1、2.8函数与方程最新考纲考情考向分析结合二次函数的图象，了解函数的零点与方程根的联系，判断一元二次方程根的存在性及根的个数.利用函数零点的存在性定理或函数的图象，对函数是否存在零点进行判断或利用零点(方程实根)的存在情况求相关参数的范围，是高考的热点，题型以选择、填空题为主，也可和导数等知识交汇出现解答题，中高档难度.1.函数的零点一般地，如果函数yf(x)在实数处的值等于零，即f()0，则叫做这个函数的零点.2.零点存在性定理如果函数yf(x)在区间a，b上的图象不间断，并且在它的两个端点处的函数值异号，即f(a)f(b)0)的图象与零点的关系000)的图象与x轴的交点(x1，0)，(x2，
2、0)(x1，0)无交点零点个数210概念方法微思考函数f(x)的图象连续不断，是否可得到函数f(x)只有一个零点？提示不能题组一思考辨析1判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)函数的零点就是函数的图象与x轴的交点()(2)函数yf(x)在区间(a，b)内有零点(函数图象连续不断)，则f(a)f(b)0.()(3)二次函数yax2bxc(a0)在b24ac0时没有零点()(4)f(x)x2，g(x)2x，h(x)log2x，当x(4，)时，恒有h(x)f(x)g(x)()题组二教材改编2函数f(x)ln x的零点所在的大致区间是()A(1,2) B(2,3)C.和(3,4) D(4
3、，)答案B解析f(2)ln 210且函数f(x)的图象在(0，)上连续不断，f(x)为增函数，f(x)的零点在区间(2,3)内3函数f(x)ex3x的零点个数是()A0 B1 C2 D3答案B解析由f(x)ex30，得f(x)在R上单调递增，又f(1)30，因此函数f(x)有且只有一个零点题组三易错自纠4函数f(x)ln2x3ln x2的零点是()A(e,0)或(e2，0) B(1,0)或(e2，0)C(e2，0) De或e2答案D解析f(x)ln2x3ln x2(ln x1)(ln x2)，由f(x)0得xe或xe2.5已知函数f(x)x(x0)，g(x)xex，h(x)xln x(x0)的
4、零点分别为x1，x2，x3，则()Ax1x2x3 Bx2x1x3Cx2x3x1 Dx3x10)，yex，yln x(x0)的图象，如图所示，可知选C.6若二次函数f(x)x22xm在区间(0,4)上存在零点，则实数m的取值范围是 答案(8,1解析mx22x在(0,4)上有解，又x22x(x1)21，yx22x在(0,4)上的值域为(8,1，8m1.题型一函数零点所在区间的判定1设f(x)ln xx2，则函数f(x)的零点所在的区间为()A(0,1) B(1,2)C(2,3) D(3,4)答案B解析f(1)ln 11210，f(1)f(2)0，函数f(x)ln xx2在(0，)上的图象是连续的，
5、且为增函数，f(x)的零点所在的区间是(1,2)2若abc，则函数f(x)(xa)(xb)(xb)(xc)(xc)(xa)的两个零点分别位于区间()A(a，b)和(b，c)内 B(，a)和(a，b)内C(b，c)和(c，)内 D(，a)和(c，)内答案A解析ab0，f(b)(bc)(ba)0，由函数零点存在性定理可知，在区间(a，b)，(b，c)内分别存在零点，又函数f(x)是二次函数，最多有两个零点因此函数f(x)的两个零点分别位于区间(a，b)，(b，c)内，故选A.3已知函数f(x)logaxxb(a0且a1)当2a3b4时，函数f(x)的零点x0(n，n1)，nN，则n .答案2解析对
6、于函数ylogax，当x2时，可得y1，在同一坐标系中画出函数ylogax，yxb的图象，判断两个函数图象的交点的横坐标在(2,3)内，函数f(x)的零点x0(n，n1)时，n2.思维升华 判断函数零点所在区间的基本依据是零点存在性定理对于含有参数的函数的零点区间问题，往往要结合图象进行分析，一般是转化为两函数图象的交点，分析其横坐标的情况进行求解题型二函数零点个数的判断例1 (1)函数f(x)的零点个数是 答案2解析当x0时，令x220，解得x(正根舍去)，所以在(，0上，f(x)有一个零点；当x0时，f(x)20恒成立，所以f(x)在(0，)上是增函数又因为f(2)2ln 20，所以f(x
7、)在(0，)上有一个零点，综上，函数f(x)的零点个数为2.(2)(2018呼伦贝尔模拟)函数f(x)|x2|ln x在定义域内的零点的个数为()A0 B1 C2 D3答案C解析由题意可知f(x)的定义域为(0，)，在同一直角坐标系中画出函数y|x2|(x0)，yln x(x0)的图象，如图所示由图可知函数f(x)在定义域内的零点个数为2.(3)函数f(x)cos x在0，)内()A没有零点 B有且仅有一个零点C有且仅有两个零点 D有无穷多个零点答案B解析当x时，因为f(x)sin x，0，sin x0，所以f(x)0，故f(x)在0,1上单调递增，且f(0)10，所以f(x)在0,1内有唯一
8、零点当x1时，f(x)cos x0，故函数f(x)在0，)上有且仅有一个零点，故选B.思维升华 函数零点个数的判断方法(1)直接求零点(2)利用零点存在性定理再结合函数的单调性确定零点个数(3)利用函数图象的交点个数判断跟踪训练1 (1)已知函数f(x)则函数g(x)f(1x)1的零点个数为()A1 B2C3 D4答案C解析g(x)f(1x)1易知当x1时，函数g(x)有1个零点；当x1，函数f(x)的零点个数即为函数y1sin 2x(x1)与y2|ln(x1)|(x1)的图象的交点个数分别作出两个函数的图象，如图，可知有两个交点，则f(x)有两个零点题型三函数零点的应用命题点1根据函数零点个
9、数求参数例2 (1)(2018大连模拟)若函数f(x)x2ax1在区间上有零点，则实数a的取值范围是()A(2，) B2，)C. D.答案D解析由题意知方程axx21在上有实数解，即ax在上有解，设tx，x，则t的取值范围是.所以实数a的取值范围是.(2)已知函数f(x)若关于x的方程f(x)k有三个不同的实根，则实数k的取值范围是 答案(1,0)解析关于x的方程f(x)k有三个不同的实根，等价于函数yf(x)与函数yk的图象有三个不同的交点，作出函数的图象如图所示，由图可知实数k的取值范围是(1,0)命题点2根据函数零点的范围求参数例3 若函数f(x)(m2)x2mx2m1的两个零点分别在区
10、间(1,0)和区间(1,2)内，则m的取值范围是 答案解析依题意，结合函数f(x)的图象分析可知，m需满足即解得m.思维升华 根据函数零点的情况求参数有三种常用方法(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，然后数形结合求解跟踪训练2 (1)方程(a2x)2x有解，则a的最小值为 答案1解析若方程(a2x)2x有解，则2xa2x有解，即x2xa有解，因为x2x1，故a的最小值为1.(2)已知函数f(x)若函数g(x)f(x)m有三
11、个零点，则实数m的取值范围是 答案解析作出函数f(x)的图象如图所示当x0时，f(x)x2x2，若函数f(x)与ym的图象有三个不同的交点，则0且a1)的两个零点是m，n，则()Amn1 Bmn1C0mn1，mn，画出函数y|logax|，yx的图象如图所示，结合图象可知0m1，且logamm，logann，以上两式两边相减可得loga(mn)nm0，所以0mn1，故选C.(2)(2018全国)已知函数f(x)g(x)f(x)xa.若g(x)存在2个零点，则a的取值范围是()A1,0) B0，)C1，) D1，)答案C解析令h(x)xa，则g(x)f(x)h(x)在同一坐标系中画出yf(x)，
12、yh(x)图象的示意图，如图所示若g(x)存在2个零点，则yf(x)的图象与yh(x)的图象有2个交点方法一平移yh(x)的图象可知，当直线yxa过点(0,1)时，有2个交点，此时1a，a1.当yxa在yx1上方，即a1时，有2个交点，符合题意综上，a的取值范围为1，)故选C.方法二由图知a1，a1.(3)若关于x的方程22x2xaa10有实根，则实数a的取值范围为 答案(，22解析由方程，解得a，设t2x(t0)，则a2，其中t11，由均值不等式，得(t1)2，当且仅当t1时取等号，故a22.1已知函数f(x)log2x，在下列区间中，包含f(x)零点的区间是()A(0,1) B(1,2)C
13、(2,4) D(4，)答案C解析因为f(1)6log2160，f(2)3log2220，f(4)log240，所以函数f(x)的零点所在区间为(2,4)2函数f(x)x的零点个数为()A0 B1 C2 D3答案B解析函数f(x)x的零点个数是方程x0的解的个数，即方程x的解的个数，也就是函数y与yx的图象的交点个数，在同一坐标系中作出两个函数的图象如图所示，可得交点个数为1.3函数f(x)2xa的一个零点在区间(1,2)内，则实数a的取值范围是()A(1,3) B(1,2)C(0,3) D(0,2)答案C解析因为f(x)在(0，)上是增函数，则由题意得f(1)f(2)(0a)(3a)0，解得0
14、a0时，xf(x)m，即xm，解得m2，即实数m的取值范围是(，12，)故选D.5已知函数f(x)(aR)，若函数f(x)在R上有两个零点，则a的取值范围是()A(，1) B(，0)C(1,0) D1,0)答案D解析当x0时，f(x)3x1有一个零点x，所以只需要当x0时，exa0有一个根即可，即exa.当x0时，ex(0,1，所以a(0,1，即a1，0)，故选D.6已知函数f(x)若f(0)2，f(1)1，则函数g(x)f(x)x的零点个数为_答案3解析依题意得解得令g(x)0，得f(x)x0，该方程等价于或解得x2，解得x1或x2，因此，函数g(x)f(x)x的零点个数为3.7若函数f(x
15、)x2axb的两个零点是2和3，则不等式af(2x)0的解集是 答案解析f(x)x2axb的两个零点是2,3.2,3是方程x2axb0的两根，由根与系数的关系知f(x)x2x6.不等式af(2x)0，即(4x22x6)02x2x3a)，函数g(x)f(x)b有两个零点，即函数yf(x)的图象与直线yb有两个交点，结合图象(图略)可得ah(a)，即aa2，解得a1，故a(，0)(1，)9定义在R上的奇函数f(x)满足：当x0时，f(x)2 019xlog2 019x，则在R上，函数f(x)零点的个数为 答案3解析因为函数f(x)为R上的奇函数，所以f(0)0，当x0时，f(x)2 019xlog
16、2 019x在区间内存在一个零点，又f(x)为增函数，因此在(0，)内有且仅有一个零点根据对称性可知函数在(，0)内有且仅有一个零点，从而函数f(x)在R上的零点个数为3.10已知函数f(x)x，g(x)logx，记函数h(x)则函数F(x)h(x)x5的所有零点的和为 答案5解析由题意知函数h(x)的图象如图所示，易知函数h(x)的图象关于直线yx对称，函数F(x)所有零点的和就是函数yh(x)与函数y5x图象交点横坐标的和，设图象交点的横坐标分别为x1，x2，因为两函数图象的交点关于直线yx对称，所以5，所以x1x25.11函数f(x)aR，当0x1时，f(x)1x，则f(x)的零点个数为
17、_答案1解析当x0时，必存在x0ea0，使得f(x0)0，因此对任意实数a，f(x)在(，0)内必有一个零点；当x0时，f(x)是周期为1的周期函数，且0x1时，f(x)1x.因此可画出函数的大致图象，如图所示，可知函数f(x)的零点个数为1.12关于x的二次方程x2(m1)x10在区间0,2上有解，求实数m的取值范围解显然x0不是方程x2(m1)x10的解，0x2时，方程可变形为1mx，又yx在(0,1上单调递减，在1,2上单调递增，yx在(0,2上的取值范围是2，)，1m2，m1，故m的取值范围是(，113已知f(x)是奇函数并且是R上的单调函数，若函数yf(2x21)f(x)只有一个零点
18、，则实数的值是()A. B.C D答案C解析依题意，方程f(2x21)f(x)0只有1个解，故f(2x21)f(x)f(x)有1个实数解，2x21x，即2x2x10有两相等实数解，故18(1)0，解得.故选C.14定义在R上的奇函数f(x)，当x0时，f(x)则函数F(x)f(x)的所有零点之和为 答案解析由题意知，当x0时，f(x)是增函数，f(3)0，则函数g(x)f(x)lg|x1|的零点个数为 答案3解析画出函数yf(x)和ylg|x1|的大致图象，如图所示由图象知，函数g(x)f(x)lg|x1|的零点的个数为3.16已知函数f(x)若f(x)m有四个零点a，b，c，d，则abcd的取值范围是_答案(10,12)解析作出函数f(x)的图象，不妨设abcd，则log2alog2b，ab1.又根据二次函数的对称性，可知cd7，cdc(7c)7cc2(2c3)，10cd12，abcd的取值范围是(10,12)
