1、2.5指数与指数函数最新考纲1.通过具体实例，了解指数函数模型的实际背景.2.理解有理数指数幂的含义，通过具体实例，了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算.3.理解指数函数的概念和意义，借助计算器或计算机画出具体指数函数的图象，探索并理解指数函数的单调性与特殊点.4.在解决简单实际问题的过程中，体会指数函数是一类重要的函数模型1分数指数幂(1)我们规定正数的正分数指数幂的意义是(a0，m，nN*，且n1)于是，在条件a0，m，nN*，且n1下，根式都可以写成分数指数幂的形式正数的负分数指数幂的意义与负整数指数幂的意义相仿，我们规定(a0，m，nN*，且n1).0的正分数指数幂等于0；0的负分数指数
2、幂没有意义(2)有理数指数幂的运算性质：arasars，(ar)sars，(ab)rarbr，其中a0，b0，r，sQ.2指数函数的图象与性质yaxa10a0时，y1；当x0时，0y0时，0y1；当x1(6)在(，)上是增函数(7)在(，)上是减函数概念方法微思考1.如图是指数函数(1)yax，(2)ybx，(3)ycx，(4)ydx的图象，则a，b，c，d与1之间的大小关系为提示cd1ab02结合指数函数yax(a0，a1)的图象和性质说明ax1(a0，a1)的解集跟a的取值有关提示当a1时，ax1的解集为x|x0；当0a1的解集为x|x0题组一思考辨析1判断下列结论是否正确(请在括号中打“
3、”或“”)(1)()na(nN*)()(2)分数指数幂可以理解为个a相乘()(3)函数y32x与y2x1都不是指数函数()(4)若am0，且a1)，则mn.()(5)函数y2x在R上为单调减函数()题组二教材改编2P59A组T4化简(x0，y0，且a1)的图象经过点P，则f(1).答案解析由题意知a2，所以a，所以f(x)x，所以f(1)1.4P59A组T7已知a，b，c，则a，b，c的大小关系是答案cb0，即ab1，又c01，cba.题组三易错自纠5计算：0.答案2解析原式12.6若函数f(x)(a23)ax为指数函数，则a.答案2解析由指数函数的定义可得解得a2.7若函数y(a21)x在(
4、，)上为减函数，则实数a的取值范围是答案(，1)(1，)解析由题意知0a211，即1a22，得a1或1a1，则f(x)maxf(1)a2；若0a0，则下列等式成立的是()A(2)24B2a3C(2)01D答案D解析对于A，(2)2，故A错误；对于B,2a3，故B错误；对于C，(2)01，故C错误；对于D，故D正确2计算：0.00210(2)10.答案解析原式211010201.3化简：(a0，b0).答案解析原式2213101.4化简：(a0)答案a2解析原式思维升华 (1)指数幂的运算首先将根式、分数指数幂统一为分数指数幂，以便利用法则计算，还应注意：必须同底数幂相乘，指数才能相加；运算的先
5、后顺序(2)当底数是负数时，先确定符号，再把底数化为正数(3)运算结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数题型二指数函数的图象及应用例1(1)函数f(x)axb的图象如图所示，其中a，b为常数，则下列结论正确的是()Aa1，b1，b0C0a0D0a1，b0答案D解析由f(x)axb的图象可以观察出，函数f(x)axb在定义域上单调递减，所以0a1，函数f(x)axb的图象是在yax的基础上向左平移得到的，所以b0.(2)若函数y|4x1|在(，k上单调递减，则k的取值范围为_答案(，0解析函数y|4x1|的图象是由函数y4x的图象向下平移一个单位后，再把位于x轴下方的图象沿x
6、轴翻折到x轴上方得到的，函数图象如图所示由图象知，其在(，0上单调递减，所以k的取值范围是(，0思维升华 (1)已知函数解析式判断其图象一般是取特殊点，判断选项中的图象是否过这些点，若不满足则排除(2)对于有关指数型函数的图象可从指数函数的图象通过平移、伸缩、对称变换而得到特别地，当底数a与1的大小关系不确定时应注意分类讨论跟踪训练1(1)已知实数a，b满足等式2019a2020b，下列五个关系式：0ba；ab0；0ab；ba0；ab.其中不可能成立的关系式有()A1个B2个C3个D4个答案B解析如图，观察易知，a，b的关系为ab0或0ba或ab0.(2)方程2x2x的解的个数是答案1解析方程
7、的解可看作函数y2x和y2x的图象交点的横坐标，分别作出这两个函数的图象(如图)由图象得只有一个交点，因此该方程只有一个解题型三指数函数的性质及应用命题点1比较指数式的大小例2(1)已知a，b，c，则()AbacBabcCbcaDca220，可知b15a15c15，所以bac.(2)若1a”连接)答案3aa3a解析易知3a0，a0，a30，又由1a0，得0a1，所以(a)3(a)，即a3a，因此3aa3a.命题点2解简单的指数方程或不等式例3(1)(2018福州模拟)已知实数a1，函数f(x)若f(1a)f(a1)，则a的值为答案解析当a1时，代入不成立故a的值为.(2)若偶函数f(x)满足f
8、(x)2x4(x0)，则不等式f(x2)0的解集为答案x|x4或x0解析f(x)为偶函数，当x0，则f(x)f(x)2x4，f(x)当f(x2)0时，有或解得x4或x4或x0)，则yt22t的单调增区间为1，)，令2x1，得x0，又y2x在R上单调递增，所以函数f(x)4x2x1的单调增区间是0，)(3)若函数f(x)有最大值3，则a.答案1解析令h(x)ax24x3，yh(x)，由于f(x)有最大值3，所以h(x)应有最小值1，因此必有解得a1，即当f(x)有最大值3时，a的值为1.思维升华 (1)利用指数函数的函数性质比较大小或解方程、不等式，最重要的是“同底”原则，比较大小还可以借助中间
9、量；(2)求解与指数函数有关的复合函数问题，要明确复合函数的构成，涉及值域、单调区间、最值等问题时，都要借助“同增异减”这一性质分析判断跟踪训练2(1)已知f(x)2x2x，a，b，则f(a)，f(b)的大小关系是_答案f(b)b，f(a)f(b) (2)函数f(x)x2bxc满足f(x1)f(1x)，且f(0)3，则f(bx)与f(cx)的大小关系是()Af(bx)f(cx) Bf(bx)f(cx)Cf(bx)f(cx) D与x有关，不确定答案A解析f(x1)f(1x)，f(x)关于x1对称，易知b2，c3，当x0时，b0c01，f(bx)f(cx)，当x0时，3x2x1，又f(x)在(1，
10、)上单调递增，f(bx)f(cx)，当x0时，3x2x1，又f(x)在(，1)上单调递减，f(bx)f(cx)，综上，f(bx)f(cx)(3)若不等式12x4xa0在x(，1时恒成立，则实数a的取值范围是答案解析从已知不等式中分离出实数a，得a.函数yxx在R上是减函数，当x(，1时，xx，从而得.故实数a的取值范围为.1设a0.60.6，b0.61.5，c1.50.6，则a，b，c的大小关系是()AabcBacbCbacDbca答案C解析因为函数y0.6x在R上单调递减，所以b0.61.5a0.60.61，所以bay0，则()A.B.xyCcosxcosyDln(x1)ln(y1)答案D解
11、析因为当x2，y1时，xy，cosx0，a1)满足f(1)，则f(x)的单调递减区间是()A(，2 B2，)C2，) D(，2答案B解析由f(1)，得a2，所以a或a(舍去)，即f(x)|2x4|.由于y|2x4|在(，2上单调递减，在2，)上单调递增，所以f(x)在(，2上单调递增，在2，)上单调递减故选B.6已知函数f(x)的值域是8,1，则实数a的取值范围是()A(，3 B3,0)C3，1D3答案B解析当0x4时，f(x)8,1，当ax0时，f(x)，所以8,1，即81，即3aa”是“函数f(x)xm的图象不过第三象限”的必要不充分条件，则实数a能取的最大整数为答案1解析f(0)m，函数
12、f(x)的图象不过第三象限等价于m0，即m，“ma”是“m”的必要不充分条件，ax4的解集为答案(1,4)解析原不等式等价于2x4，又函数y2x为增函数，x22xx4，即x23x40，1x4.9当x(，1时，不等式(m2m)4x2x0恒成立，则实数m的取值范围是答案(1,2)解析原不等式变形为m2mx，因为函数yx在(，1上是减函数，所以x12，当x(，1时，m2mx恒成立等价于m2m2，解得1m2.10已知函数f(x)2x，函数g(x)则函数g(x)的最小值是答案0解析当x0时，g(x)f(x)2x为单调增函数，所以g(x)g(0)0；当xg(0)0，所以函数g(x)的最小值是0.11已知9
13、x103x90，求函数yx14x2的最大值和最小值解由9x103x90，得(3x1)(3x9)0，解得13x9，即0x2.令xt，则t1，y4t24t2421.当t，即x1时，ymin1；当t1，即x0时，ymax2.12已知函数f(x)bax(其中a，b为常量，且a0，a1)的图象经过点A(1,6)，B(3,24)(1)求f(x)的表达式；(2)若不等式xxm0在(，1上恒成立，求实数m的取值范围解(1)因为f(x)的图象过A(1,6)，B(3,24)，所以所以a24，又a0，所以a2，b3.所以f(x)32x.(2)由(1)知a2，b3，则当x(，1时，xxm0恒成立，即mxx在(，1上恒
14、成立又因为yx与yx在(，1上均为减函数，所以yxx在(，1上也是减函数，所以当x1时，yxx有最小值，所以m，即m的取值范围是.13(2018安徽滁州中学月考)设函数f(x)则满足f(f(a)2f(a)的a的取值范围是()A.B0,1C.D1，)答案C解析令f(a)t，则f(t)2t.当t1时，3t12t，令g(t)3t12t，则g(t)32tln2，当t0，g(t)在(，1)上单调递增，即g(t)g(1)0，则方程3t12t无解当t1时，2t2t成立，由f(a)1，得a1，且3a11，解得a1；a1，且2a1，解得a1.综上可得a的取值范围是.故选C.14若函数f(x)2|xa|(aR)满
15、足f(1x)f(1x)，f(x)在区间m，n上的最大值记为f(x)max，最小值记为f(x)min，若f(x)maxf(x)min3，则nm的取值范围是答案(0,4解析因为f(1x)f(1x)，所以f(x)的图象关于直线x1对称，所以a1，所以f(x)2|x1|.作出函数yf(x)的图象如图所示当mn1或1mn时，离对称轴越远，m与n的差越小，由y2x1与y21x的性质知极限值为0.当m1n时，函数f(x)在区间m，n上的最大值与最小值的差为f(x)maxf(x)min2|2|203，则nm取得最大值2(2)4，所以nm的取值范围是(0,415设f(x)|2x11|，af(c)，则2a2c4.
16、(选填“”“”“”)答案解析f(x)在(，1上是减函数，在1，)上是增函数，故结合条件知必有a1.若c1，则2a2,2c2，故2a2c1，则由f(a)f(c)，得12a12c11，即2c12a12，即2a2c4.综上知，总有2a2c4.16已知函数f(x)4(1x2)(1)若，求函数f(x)的值域；(2)若方程f(x)0有解，求实数的取值范围解(1)f(x)42x2x4(1x2)设tx，得g(t)t22t4.当时，g(t)t23t42.所以g(t)maxg，g(t)ming.所以f(x)max，f(x)min，故函数f(x)的值域为.(2)方程f(x)0有解可转化为22x(1x2)设(x)22x，当2x，即x1时，(x)min2；当2x4，即x2时，(x)max.函数(x)的值域为.故实数的取值范围是.13
