1、5.4平面向量的综合应用考情考向分析主要考查平面向量与函数、三角函数、不等式、数列、解析几何等综合性问题，求参数范围、最值等问题是考查的热点，一般以填空题的形式出现，偶尔会出现在解答题中，属于中档题1向量在平面几何中的应用(1)用向量解决常见平面几何问题的技巧：问题类型所用知识公式表示线平行、点共线等问题共线向量定理ababx1y2x2y10，其中a(x1，y1)，b(x2，y2)，a0垂直问题数量积的运算性质abab0x1x2y1y20，其中a(x1，y1)，b(x2，y2)，且a，b为非零向量夹角问题数量积的定义cos(为向量a，b的夹角)，其中a，b为非零向量长度问题数量积的定义|a|，
2、其中a(x，y)，a为非零向量(2)用向量方法解决平面几何问题的步骤平面几何问题向量问题解决向量问题解决几何问题2向量在解析几何中的应用向量在解析几何中的应用，是以解析几何中的坐标为背景的一种向量描述它主要强调向量的坐标问题，进而利用直线和圆锥曲线的位置关系的相关知识来解答，坐标的运算是考查的主体3平面向量在物理中的应用(1)由于物理学中的力、速度、位移都是矢量，它们的分解与合成与向量的加法和减法相似，可以用向量的知识来解决(2)物理学中的功是一个标量，是力F与位移s的数量积，即WFs|F|s|cos(为F与s的夹角)4向量与相关知识的交汇平面向量作为一种工具，常与函数(三角函数)、解析几何结
3、合，常通过向量的线性运算与数量积，向量的共线与垂直求解相关问题概念方法微思考1根据你对向量知识的理解，你认为可以利用向量方法解决哪些几何问题？提示(1)线段的长度问题(2)直线或线段平行问题(3)直线或线段垂直问题(4)角的问题等2如何用向量解决平面几何问题？提示用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题然后通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题，最后把运算结果“翻译”成几何关系题组一思考辨析1判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)若，则A，B，C三点共线()(2)在ABC中，若0)，因为A，B，M三点共线，所以与共线，因为(a1，a)，(b1
4、，b)，所以b(a1)a(b1)0，得ab2ab，即2，OAOB2a2b(ab)24，当且仅当ab1时取得等号，此时直线l的方程为x1.(2)MA2MB2(a1)23a2(b1)23b24(a2b2)2(ab)24(ab)22(ab)8ab24(ab)26(ab)242，因为ab2ab22，所以ab2，当且仅当ab1时取得等号，所以当ab2时，MA2MB2取得最小值6.(3)MAMB(a1)(b1)3ab2abab12(ab)1(ab)1213，当且仅当ab1时取得等号，所以MAMB的最小值为3.思维升华向量在解析几何中的“两个”作用(1)载体作用：向量在解析几何问题中出现，多用于“包装”，关
5、键是利用向量的意义、运算脱去“向量外衣”，导出曲线上点的坐标之间的关系，从而解决有关距离、斜率、夹角、轨迹、最值等问题(2)工具作用：利用abab0(a，b为非零向量)，abba(a0)，可解决垂直、平行问题，特别地，向量垂直、平行的坐标表示对于解决解析几何中的垂直、平行问题是一种比较简捷的方法跟踪训练2(2017江苏)在平面直角坐标系xOy中，A(12，0)，B(0，6)，点P在圆O：x2y250上，若20，则点P的横坐标的取值范围是_答案5，1解析方法一因为点P在圆O：x2y250上，所以设P点坐标为(x，)(5x5)因为A(12,0)，B(0,6)，所以(12x，)或(12x，)，(x,
6、6)或(x,6)因为20，先取P(x，)进行计算，所以(12x)(x)()(6)20，即2x5.当2x50，即x时，上式恒成立当2x50，即x时，(2x5)250x2，解得x1，故x1.同理可得P(x，)时，x5.又5x5，所以5x1.故点P的横坐标的取值范围为5，1方法二设P(x，y)，则(12x，y)，(x,6y)20，(12x)(x)(y)(6y)20，即2xy50.如图，作圆O：x2y250，直线2xy50与O交于E，F两点，P在圆O上且满足2xy50，点P在上由得F点的横坐标为1，又D点的横坐标为5，P点的横坐标的取值范围为5，1题型三向量的其他应用命题点1向量在不等式中的应用例3(
7、1) 已知O是坐标原点，点A(1,2)，若点M(x，y)为平面区域上的一个动点，则的取值范围是_答案1,4解析作出点M(x，y)满足的平面区域如图阴影部分所示(含边界)，设z，因为A(1,2)，M(x，y)，所以zx2y，即yxz.平移直线yx，由图象可知，当直线yxz经过点C(0,2)时，截距最大，此时z最大，最大值为4，当直线yxz经过点B时，截距最小，此时z最小，最小值为1，故1z4，即14.(2)(2019盐城模拟)如图给定两个长度为1的平面向量和，它们的夹角为120，点C在以O为圆心的上变动，若xy，其中x，yR，则xy的最大值为_答案2解析因为平面向量和的长度都为1，且夹角为120
8、，所以，由xy，可得2(xy)2x22y222xyx2y2xy1，所以x2y2xy(xy)23xy1(xy)232，解得xy2，所以xy的最大值是2.命题点2向量在解三角形中的应用例4在ABC中，若|2，且cosCcosAsinB.(1)求角B的大小；(2)求ABC的面积解(1)因为，所以cosCcosAsinB()sinB，即(cosCsinB)(cosAsinB)0.而向量，是两个不共线的向量，所以所以cosCcosA，因为A，C(0，)，所以AC.在等腰ABC中，ABC，所以2AB，A.所以cosAcossinsinB，所以sin2sincos，因为sin0，所以cos.综合00，即|a
9、|24|a|b|cos0，即cos0)的焦点F的直线l与抛物线在第一象限的交点为A，与抛物线的准线的交点为B，点A在抛物线的准线上的射影为C，若，48，则抛物线的方程为_答案y24x解析如图所示，由，得F为线段AB的中点，AFAC，ABC30，由48，得BC4.则AC4，由中位线的性质，有pAC2，故抛物线的方程为y24x.8在梯形ABCD中，ABCD，CD1，ABBC2，BCD120，动点P和Q分别在线段BC和CD上，且，则的最大值为_答案解析因为ABCD，CD1，ABBC2，BCD120，所以ABCD是直角梯形，且CM，BCM30，以AB所在直线为x轴，以AD所在直线为y轴，建立如图所示的
10、平面直角坐标系，因为，动点P和Q分别在线段BC和CD上，则，B(2,0)，P(2，)，Q，所以(2，)54.令f()54且，由对勾函数性质可知，当1时可取得最大值，则()maxf()maxf(1)54.9.如图，A是半径为5的圆C上的一个定点，单位向量在A点处与圆C相切，点P是圆C上的一个动点，且点P与点A不重合，则的取值范围是_答案5,5解析如图所示，以AB所在直线为x轴，AC所在直线为y轴，建立平面直角坐标系设点P(x，y)，B(1,0)，A(0,0)，则(1,0)，(x，y)，所以(x，y)(1,0)x.因为点P在圆x2(y5)225上，所以5x5，即55.10(2018南通模拟)在AB
11、C中，AB，BC8，B45，D为ABC所在平面内一点且满足()()4，则AD长度的最小值为_答案解析以点A为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系，由题意可知，B(1，1)，C(7，1)，设D(x，y)，所以(1，1)，(7，1)，(x，y)，所以()()(xy)(7xy)4，即(xy)(y7x)4，令则所以mn4，所以AD，当且仅当5mn2时，AD取得最小值.11已知四边形ABCD为平行四边形，点A的坐标为(1,2)，点C在第二象限，(2,2)，且与的夹角为，2.(1)求点D的坐标；(2)当m为何值时，m与垂直解(1)设C(x，y)，D(a，b)，则(x1，y2)与的夹角为，2，化为(x1)
12、2(y2)21.又2(x1)2(y2)2，化为xy2.联立解得或又点C在第二象限，C(1,3)又，(a1，b3)(2，2)，解得a3，b1.D(3,1)(2)由(1)可知(0,1)，m(2m,2m1)，(2，1)m与垂直，(m)4m(2m1)0，解得m.12已知A，B，C是ABC的内角，a，b，c分别是其对边长，向量m(，cosA1)，n(sinA，1)，mn.(1)求角A的大小；(2)若a2，cosB，求b的值解(1)mn，mnsinA(cosA1)(1)0，sinAcosA1，sin.0A，A0，故cosB.(2)因为，所以cbcosAbacosC，则由余弦定理，得b2c2a2b2a2c2
13、，得ac.从而cosB.又因为0B，所以sinB，从而coscosBcossinBsin.15已知|1，点C在线段AB上，且|的最小值为，则|t|(tR)的最小值为_答案解析|1，点O在线段AB的垂直平分线上点C在线段AB上，且|的最小值为，当C是AB的中点时|最小，此时|，与的夹角为60，的夹角为120.又|t|22t222t1t22t11cos120t2t12，当且仅当t时等号成立|t|2的最小值为，|t|的最小值为.16记M的最大值和最小值分别为Mmax和Mmin.若平面向量a，b，c满足|a|b|abc(a2b2c)2，则|ac|的最大值为_答案解析由已知可得ab|a|b|cos2，cos，建立平面直角坐标系，a(2,0)，b(1，)，c(x，y)，由c(a2b2c)2，可得(x，y)(42x,22y)2，即4x2x22y2y22，化简得C点轨迹为(x1)22，则|ac|，转化为圆上点与(2,0)的距离|ac|max.22
