(3,1)，P(cos，sin)，即(cos，sin)，(2,2)，(3,1)，(cos，sin)(2,2)(3,1)，cos23，sin2，(3sincos)，(cossin)，2sincossin.，.sin.16.如图，在边长为2的正六边形ABCDEF中，动圆Q的半径为1，圆心在线段CD(含端点)上运动，P是圆Q上及内部的动点，设向量mn(m，n为实数)，求mn的最大值解如图所示，设点O为正六边形的中心，则.当动圆Q的圆心经过点C时，与边BC交于点P，点P为边BC的中点连结OP，则，与共线，存在实数t，使得t，则tt()(1t)(1t)，此时mn1t1t2，取得最小值当动圆Q的圆心经过点D时，取AD的延长线与圆Q的交点为P，则，此时mn5，为最大值16
