1、4.3三角函数的图象与性质考情考向分析以考查三角函数的图象和性质为主，题目涉及三角函数的图象及应用、图象的对称性、单调性、周期性、最值、零点考查三角函数性质时，常与三角恒等变换结合，加强数形结合思想、函数与方程思想的应用意识题型既有填空题，又有解答题，中档难度1用五点法作正弦函数和余弦函数的简图(1)在正弦函数ysinx，x0,2的图象中，五个关键点是：(0,0)，(，0)，(2，0)(2)在余弦函数ycosx，x0,2的图象中，五个关键点是：(0,1)，(，1)，(2，1)2正弦、余弦、正切函数的图象与性质(下表中kZ)函数ysinxycosxytanx图象定义域RRx|xR，且xk值域1,
2、11,1R周期性22奇偶性奇函数偶函数奇函数递增区间2k，2k递减区间2k，2k无对称中心(k，0)对称轴方程xkxk无概念方法微思考1正(余)弦曲线相邻两条对称轴之间的距离是多少？相邻两个对称中心的距离呢？提示正(余)弦曲线相邻两条对称轴之间的距离是半个周期；相邻两个对称中心的距离也为半个周期2思考函数f(x)Asin(x)(A0，0)是奇函数，偶函数的充要条件？提示(1)f(x)为偶函数的充要条件是k(kZ)；(2)f(x)为奇函数的充要条件是k(kZ)题组一思考辨析1判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)ysinx在第一、第四象限是增函数()(2)由sinsin知，是正弦函
3、数ysinx(xR)的一个周期()(3)正切函数ytanx在定义域内是增函数()(4)已知yksinx1，xR，则y的最大值为k1.()(5)ysin|x|是偶函数()题组二教材改编2P44T1函数f(x)cos的最小正周期是_答案3P45T4y3sin在区间上的值域是_答案解析当x时，2x，sin，故3sin，即y3sin的值域为.4P33例4函数ytan的定义域为_答案题组三易错自纠5函数ytan的图象的对称中心是_答案，kZ解析由x，kZ，得xk，kZ，所以对称中心是，kZ.6函数f(x)4sin的单调递减区间是_答案(kZ)解析f(x)4sin4sin.所以要求f(x)的单调递减区间，
4、只需求y4sin的单调递增区间由2k2x2k(kZ)，得kxk(kZ)所以函数f(x)的单调递减区间是(kZ)7cos23，sin68，cos97的大小关系是_答案sin68cos23cos97解析sin68cos22，又ycosx在0，180上是减函数，sin68cos23cos97.题型一三角函数的定义域1函数f(x)2tan的定义域是_答案解析由正切函数的定义域，得2xk，kZ，即x(kZ)2函数y的定义域为_答案(kZ)解析方法一要使函数有意义，必须使sinxcosx0.利用图象，在同一坐标系中画出0,2上ysinx和ycosx的图象，如图所示在0,2内，满足sinxcosx的x为，再
5、结合正弦、余弦函数的周期是2，所以原函数的定义域为.方法二利用三角函数线，画出满足条件的终边范围(如图中阴影部分所示)所以定义域为.3函数ylg(sinx)的定义域为_答案解析要使函数有意义，则即解得所以2k0)的最小正周期为4，则_.答案解析f(x)cos(0)，由周期计算公式，可得T4，解得.(2)已知函数f(x)sin(x)(0)的最小正周期为，则f_.答案解析T，2，f(x)sinsin2x，fsin.(3)(2018无锡市梅材高中期中)已知函数f(x)sin(x)cos(x)，0,0为偶函数，且其图象的两条相邻对称轴的距离为，则f的值为_答案解析因为函数f(x)sin(x)cos(x
6、)2sin为偶函数，所以k，kZ，令k0，可得，根据其图象的两条相邻对称轴间的距离为，可得，所以w2，所以f(x)2sin2cos2x，所以f2cos2cos.思维升华 (1)对于函数yAsin(x)(A0，0)，其对称轴一定经过图象的最高点或最低点，对称中心的横坐标一定是函数的零点(2)求三角函数周期的方法利用周期函数的定义利用公式：yAsin(x)和yAcos(x)的最小正周期为，ytan(x)的最小正周期为.跟踪训练2(1)已知函数f(x)sin(x)的最小正周期为4，且xR，有f(x)f成立，则f(x)图象的对称中心是_答案，kZ解析由f(x)sin(x)的最小正周期为4，得.因为f(
7、x)f恒成立，所以f(x)maxf，即2k(kZ)，又|0)图象的两条相邻对称轴，则_.答案k，kZ解析由题意，函数的周期T22，1，ycos(x)，当x时，函数取得最大值或最小值，即cos1，可得k，kZ，k，kZ.题型四三角函数的单调性命题点1求三角函数的单调区间例3(1)若点P(1，1)在角(0)终边上，则函数y3cos(x)，x0，的单调递减区间为_答案解析因为点P(1，1)在角(0)终边上，所以tan1，即函数为y3cos，令0x，且0x，解得x.(2)函数f(x)tan的单调递增区间是_答案(kZ)解析由k2xk(kZ)，得x0，函数f(x)sin在上单调递减，则的取值范围是_答案
8、解析由x0，得x0，kZ，得k0，所以.引申探究本例中，若已知0，函数f(x)cos在上单调递增，则的取值范围是_答案解析函数ycosx的单调递增区间为2k，2k，kZ，则kZ，解得4k2k，kZ，又由4k0，kZ且2k0，kZ，得k1，所以.思维升华 (1)已知三角函数解析式求单调区间求形如yAsin(x)或yAcos(x)(其中0)的单调区间时，要视“x”为一个整体，通过解不等式求解但如果0，可借助诱导公式将化为正数，防止把单调性弄错(2)已知三角函数的单调区间求参数先求出函数的单调区间，然后利用集合间的关系求解跟踪训练3(1)已知函数f(x)2sin，则函数f(x)的单调递减区间为_答案
9、(kZ)解析函数的解析式可化为f(x)2sin.由2k2x2k(kZ)，得kxk(kZ)，即函数f(x)的单调递减区间为(kZ)(2)(2018盐城模拟)若函数g(x)sin在区间和上均单调递增，则实数a的取值范围是_答案解析由2k2x2k(kZ)，可得kxk(kZ)，g(x)的单调递增区间为(kZ)又函数g(x)在区间和上均单调递增，解得a0)在区间0,1上出现50次最大值，则的最小值为_答案解析为了使函数ysinx(0)在区间0,1上出现50次最大值，则49T1，即1.解得，所以的最小值为.(2)设函数f(x)cos，则下列结论正确的是_(填序号)f(x)的一个周期为2；yf(x)的图象关
10、于直线x对称；f(x)的一个零点为x；f(x)在上单调递减答案解析中，因为f(x)cos的周期为2k(kZ)，所以f(x)的一个周期为2，正确；中，因为f(x)cos的图象的对称轴为直线xk(kZ)，所以yf(x)的图象关于直线x对称，正确；中，f(x)cos.令xk(kZ)，得xk(kZ)，当k1时，x，所以f(x)的一个零点为x，正确；中，因为f(x)cos的单调递减区间为(kZ)，单调递增区间为(kZ)，所以是f(x)的单调递减区间，是f(x)的单调递增区间，错误故正确的结论是.(3)函数f(x)cos(x)(0)的部分图象如图所示，则f(x)的单调递减区间为_答案，kZ解析由图象知，周
11、期T22，2，.由2k，kZ，不妨取，f(x)cos.由2kx2k，kZ，得2kx0，0)若f(x)在区间上具有单调性，且fff，则f(x)的最小正周期为_答案解析记f(x)的最小正周期为T.由题意知，又fff，且，可作出示意图如图所示(一种情况)：x1，x2，x2x1，T.1若函数f(x)sin(0)的最小正周期为，则f的值是_答案解析由题意，得，所以2，f(x)sin.因此fsinsin.2函数f(x)sin在区间上的最小值为_答案解析由已知x，得2x，所以sin，故函数f(x)sin在区间上的最小值为.3若函数ycosx在区间，a上为增函数，则实数a的取值范围是_答案(，0解析因为yco
12、sx在，0上是增函数，在0，上是减函数，所以只有当0，当x时，f(x)0，函数f(x)的单调增区间为.5函数ycos2x2sinx的最小值为_答案2解析ycos2x2sinx1sin2x2sinxsin2x2sinx1，令tsinx，则t1,1，yt22t1(t1)22，所以ymin2.6设函数f(x)3sin，若存在这样的实数x1，x2，对任意的xR，都有f(x1)f(x)f(x2)成立，则|x1x2|的最小值为_答案2解析|x1x2|的最小值为函数f(x)的半个周期，又T4，|x1x2|的最小值为2.7已知函数f(x)2sin(2x)的图象过点(0，)，则f(x)图象的对称中心是_答案(k
13、Z)解析函数f(x)2sin(2x)的图象过点(0，)，则f(0)2sin，sin，又|0，则f(x)的单调递减区间是_答案(kZ)解析由题意可得函数f(x)sin(2x)的图象关于直线x对称，故有2k，kZ，即k，kZ.又fsin0，所以2n，nZ，所以f(x)sin(2x2n)sin 2x.令2k2x2k，kZ，求得kxk，kZ，故函数f(x)的单调递减区间为，kZ.10已知函数f(x)，则下列说法正确的是_(填序号)f(x)的周期是；f(x)的值域是y|yR，且y0；直线x是函数f(x)图象的一条对称轴；f(x)的单调递减区间是，kZ.答案解析函数f(x)的周期为2，错；f(x)的值域为
14、0，)，错；当x时，x，kZ，x不是f(x)的对称轴，错；令kxk，kZ，可得2k0)的最小正周期为.(1)求函数yf(x)图象的对称轴方程；(2)讨论函数f(x)在上的单调性解(1)f(x)sin xcos xsin(0)，且T，2，f(x)sin.令2xk(kZ)，得x(kZ)，即函数f(x)图象的对称轴方程为x(kZ)(2)令2k2x2k(kZ)，得函数f(x)的单调递增区间为(kZ)因为x，所以令k0，得函数f(x)在上的单调递增区间为；令2k2x2k(kZ)，得函数f(x)的单调递减区间为(kZ)，令k0，得f(x)在上的单调递减区间为.13定义运算：a*b例如1*2=1，则函数f(
15、x)=sinx*cosx的值域为.答案解析根据三角函数的周期性，我们只看两函数在一个最小正周期内的情况即可，设x0,2，当x时，sin xcos x，此时f(x)cos x，f(x)，当0x或sin x，此时f(x)sin x，f(x)1,0综上知f(x)的值域为.14已知函数f(x)2cos(x)1，其图象与直线y3相邻两个交点的距离为，若f(x)1对任意x恒成立，则的取值范围是_答案解析由题意可得函数f(x)2cos(x)1的最大值为3.f(x)的图象与直线y3相邻两个交点的距离为，f(x)的周期T，解得3，f(x)2cos(3x)1.f(x)1对任意x恒成立，2cos(3x)11，即co
16、s(3x)0对任意x恒成立，2k且2k，kZ，解得2k且2k，kZ，即2k2k，kZ.结合|，可得当k0时，的取值范围为.15已知函数f(x)cos(2x)在上单调递增，若fm恒成立，则实数m的取值范围为_答案0，)解析f(x)cos(2x)，当x时，2x，由函数f(x)在上是增函数得kZ，则2k2k(kZ)又0，0，fcos，又，fmax0，m0.16设函数f(x)2sinm的图象关于直线x对称，其中0.(1)求函数f(x)的最小正周期；(2)若函数yf(x)的图象过点(，0)，求函数f(x)在上的值域解(1)由直线x是yf(x)图象的一条对称轴，可得sin1，2k(kZ)，即(kZ)又0，函数f(x)的最小正周期为3.(2)由(1)知f(x)2sinm，f()0，2sinm0，m2，f(x)2sin2，当0x时，x，sin1.3f(x)0，故函数f(x)在上的值域为3，0.19
