1、3.1导数的概念及运算最新考纲1.通过对大量实例的分析，经历由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程，了解导数概念的实际背景，知道瞬时变化率就是导数，体会导数的思想及其内涵.2.通过函数图象直观理解导数的几何意义.3.能根据导数定义求函数yc(c为常数)，yx，yx2，y的导数.4.能利用基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数1导数与导函数的概念(1)一般地，函数yf(x)在xx0处的瞬时变化率是，我们称它为函数yf(x)在xx0处的导数，记作f(x0)或y|，即f(x0).(2)如果函数yf(x)在开区间(a，b)内的每一点处都有导数，其导数值在(a，b)内构成一个新函数，这个
2、函数称为函数yf(x)在开区间(a，b)内的导函数记作f(x)或y.2导数的几何意义函数yf(x)在点x0处的导数的几何意义，就是曲线yf(x)在点P(x0，f(x0)处的切线的斜率k，即kf(x0)3基本初等函数的导数公式基本初等函数导函数f(x)c(c为常数)f(x)0f(x)x(Q*)f(x)x1f(x)sinxf(x)cosxf(x)cosxf(x)sinxf(x)exf(x)exf(x)ax(a0，a1)f(x)axlnaf(x)lnxf(x)f(x)logax(a0，a1)f(x)4.导数的运算法则若f(x)，g(x)存在，则有(1)f(x)g(x)f(x)g(x)；(2)f(x)
3、g(x)f(x)g(x)f(x)g(x)；(3)(g(x)0)概念方法微思考1根据f(x)的几何意义思考一下，|f(x)|增大，曲线f(x)的形状有何变化？提示|f(x)|越大，曲线f(x)的形状越来越陡峭2直线与曲线相切，是不是直线与曲线只有一个公共点？提示不一定题组一思考辨析1判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)f(x0)是函数yf(x)在xx0附近的平均变化率()(2)f(x0)f(x0).()(3)(2x)x2x1.()题组二教材改编2若f(x)xex，则f(1).答案2e解析f(x)exxex，f(1)2e.3曲线y1在点(1，1)处的切线方程为答案2xy10解析y，
4、y|x12.所求切线方程为2xy10.题组三易错自纠4如图所示为函数yf(x)，yg(x)的导函数的图象，那么yf(x)，yg(x)的图象可能是()答案D解析由yf(x)的图象知，yf(x)在(0，)上单调递减，说明函数yf(x)的切线的斜率在(0，)上也单调递减，故可排除A，C.又由图象知yf(x)与yg(x)的图象在xx0处相交，说明yf(x)与yg(x)的图象在xx0处的切线的斜率相同，故可排除B.故选D.5若f(x)，则f_.答案解析f(x)，f.6(2017天津)已知aR，设函数f(x)axlnx的图象在点(1，f(1)处的切线为l，则l在y轴上的截距为答案1解析f(x)a，f(1)
5、a1.又f(1)a，切线l的斜率为a1，且过点(1，a)，切线l的方程为ya(a1)(x1)令x0，得y1，故l在y轴上的截距为1.题型一导数的计算1已知f(x)sin，则f(x).答案cosx解析因为ysinsinx，所以y(sinx)cosx.2已知y，则y_.答案解析y.3f(x)x(2019lnx)，若f(x0)2020，则x0.答案1解析f(x)2019lnxx2020lnx，由f(x0)2020，得2020lnx02020，x01.4若f(x)x22xf(1)，则f(0).答案4解析f(x)2x2f(1)，f(1)22f(1)，即f(1)2，f(x)2x4，f(0)4.思维升华1.
6、求导之前，应利用代数、三角恒等式等变形对函数进行化简，然后求导，尽量避免不必要的商的求导法则，这样可以减少运算量，提高运算速度减少差错2(1)若函数为根式形式，可先化为分数指数幂，再求导(2)复合函数求导，应由外到内逐层求导，必要时可进行换元题型二导数的几何意义命题点1求切线方程例1(1)(2018湖北百所重点高中联考)已知函数f(x1)，则曲线yf(x)在点(1，f(1)处切线的斜率为()A1B1C2D2答案A解析由f(x1)，知f(x)2.f(x)，f(1)1.由导数的几何意义知，所求切线的斜率k1.(2)已知函数f(x)xlnx，若直线l过点(0，1)，并且与曲线yf(x)相切，则直线l
7、的方程为答案xy10解析点(0，1)不在曲线f(x)xlnx上，设切点为(x0，y0)又f(x)1lnx，直线l的方程为y1(1lnx0)x.由解得x01，y00.直线l的方程为yx1，即xy10.命题点2求参数的值例2(1)直线ykx1与曲线yx3axb相切于点A(1，3)，则2ab.答案1解析由题意知，yx3axb的导数为y3x2a，则由此解得k2，a1，b3，2ab1.(2)已知f(x)lnx，g(x)x2mx(m0)，直线l与函数f(x)，g(x)的图象都相切，与f(x)图象的切点为(1，f(1)，则m.答案2解析f(x)，直线l的斜率kf(1)1.又f(1)0，切线l的方程为yx1.
8、g(x)xm，设直线l与g(x)的图象的切点为(x0，y0)，则有x0m1，y0x01，y0xmx0，m0，所以22，所以a的取值范围是(，2)1已知函数f(x)cosx，则f()f等于()ABCD答案C解析因为f(x)cosx(sinx)，所以f()f(1).2(2018衡水调研)设f(x)xlnx，若f(x0)2，则x0的值为()Ae2BeC.Dln2答案B解析由f(x)xlnx，得f(x)lnx1.根据题意知，lnx012，所以lnx01，即x0e.3曲线ysinxex在点(0,1)处的切线方程是()Ax3y30Bx2y20C2xy10D3xy10答案C解析ycosxex，故切线斜率k2
9、，切线方程为y2x1，即2xy10.4设函数f(x)在定义域内可导，yf(x)的图象如图所示，则导函数f(x)的图象可能是()答案C解析原函数的单调性是当x0时，f(x)的单调性变化依次为增、减、增，故当x0；当x0时，f(x)的符号变化依次为，.故选C.5已知点P在曲线y上，为曲线在点P处的切线的倾斜角，则的取值范围是()A.B.C.D.答案A解析求导可得y，exex2224，当且仅当x0时，等号成立，y1,0)，得tan1,0)，又0，)，0)，对yx23lnx求导得yx，可令切线的斜率为m，解方程可得m2(舍去负值).9若曲线ylnx的一条切线是直线yxb，则实数b的值为答案1ln2解析
10、由ylnx，可得y，设切点坐标为(x0，y0)，由曲线ylnx的一条切线是直线yxb，可得，解得x02，则切点坐标为(2，ln2)，所以ln21b，b1ln2.10(2018云南红河州检测)已知曲线f(x)xlnx在点(e，f(e)处的切线与曲线yx2a相切，则a_.答案1e解析因为f(x)lnx1，所以曲线f(x)xlnx在xe处的切线斜率为k2，则曲线f(x)xlnx在点(e，f(e)处的切线方程为y2xe.由于切线与曲线yx2a相切，故yx2a可联立y2xe，得x22xae0，所以由44(ae)0，解得a1e.11.已知f(x)，g(x)分别是二次函数f(x)和三次函数g(x)的导函数，
11、且它们在同一平面直角坐标系内的图象如图所示(1)若f(1)1，则f(1)；(2)设函数h(x)f(x)g(x)，则h(1)，h(0)，h(1)的大小关系为(用“”连接)答案(1)1(2)h(0)h(1)h(1)解析(1)由题图可得f(x)x，g(x)x2，设f(x)ax2bxc(a0)，g(x)dx3ex2mxn(d0)，则f(x)2axbx，g(x)3dx22exmx2，故a，b0，d，em0，所以f(x)x2c，g(x)x3n，由f(1)1，得c，则f(x)x2，故f(1)1.(2)h(x)f(x)g(x)x2x3cn，则有h(1)cn，h(0)cn，h(1)cn，故h(0)h(1)0，即
12、m即可，故选B.14(2018泰安模拟)若曲线f(x)acosx与曲线g(x)x2bx1在交点(0，m)处有公切线，求ab的值解依题意得，f(x)asinx，g(x)2xb，f(0)g(0)，即asin020b，得b0.又mf(0)g(0)，即ma1，因此ab1.15给出定义：设f(x)是函数yf(x)的导函数，f(x)是函数f(x)的导函数，若方程f(x)0有实数解x0，则称点(x0，f(x0)为函数yf(x)的“拐点”已知函数f(x)5x4sin xcosx的“拐点”是M(x0，f(x0)，则点M()A在直线y5x上B在直线y5x上C在直线y4x上D在直线y4x上答案B解析由题意，知f(x
13、)54cosxsinx，f(x)4sinxcosx，由f(x0)0，知4sinx0cosx00，所以f(x0)5x0，故点M(x0，f(x0)在直线y5x上16已知函数f(x)x.(1)求曲线f(x)过点(0，3)的切线方程；(2)证明：曲线yf(x)上任一点处的切线与直线x0和直线yx所围成的三角形的面积为定值，并求此定值解(1)f(x)1，设切点为(x0，y0)，则曲线yf(x)在点(x0，y0)处的切线方程为yy0(xx0)，切线过(0，3)，3(x0)，解得x02，y0，所求切线方程为y(x2)，即yx3.(2)设P(m，n)为曲线f(x)上任一点，由(1)知过P点的切线方程为yn(xm)，即y(xm)，令x0，得y，从而切线与直线x0的交点为，令yx，得yx2m，从而切线与直线yx的交点为(2m,2m)，点P(m，n)处的切线与直线x0，yx所围成的三角形的面积S|2m|6，为定值13
