1、2.6指数函数考情考向分析直接考查指数函数的图象与性质；以指数函数为载体，考查函数与方程、不等式等交汇问题以及实际应用问题，题型一般为填空题，中低档难度1指数函数的定义一般地，函数yax(a0，a1)叫做指数函数，函数的定义域是R.2指数函数的图象与性质a10a0时，y1；x0时，0y0时，0y1；x1(3)在(，)上是单调增函数(3)在(，)上是单调减函数概念方法微思考1如图是指数函数(1)yax，(2)ybx，(3)ycx，(4)ydx的图象，则a，b，c，d与1之间的大小关系为_提示cd1ab02结合指数函数yax(a0，a1)的图象和性质说明ax1(a0，a1)的解集跟a的取值有关提示
2、当a1时，ax1的解集为x|x0；当0a1的解集为x|x0题组一思考辨析1判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)函数y32x与y2x1都不是指数函数()(2)若am0，且a1)，则m0，a1)的图象关于y轴对称()题组二教材改编2P71习题T11若函数f(x)ax(a0，且a1)的图象经过点P，则f(1)_.答案解析由题意知a2，所以a，所以f(x)x，所以f(1)1.3P70习题T4已知则a，b，c的大小关系是_答案cbb1，又cba.4P70习题T8设，则实数x的取值范围是_答案解析32x43x2，3x22x10，x1.题组三易错自纠5若函数f(x)(a23)ax为指数函数，
3、则a_.答案2解析由指数函数的定义可得解得a2.6若函数y(a21)x在(，)上为减函数，则实数a的取值范围是_答案(，1)(1，)解析由题意知0a211，即1a22，得a1或1a0，a1)在1,2上的最大值比最小值大，则a的值为_答案或解析当0a1时，a2a，a或a0(舍去)综上所述，a或.题型一指数型函数的图象例1(1)函数f(x)1e|x|的图象大致是_答案解析f(x)1e|x|是偶函数，图象关于y轴对称，又e|x|1，f(x)0.符合条件的图象只有.(2)若函数y|4x1|在(，k上单调递减，则k的取值范围为_答案(，0解析函数y|4x1|的图象是由函数y4x的图象向下平移一个单位后，
4、再把位于x轴下方的图象沿x轴翻折到x轴上方得到的，函数图象如图所示由图象知，其在(，0上单调递减，所以k的取值范围是(，0思维升华 (1)已知函数解析式判断其图象一般是取特殊点，判断选项中的图象是否过这些点，若不满足则排除(2)对于有关指数型函数的图象可从指数函数的图象通过平移、伸缩、对称变换而得到特别地，当底数a与1的大小关系不确定时应注意分类讨论跟踪训练1方程2x2x的解的个数是_答案1解析方程的解可看作函数y2x和y2x的图象交点的横坐标，分别作出这两个函数的图象(如图)由图象得只有一个交点，因此该方程只有一个解题型二指数函数的性质命题点1比较指数式的大小例2(1)已知则a，b，c的大小
5、关系是_(用“”连接)答案ba220，可知b15a15c15，所以bac.(2)若1a”连接)答案3aa3解析易知3a0，0，a30，又由1a0，得0a1，所以(a)3，即a3，因此3aa3.命题点2解简单的指数方程或不等式例3(1)已知实数a1，函数f(x)若f(1a)f(a1)，则a的值为_答案解析当a1时，代入不成立故a的值为.(2)若偶函数f(x)满足f(x)2x4(x0)，则不等式f(x2)0的解集为_答案x|x4或x0解析f(x)为偶函数，当x0，则f(x)f(x)2x4，f(x)当f(x2)0时，有或解得x4或x4或x0思维升华指数函数的单调性和底数大小有关，应用函数的单调性最重
6、要的是“同底”原则跟踪训练2(1)已知f(x)2x2x，则f(a)，f(b)的大小关系是_答案f(b)f(b)(2)函数f(x)x2bxc满足f(x1)f(1x)，且f(0)3，则f(bx)与f(cx)的大小关系是_答案f(bx)f(cx)解析f(x1)f(1x)，f(x)关于x1对称，易知b2，c3，当x0时，b0c01，f(bx)f(cx)，当x0时，3x2x1，又f(x)在(1，)上单调递增，f(bx)f(cx)，当x0时，3x2x1，又f(x)在(，1)上单调递减，f(bx)0)，则yt22t的单调增区间为1，)，令2x1，得x0，又y2x在R上单调递增，所以函数f(x)4x2x1的单
7、调增区间是0，)(3)若函数有最大值3，则a_.答案1解析令h(x)ax24x3，yh(x)，由于f(x)有最大值3，所以h(x)应有最小值1，因此必有解得a1，即当f(x)有最大值3时，a的值为1.思维升华求解与指数函数有关的复合函数问题，要明确复合函数的构成，涉及值域、单调区间、最值等问题时，都要借助“同增异减”这一性质分析判断跟踪训练3(1)已知maxa，b表示a，b两数中的最大值若f(x)maxe|x|，e|x2|，则f(x)的最小值为_答案e解析f(x)maxe|x|，e|x2|当x1时，f(x)e，且当x1时，取得最小值e；当xe.故f(x)的最小值为f(1)e.(2)若不等式12
8、x4xa0在x(，1时恒成立，则实数a的取值范围是_答案解析从已知不等式中分离出实数a，得a.函数yxx在R上是减函数，当x(，1时，xx，从而得.故实数a的取值范围为.1若指数函数f(x)(a23)x满足f(2)1，即a24，得a2.2已知函数f(x)5x，若f(ab)3，则f(a)f(b)_.答案3解析f(x)5x，f(ab)5ab3，f(a)f(b)5a5b5ab3.3设a0.60.6，b0.61.5，c1.50.6，则a，b，c的大小关系是_(用“”连接)答案bac解析因为函数y0.6x在R上单调递减，所以b0.61.5a0.60.61，所以bax4，即x23x40，1x0，a1)满足
9、f(1)，则f(x)的单调递减区间是_答案2，)解析由f(1)，得a2，所以a或a(舍去)，即f(x)|2x4|.由于y|2x4|在(，2上单调递减，在2，)上单调递增，所以f(x)在(，2上单调递增，在2，)上单调递减7已知函数f(x)的值域是8,1，则实数a的取值范围是_答案3,0)解析当0x4时，f(x)8,1，当ax0时，f(x)，所以8,1，即81，即3aa”是“函数f(x)xm的图象不过第三象限”的必要不充分条件，则实数a能取的最大整数为_答案1解析f(0)m，函数f(x)的图象不过第三象限等价于m0，即m，“ma”是“m”的必要不充分条件，a，则实数a能取的最大整数为1.9已知函
10、数f(x)2x，函数g(x)则函数g(x)的最小值是_答案0解析当x0时，g(x)f(x)2x为单调增函数，所以g(x)g(0)0；当xg(0)0，所以函数g(x)的最小值是0.10当x(，1时，不等式(m2m)4x2x0恒成立，则实数m的取值范围是_答案(1,2)解析原不等式变形为m2mx，因为函数yx在(，1上是减函数，所以x12，当x(，1时，m2mx恒成立等价于m2m2，解得1m0，a1)的图象经过点A(1,6)，B(3,24)(1)求f(x)的表达式；(2)若不等式xxm0在(，1上恒成立，求实数m的取值范围解(1)因为f(x)的图象过A(1,6)，B(3,24)，所以所以a24，又
11、a0，所以a2，b3.所以f(x)32x.(2)由(1)知a2，b3，则当x(，1时，xxm0恒成立，即mxx在(，1上恒成立又因为yx与yx在(，1上均为减函数，所以yxx在(，1上也是减函数，所以当x1时，yxx有最小值，所以m，即m的取值范围是.13设函数f(x)则满足f(f(a)2f(a)的a的取值范围是_答案解析令f(a)t，则f(t)2t.当t1时，3t12t，令g(t)3t12t，则g(t)32tln2，当t0，g(t)在(，1)上单调递增，即g(t)0，则方程3t12t无解当t1时，2t2t成立，由f(a)1，得a1，且3a11，解得a0.当m1n时，函数f(x)在区间m，n上
12、的最大值与最小值的差为f(x)maxf(x)min2|2|203，则nm取得最大值(21)(21)4，所以nm的取值范围是(0,415设f(x)|2x11|，af(c)，则2a2c_4.(选填“”“”“”)答案解析f(x)在(，1上是减函数，在1，)上是增函数，故结合条件知必有a1.若c1，则2a2,2c2，故2a2c1，则由f(a)f(c)，得12a12c11，即2c12a12，即2a2c4.综上知，总有2a2c4.16已知函数f(x)4(1x2)(1)若，求函数f(x)的值域；(2)若方程f(x)0有解，求实数的取值范围解(1)f(x)42x2x4(1x2)设tx，得g(t)t22t4.当时，g(t)t23t42.所以g(t)maxg，g(t)ming.所以f(x)max，f(x)min，故函数f(x)的值域为.(2)方程f(x)0有解可转化为22x(1x2)设(x)22x，当2x，即x1时，(x)min2；当2x4，即x2时，(x)max.函数(x)的值域为.故实数的取值范围是.13