江苏专用2020版高考数学大一轮复习第二章函数2.6指数函数教案含解析

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1、2.6指数函数考情考向分析直接考查指数函数的图象与性质;以指数函数为载体,考查函数与方程、不等式等交汇问题以及实际应用问题,题型一般为填空题,中低档难度1指数函数的定义一般地,函数yax(a0,a1)叫做指数函数,函数的定义域是R.2指数函数的图象与性质a10a0时,y1;x0时,0y0时,0y1;x1(3)在(,)上是单调增函数(3)在(,)上是单调减函数概念方法微思考1如图是指数函数(1)yax,(2)ybx,(3)ycx,(4)ydx的图象,则a,b,c,d与1之间的大小关系为_提示cd1ab02结合指数函数yax(a0,a1)的图象和性质说明ax1(a0,a1)的解集跟a的取值有关提示

2、当a1时,ax1的解集为x|x0;当0a1的解集为x|x0题组一思考辨析1判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)函数y32x与y2x1都不是指数函数()(2)若am0,且a1),则m0,a1)的图象关于y轴对称()题组二教材改编2P71习题T11若函数f(x)ax(a0,且a1)的图象经过点P,则f(1)_.答案解析由题意知a2,所以a,所以f(x)x,所以f(1)1.3P70习题T4已知则a,b,c的大小关系是_答案cbb1,又cba.4P70习题T8设,则实数x的取值范围是_答案解析32x43x2,3x22x10,x1.题组三易错自纠5若函数f(x)(a23)ax为指数函数,

3、则a_.答案2解析由指数函数的定义可得解得a2.6若函数y(a21)x在(,)上为减函数,则实数a的取值范围是_答案(,1)(1,)解析由题意知0a211,即1a22,得a1或1a0,a1)在1,2上的最大值比最小值大,则a的值为_答案或解析当0a1时,a2a,a或a0(舍去)综上所述,a或.题型一指数型函数的图象例1(1)函数f(x)1e|x|的图象大致是_答案解析f(x)1e|x|是偶函数,图象关于y轴对称,又e|x|1,f(x)0.符合条件的图象只有.(2)若函数y|4x1|在(,k上单调递减,则k的取值范围为_答案(,0解析函数y|4x1|的图象是由函数y4x的图象向下平移一个单位后,

4、再把位于x轴下方的图象沿x轴翻折到x轴上方得到的,函数图象如图所示由图象知,其在(,0上单调递减,所以k的取值范围是(,0思维升华 (1)已知函数解析式判断其图象一般是取特殊点,判断选项中的图象是否过这些点,若不满足则排除(2)对于有关指数型函数的图象可从指数函数的图象通过平移、伸缩、对称变换而得到特别地,当底数a与1的大小关系不确定时应注意分类讨论跟踪训练1方程2x2x的解的个数是_答案1解析方程的解可看作函数y2x和y2x的图象交点的横坐标,分别作出这两个函数的图象(如图)由图象得只有一个交点,因此该方程只有一个解题型二指数函数的性质命题点1比较指数式的大小例2(1)已知则a,b,c的大小

5、关系是_(用“”连接)答案ba220,可知b15a15c15,所以bac.(2)若1a”连接)答案3aa3解析易知3a0,0,a30,又由1a0,得0a1,所以(a)3,即a3,因此3aa3.命题点2解简单的指数方程或不等式例3(1)已知实数a1,函数f(x)若f(1a)f(a1),则a的值为_答案解析当a1时,代入不成立故a的值为.(2)若偶函数f(x)满足f(x)2x4(x0),则不等式f(x2)0的解集为_答案x|x4或x0解析f(x)为偶函数,当x0,则f(x)f(x)2x4,f(x)当f(x2)0时,有或解得x4或x4或x0思维升华指数函数的单调性和底数大小有关,应用函数的单调性最重

6、要的是“同底”原则跟踪训练2(1)已知f(x)2x2x,则f(a),f(b)的大小关系是_答案f(b)f(b)(2)函数f(x)x2bxc满足f(x1)f(1x),且f(0)3,则f(bx)与f(cx)的大小关系是_答案f(bx)f(cx)解析f(x1)f(1x),f(x)关于x1对称,易知b2,c3,当x0时,b0c01,f(bx)f(cx),当x0时,3x2x1,又f(x)在(1,)上单调递增,f(bx)f(cx),当x0时,3x2x1,又f(x)在(,1)上单调递减,f(bx)0),则yt22t的单调增区间为1,),令2x1,得x0,又y2x在R上单调递增,所以函数f(x)4x2x1的单

7、调增区间是0,)(3)若函数有最大值3,则a_.答案1解析令h(x)ax24x3,yh(x),由于f(x)有最大值3,所以h(x)应有最小值1,因此必有解得a1,即当f(x)有最大值3时,a的值为1.思维升华求解与指数函数有关的复合函数问题,要明确复合函数的构成,涉及值域、单调区间、最值等问题时,都要借助“同增异减”这一性质分析判断跟踪训练3(1)已知maxa,b表示a,b两数中的最大值若f(x)maxe|x|,e|x2|,则f(x)的最小值为_答案e解析f(x)maxe|x|,e|x2|当x1时,f(x)e,且当x1时,取得最小值e;当xe.故f(x)的最小值为f(1)e.(2)若不等式12

8、x4xa0在x(,1时恒成立,则实数a的取值范围是_答案解析从已知不等式中分离出实数a,得a.函数yxx在R上是减函数,当x(,1时,xx,从而得.故实数a的取值范围为.1若指数函数f(x)(a23)x满足f(2)1,即a24,得a2.2已知函数f(x)5x,若f(ab)3,则f(a)f(b)_.答案3解析f(x)5x,f(ab)5ab3,f(a)f(b)5a5b5ab3.3设a0.60.6,b0.61.5,c1.50.6,则a,b,c的大小关系是_(用“”连接)答案bac解析因为函数y0.6x在R上单调递减,所以b0.61.5a0.60.61,所以bax4,即x23x40,1x0,a1)满足

9、f(1),则f(x)的单调递减区间是_答案2,)解析由f(1),得a2,所以a或a(舍去),即f(x)|2x4|.由于y|2x4|在(,2上单调递减,在2,)上单调递增,所以f(x)在(,2上单调递增,在2,)上单调递减7已知函数f(x)的值域是8,1,则实数a的取值范围是_答案3,0)解析当0x4时,f(x)8,1,当ax0时,f(x),所以8,1,即81,即3aa”是“函数f(x)xm的图象不过第三象限”的必要不充分条件,则实数a能取的最大整数为_答案1解析f(0)m,函数f(x)的图象不过第三象限等价于m0,即m,“ma”是“m”的必要不充分条件,a,则实数a能取的最大整数为1.9已知函

10、数f(x)2x,函数g(x)则函数g(x)的最小值是_答案0解析当x0时,g(x)f(x)2x为单调增函数,所以g(x)g(0)0;当xg(0)0,所以函数g(x)的最小值是0.10当x(,1时,不等式(m2m)4x2x0恒成立,则实数m的取值范围是_答案(1,2)解析原不等式变形为m2mx,因为函数yx在(,1上是减函数,所以x12,当x(,1时,m2mx恒成立等价于m2m2,解得1m0,a1)的图象经过点A(1,6),B(3,24)(1)求f(x)的表达式;(2)若不等式xxm0在(,1上恒成立,求实数m的取值范围解(1)因为f(x)的图象过A(1,6),B(3,24),所以所以a24,又

11、a0,所以a2,b3.所以f(x)32x.(2)由(1)知a2,b3,则当x(,1时,xxm0恒成立,即mxx在(,1上恒成立又因为yx与yx在(,1上均为减函数,所以yxx在(,1上也是减函数,所以当x1时,yxx有最小值,所以m,即m的取值范围是.13设函数f(x)则满足f(f(a)2f(a)的a的取值范围是_答案解析令f(a)t,则f(t)2t.当t1时,3t12t,令g(t)3t12t,则g(t)32tln2,当t0,g(t)在(,1)上单调递增,即g(t)0,则方程3t12t无解当t1时,2t2t成立,由f(a)1,得a1,且3a11,解得a0.当m1n时,函数f(x)在区间m,n上

12、的最大值与最小值的差为f(x)maxf(x)min2|2|203,则nm取得最大值(21)(21)4,所以nm的取值范围是(0,415设f(x)|2x11|,af(c),则2a2c_4.(选填“”“”“”)答案解析f(x)在(,1上是减函数,在1,)上是增函数,故结合条件知必有a1.若c1,则2a2,2c2,故2a2c1,则由f(a)f(c),得12a12c11,即2c12a12,即2a2c4.综上知,总有2a2c4.16已知函数f(x)4(1x2)(1)若,求函数f(x)的值域;(2)若方程f(x)0有解,求实数的取值范围解(1)f(x)42x2x4(1x2)设tx,得g(t)t22t4.当时,g(t)t23t42.所以g(t)maxg,g(t)ming.所以f(x)max,f(x)min,故函数f(x)的值域为.(2)方程f(x)0有解可转化为22x(1x2)设(x)22x,当2x,即x1时,(x)min2;当2x4,即x2时,(x)max.函数(x)的值域为.故实数的取值范围是.13

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