江苏专用2020版高考数学大一轮复习第五章平面向量复数5.2平面向量基本定理及坐标表示教案含解析

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资源描述

1、5.2平面向量基本定理及坐标表示考情考向分析主要考查向量的加法、减法、数乘向量的坐标运算及向量共线的坐标表示,考查向量线性运算的综合应用,考查学生的运算推理能力、数形结合能力,常与三角函数综合交汇考查,突出向量的工具性一般以填空题的形式考查,偶尔有与三角函数综合在一起考查的解答题,属于中档题1平面向量基本定理如果e1,e2是同一平面内的两个不共线向量,那么对于这一平面内的任意向量a,有且只有一对实数1,2,使a1e12e2.其中,不共线的向量e1,e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底2平面向量的坐标运算(1)向量加法、减法、数乘及向量的模设a(x1,y1),b(x2,y2),则ab(x1x

2、2,y1y2),ab(x1x2,y1y2),a(x1,y1),|a|.(2)向量坐标的求法若向量的起点是坐标原点,则终点坐标即为向量的坐标设A(x1,y1),B(x2,y2),则(x2x1,y2y1),|.3平面向量共线的坐标表示设a(x1,y1),b(x2,y2),其中a0.a,b共线x1y2x2y10.概念方法微思考1若两个向量存在夹角,则向量的夹角与直线的夹角一样吗?为什么?提示不一样因为向量有方向,而直线不考虑方向当向量的夹角为直角或锐角时,与直线的夹角相同当向量的夹角为钝角或平角时,与直线的夹角不一样2平面内的任一向量可以用任意两个非零向量表示吗?提示不一定当两个向量共线时,这两个向

3、量就不能表示,即两向量只有不共线时,才能作为一组基底表示平面内的任一向量题组一思考辨析1判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)平面内的任意两个向量都可以作为一组基底()(2)若a,b不共线,且1a1b2a2b,则12,12.()(3)在等边三角形ABC中,向量与的夹角为60.()(4)若a(x1,y1),b(x2,y2),则ab的充要条件可表示成.()(5)当向量的起点在坐标原点时,向量的坐标就是向量终点的坐标()(6)平面向量不论经过怎样的平移变换之后其坐标不变()题组二教材改编2P79练习T6已知ABCD的顶点A(1,2),B(3,1),C(5,6),则顶点D的坐标为答案(1

4、,5)解析设D(x,y),则由,得(4,1)(5x,6y),即解得3P82T8已知向量a(2,3),b(1,2),若manb与a2b共线,则.答案解析由向量a(2,3),b(1,2),得manb(2mn,3m2n),a2b(4,1)由manb与a2b共线,得,所以.题组三易错自纠4设e1,e2是平面内一组基底,若1e12e20,则12.答案05已知点A(0,1),B(3,2),向量(4,3),则向量.答案(7,4)解析根据题意得(3,1),(4,3)(3,1)(7,4)6已知向量a(m,4),b(3,2),且ab,则m.答案6解析因为ab,所以(2)m430,解得m6.题型一平面向量基本定理的

5、应用例1如图,在OCB中,A是CB的中点,D是将分成21的一个内分点,DC和OA交于点E,设a,b.(1)用a和b表示向量,;(2)若,求实数的值解(1)由题意知,A是BC的中点,且,由平行四边形法则,得2,所以22ab,(2ab)b2ab.(2)由题意知,故设x.因为(2ab)a(2)ab,2ab.所以(2)abx.因为a与b不共线,由平面向量基本定理,得解得故.思维升华应用平面向量基本定理的注意事项(1)选定基底后,通过向量的加、减、数乘以及向量平行的充要条件,把相关向量用这一组基底表示出来(2)强调几何性质在向量运算中的作用,用基底表示未知向量,常借助图形的几何性质,如平行、相似等(3)

6、强化共线向量定理的应用跟踪训练1在ABC中,点P是AB上一点,且,Q是BC的中点,AQ与CP的交点为M,又t,则t的值为答案解析,32,即22,2,即P为AB的一个三等分点,如图所示方法一A,M,Q三点共线,x(1x)(x1),而,.又,由已知t,可得t,又,不共线,解得t.方法二过Q作PC的平行线交AB于D,Q是BC中点,QDPC,且D是PB中点,QD2PM,PC4PM,CMCP,又t,t.题型二平面向量的坐标运算例2(1)已知点M(5,6)和向量a(1,2),若3a,则点N的坐标为答案(2,0)解析设N(x,y),则(x5,y6)(3,6),x2,y0.(2)已知A(2,4),B(3,1)

7、,C(3,4)设a,b,c,ambnc(m,nR),则mn.答案2解析由已知得a(5,5),b(6,3),c(1,8)mbnc(6mn,3m8n),解得mn2.思维升华平面向量坐标运算的技巧(1)利用向量加、减、数乘运算的法则来进行求解,若已知有向线段两端点的坐标,则应先求向量的坐标(2)解题过程中,常利用“向量相等,则坐标相同”这一结论,由此可列方程(组)进行求解跟踪训练2线段AB的端点为A(x,5),B(2,y),直线AB上的点C(1,1),使|2|,则xy.答案2或6解析由已知得(1x,4),22(3,1y)由|2|,可得2,则当2时,有解得此时xy2;当2时,有解得此时xy6.综上可知

8、,xy2或6.题型三向量共线的坐标表示命题点1利用向量共线求向量或点的坐标例3已知O为坐标原点,点A(4,0),B(4,4),C(2,6),则AC与OB的交点P的坐标为答案(3,3)解析方法一由O,P,B三点共线,可设(4,4),则(44,4)又(2,6),由与共线,得(44)64(2)0,解得,所以(3,3),所以点P的坐标为(3,3)方法二设点P(x,y),则(x,y),因为(4,4),且与共线,所以,即xy.又(x4,y),(2,6),且与共线,所以(x4)6y(2)0,解得xy3,所以点P的坐标为(3,3)命题点2利用向量共线求参数例4(2019江苏南通启东中学模拟)已知向量a,b(x

9、,1),其中x0,若(a2b)(2ab),则x.答案4解析向量a,b(x,1),a2b,2ab(16x,x1),(a2b)(2ab),(82x)(x1)(16x)0,即x2400,又x0,x4.思维升华平面向量共线的坐标表示问题的解题策略(1)如果已知两向量共线,求某些参数的取值时,利用“若a(x1,y1),b(x2,y2),则ab的充要条件是x1y2x2y1”(2)在求与一个已知向量a共线的向量时,可设所求向量为a(R)跟踪训练3(1)已知向量a(1,1),点A(3,0),点B为直线y2x上的一个动点若a,则点B的坐标为答案(3,6)解析设B(x,2x),则(x3,2x)a,x32x0,解得

10、x3,B(3,6)(2)已知向量(k,12),(4,5),(k,10),且A,B,C三点共线,则实数k的值是答案解析(4k,7),(2k,2)A,B,C三点共线,共线,2(4k)7(2k),解得k.1已知M(3,2),N(5,1),且,则P点的坐标为答案解析设P(x,y),则(x3,y2)而(8,1),解得P.2若向量(2,0),(1,1),则.答案(4,2)解析(3,1),又(1,1),则(1,1),所以(4,2)3若三点A(1,5),B(a,2),C(2,1)共线,则实数a的值为答案解析(a1,3),(3,4),根据题意知,4(a1)3(3),即4a5,a.4(2018全国)已知向量a(1

11、,2),b(2,2),c(1,)若c(2ab),则.答案解析由题意得2ab(4,2),因为c(2ab),所以42,得.5已知向量(1,3),(2,1),(k1,k2),若A,B,C三点能构成三角形,则实数k应满足的条件是答案k1解析若点A,B,C能构成三角形,则向量,不共线(2,1)(1,3)(1,2),(k1,k2)(1,3)(k,k1),1(k1)2k0,解得k1.6已知向量m与向量n(3,sinAcosA)共线,其中A是ABC的内角,则角A的大小为答案解析mn,sinA(sinAcosA)0,2sin2A2sinAcosA3,1cos2Asin2A3,sin1,A(0,),2A.因此2A

12、,解得A.7在平面直角坐标系xOy中,已知A(1,0),B(0,1),C为坐标平面内第一象限内一点,AOC,且OC2,若,则.答案2解析因为OC2,AOC,所以C(,),又,所以(,)(1,0)(0,1)(,),所以,2.8已知平面直角坐标系内的两个向量a(1,2),b(m,3m2),且平面内的任一向量c都可以唯一的表示成cab(,为实数),则实数m的取值范围是答案(,2)(2,)解析由题意知向量a,b不共线,故2m3m2,即m2.9在ABC中,a,b,c分别为角A,B,C的对边,且cba,若向量m(ab,1)和向量n(bc,1)平行,且sinB,则当ABC的面积为时,b.答案2解析由向量m和

13、n平行知ac2b,由acsinB,得ac,由cba知B为锐角,则cosB,即,由可得b2.10向量a,b,c在正方形网格中的位置如图所示,若cab(,R),则.答案4解析以向量a和b的交点为原点建立如图所示的平面直角坐标系(设每个小正方形边长为1),则A(1,1),B(6,2),C(5,1),a(1,1),b(6,2),c(1,3)cab,(1,3)(1,1)(6,2),即解得2,4.11已知a(1,0),b(2,1),(1)当k为何值时,kab与a2b共线;(2)若2a3b,amb且A,B,C三点共线,求m的值解(1)kabk(1,0)(2,1)(k2,1),a2b(1,0)2(2,1)(5

14、,2)kab与a2b共线,2(k2)(1)50,即2k450,得k.(2)方法一A,B,C三点共线,即2a3b(amb),解得m.方法二2a3b2(1,0)3(2,1)(8,3),amb(1,0)m(2,1)(2m1,m),A,B,C三点共线,8m3(2m1)0,即2m30,m.12.如图,已知平面内有三个向量,其中与的夹角为120,与的夹角为30,且|1,|2.若(,R),求的值解方法一如图,作平行四边形OB1CA1,则,因为与的夹角为120,与的夹角为30,所以B1OC90.在RtOB1C中,OCB130,|2,所以|2,|4,所以|4,所以42,所以4,2,所以6.方法二以O为原点,建立

15、如图所示的平面直角坐标系,则A(1,0),B,C(3,)由,得解得所以6.13.如图,四边形ABCD是正方形,延长CD至E,使得DECD,若点P为CD的中点,且,则.答案解析由题意,设正方形的边长为1,建立平面直角坐标系如图,则B(1,0),E(1,1),(1,0),(1,1),(,),又P为CD的中点,1,.14在矩形ABCD中,AB1,AD2,动点P在以点C为圆心且与BD相切的圆上若,则的最大值为答案3解析建立如图所示的平面直角坐标系,则C点坐标为(2,1)设BD与圆C切于点E,连结CE,则CEBD.CD1,BC2,BD,EC,即圆C的半径为,P点的轨迹方程为(x2)2(y1)2.设P(x

16、0,y0),则(为参数),而(x0,y0),(0,1),(2,0)(0,1)(2,0)(2,),x01cos,y01sin.两式相加,得1sin1cos2sin()3,当且仅当2k,kZ时,取得最大值3.15.在直角梯形ABCD中,ABAD,DCAB,ADDC2,AB4,E,F分别为AB,BC的中点,点P在以A为圆心,AD为半径的圆弧DEM上变动(如图所示)若,其中,R,则2的取值范围是答案解析建立如图所示的平面直角坐标系,则A(0,0),E(2,0),D(0,2),F(3,1),P(cos,sin),即(cos,sin),(2,2),(3,1),(cos,sin)(2,2)(3,1),cos23,sin2,(3sincos),(cossin),2sincossin.,.sin.16.如图,在边长为2的正六边形ABCDEF中,动圆Q的半径为1,圆心在线段CD(含端点)上运动,P是圆Q上及内部的动点,设向量mn(m,n为实数),求mn的最大值解如图所示,设点O为正六边形的中心,则.当动圆Q的圆心经过点C时,与边BC交于点P,点P为边BC的中点连结OP,则,与共线,存在实数t,使得t,则tt()(1t)(1t),此时mn1t1t2,取得最小值当动圆Q的圆心经过点D时,取AD的延长线与圆Q的交点为P,则,此时mn5,为最大值16

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