1、6.3等比数列及其前n项和考情考向分析以考查等比数列的通项、前n项和及性质为主，等比数列的证明也是考查的热点本节内容在高考中既可以以填空题的形式进行考查，也可以以解答题的形式进行考查解答题往往与等差数列、数列求和、不等式等问题综合考查1等比数列的有关概念(1)定义：一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数(不为零)，那么这个数列就叫做等比数列这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q表示，定义的表达式为q(nN*，q为非零常数)(2)等比中项：如果a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项即G是a与b的等比中项a，G，b成等比数列G2ab.2等比数列的有关公式
2、(1)通项公式：ana1qn1.(2)前n项和公式：Sn.3等比数列的常用性质(1)通项公式的推广：anamqnm(n，mN*)(2)若mnpq2k(m，n，p，q，kN*)，则amanapaqa.(3)若数列an，bn(项数相同)是等比数列，则an，a，anbn，(0)仍然是等比数列(4)在等比数列an中，等距离取出若干项也构成一个等比数列，即an，ank，an2k，an3k，为等比数列，公比为qk.概念方法微思考1将一个等比数列的各项取倒数，所得的数列还是一个等比数列吗？若是，这两个等比数列的公比有何关系？提示仍然是一个等比数列，这两个数列的公比互为倒数2任意两个实数都有等比中项吗？提示不
3、是只有同号的两个非零实数才有等比中项3“b2ac”是“a，b，c”成等比数列的什么条件？提示必要不充分条件因为b2ac时不一定有a，b，c成等比数列，比如a0，b0，c1.但a，b，c成等比数列一定有b2ac.题组一思考辨析1判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)满足an1qan(nN*，q为常数)的数列an为等比数列()(2)如果数列an为等比数列，bna2n1a2n，则数列bn也是等比数列()(3)如果数列an为等比数列，则数列lnan是等差数列()(4)数列an的通项公式是anan，则其前n项和为Sn.()(5)数列an为等比数列，则S4，S8S4，S12S8成等比数列()
4、题组二教材改编2P54T3已知an是等比数列，a22，a5，则公比q_.答案解析由题意知q3，q.3P54T9公比不为1的等比数列an满足a5a6a4a718，若a1am9，则m的值为_答案10解析由题意得2a5a618，a5a69，又a1am9，a1ama5a6，m10.题组三易错自纠4若1，a1，a2,4成等差数列，1，b1，b2，b3,4成等比数列，则的值为_答案解析1，a1，a2，4成等差数列，3(a2a1)41，a2a11.又1，b1，b2，b3，4成等比数列，设其公比为q，则b144，且b21q20，b22，.5设Sn为等比数列an的前n项和，8a2a50，则_.答案11解析设等比
5、数列an的公比为q，8a2a50，8a1qa1q40.q380，q2，11.6一种专门占据内存的计算机病毒开机时占据内存1MB，然后每3秒自身复制一次，复制后所占内存是原来的2倍，那么开机_秒，该病毒占据内存8GB.(1GB210MB)答案39解析由题意可知，病毒每复制一次所占内存的大小构成一等比数列an，且a12，q2，an2n，则2n8210213，n13.即病毒共复制了13次所需时间为13339(秒)题型一等比数列基本量的运算1已知等比数列an满足a1，a3a54(a41)，则a2_.答案解析设等比数列an的公比为q，由题意知a3a54(a41)a，则a4a440，解得a42，又a1，所
6、以q38，即q2，所以a2a1q.2(2018全国)等比数列an中，a11，a54a3.(1)求an的通项公式；(2)记Sn为an的前n项和，若Sm63，求m.解(1)设an的公比为q，由题设得anqn1.由已知得q44q2，解得q0(舍去)，q2或q2.故an(2)n1或an2n1(nN*)(2)若an(2)n1，则Sn.由Sm63，得(2)m188，此方程没有正整数解若an2n1，则Sn2n1.由Sm63，得2m64，解得m6.综上，m6.思维升华 (1)等比数列的通项公式与前n项和公式共涉及五个量a1，an，q，n，Sn，已知其中三个就能求另外两个(简称“知三求二”)(2)运用等比数列的
7、前n项和公式时，注意对q1和q1的分类讨论题型二等比数列的判定与证明例1已知数列an满足对任意的正整数n，均有an15an23n，且a18.(1)证明：数列an3n为等比数列，并求数列an的通项公式；(2)记bn，求数列bn的前n项和Tn.解(1)因为an15an23n，所以an13n15an23n3n15(an3n)，又a18，所以a1350，所以数列an3n是首项为5、公比为5的等比数列所以an3n5n，所以an3n5n(nN*)(2)由(1)知，bn1n，则数列bn的前n项和Tn11121nnn(nN*)思维升华判定一个数列为等比数列的常见方法：(1)定义法：若q(q是非零常数)，则数列
8、an是等比数列；(2)等比中项法：若aanan2(nN*，an0)，则数列an是等比数列；(3)通项公式法：若anAqn(A，q为非零常数)，则数列an是等比数列跟踪训练1设数列an的前n项和为Sn，已知a11，Sn14an2.(1)设bnan12an，证明：数列bn是等比数列；(2)求数列an的通项公式(1)证明由a11及Sn14an2，有a1a2S24a12.a25，b1a22a13.又，得an14an4an1(n2)，an12an2(an2an1)(n2)bnan12an，bn2bn1(n2)，故bn是首项b13，公比为2的等比数列(2)解由(1)知bnan12an32n1，故是首项为，
9、公差为的等差数列(n1)，故an(3n1)2n2(nN*)题型三等比数列的综合应用例2(2018扬州模拟)已知各项都是正数的数列an的前n项和为Sn，且2Snaan，数列bn满足b1，2bn1bn.(1)求数列an，bn的通项公式；(2)设数列cn满足cn，求c1c2cn的和解(1)由题意知2Snaan，2Sn1aan1，得2an1aaan1an，即(an1an)(an1an1)0.因为an是正数数列，所以an1an10，即an1an1，所以an是公差为1的等差数列在2Snaan中，令n1，得a11，所以ann.由2bn1bn，得，所以数列是等比数列，其中首项为，公比为，所以n，即bn.(2)
10、由(1)知Sn，所以cn，所以c1c2cn.思维升华等比数列常见性质的应用等比数列性质的应用可以分为三类：(1)通项公式的变形(2)等比中项的变形(3)前n项和公式的变形根据题目条件，认真分析，发现具体的变化特征即可找出解决问题的突破口跟踪训练2(1)已知数列an是等比数列，若a21，a5，则a1a2a2a3anan1(nN*)的最小值为_答案2解析由已知得数列an的公比满足q3，解得q，a12，a3，故数列anan1是以2为首项，公比为的等比数列，a1a2a2a3anan1.(2)已知等比数列an的前n项和为Sn，且，则_.(n2，且nN*)答案解析很明显等比数列的公比q1，则由题意可得，解
11、得q，则.等差数列与等比数列关于等差(比)数列的基本运算在高考试题中频繁出现，其实质就是解方程或方程组，需要认真计算，灵活处理已知条件例(1)已知等差数列an的首项和公差均不为0，且满足a2，a5，a7成等比数列，则的值为_答案解析已知等差数列an的首项和公差均不为0，且满足a2，a5，a7成等比数列，aa2a7，(a14d)2(a1d)(a16d)，10d2a1d，d0，10da1，.(2)已知an为等比数列，数列bn满足b12，b25，且an(bn1bn)an1，则数列bn的前n项和为_答案(nN*)解析b12，b25，且an(bn1bn)an1，a1(b2b1)a2，即a23a1，又数列
12、an为等比数列，数列an的公比q3，bn1bn3，数列bn是首项为2，公差为3的等差数列，数列bn的前n项和为Sn2n3(nN*)(3)(2018苏州调研)若数列an的前n项和Sn满足Sn(1an)(nN*)，则a4的值为_答案81解析Sn(1an)(nN*)，当n1时，a13，当n2时，anSnSn1(anan1)，即3，an是首项为3，公比为3的等比数列an3n.a481.(4)(2018江苏省南京市秦淮中学模拟)已知数列an中，a11，a23，若an22an1an0对任意nN*都成立，则数列an的前n项和Sn_.答案解析a11，a23，an22an1an0对任意nN*都成立，可得an2a
13、n1(an1an)，a2a14.则数列an1an是等比数列，首项为4，公比为1.an1an4(1)n1.anan14(1)n2，当n1时，a11，当n2k1(kN*)时，a2k1a2k4，SnS2k1a1a2a3a2ka2k1a1(4k)32n，当n2k(kN*)时，a2ka2k14，SnS2k4k2n.Sn1已知等比数列an满足a11，a3a716，则该数列的公比为_答案解析根据等比数列的性质可得a3a7aaq8q81624，所以q22，即q.2(2018苏州调研)设各项均为正数的等比数列an的前n项和为Sn，已知a26，a33a112，则S5_.答案242解析由题意得a12，q3.所以S5
14、242.3(2018江苏省南京金陵中学月考)设各项均为正数的等比数列an的前n项和为Sn，若a5a278，S313，则数列an的通项公式为an_.答案3n1(nN*)解析因为数列an为等比数列，a5a278，S313，所以解得或(舍去)，所以an3n1(nN*)4等比数列an的前n项和为Sn32n1r，则r的值为_答案解析当n1时，a1S13r，当n2时，anSnSn132n132n332n3(321)832n3832n2319n1，即等比数列an的首项为，公比为9，所以3r，即r.5已知等比数列an的公比为2，且Sn为其前n项和，则_.答案5解析由题意可得，1(2)25.6古代数学著作九章算
15、术有如下问题：“今有女子善织，日自倍，五日织五尺，问日织几何？”意思是：“一女子善于织布，每天织的布都是前一天的2倍，已知她5天共织布5尺，问这女子每天分别织布多少？”根据问题的已知条件，若要使织布的总尺数不少于30，该女子所需的天数至少为_答案8解析由题意知其每天织布尺数构成公比为2的等比数列，可设该女子第一天织布x尺，则5，解得x，所以前n天织布的尺数为(2n1)，由(2n1)30，得2n187，又因为n为正整数，所以n的最小值为8.7若正项等比数列an满足anan122n(nN*)，则a6a5的值是_答案16解析设正项等比数列an的公比为q0，anan122n(nN*)，4q2，解得q2
16、，a222n，an0，解得an，则a6a516.8已知等比数列an的前n项和为Sn，且a12018，a2a42a3，则S2019_.答案2018解析a2a42a3，a2a42a30，a22a2qa2q20，q22q10，解得q1.a12018，S20192018.9已知各项均为正数的等比数列an满足a1，且a2a82a53，则a9_.答案18解析a2a82a53，a2a53，解得a53(舍负)，即a1q43，则q46，a9a1q83618.10设等比数列an的前n项和为Sn，若a3a112a，且S4S12S8，则_.答案解析a3a112a，a2a，q42，S4S12S8，1q41q12(1q8
17、)，将q42代入计算可得.11(2018全国)已知数列an满足a11，nan12(n1)an.设bn.(1)求b1，b2，b3；(2)判断数列bn是否为等比数列，并说明理由；(3)求an的通项公式解(1)由条件可得an1an，将n1代入得a24a1，而a11，所以a24.将n2代入得a33a2，所以a312.从而b11，b22，b34.(2)bn是首项为1，公比为2的等比数列由条件可得，即bn12bn，又b11，所以bn是首项为1，公比为2的等比数列(3)由(2)可得2n1，所以ann2n1(nN*)12已知数列an满足a11，a22，an2，nN*.(1)令bnan1an，证明：bn是等比数
18、列；(2)求数列an的通项公式(1)证明b1a2a11.当n2时，bnan1anan(anan1)bn1，bn是以1为首项，为公比的等比数列(2)解由(1)知bnan1ann1，当n2时，ana1(a2a1)(a3a2)(anan1)11n211n1.当n1时，111a1，ann1(nN*)13等比数列an的首项为，公比为，前n项和为Sn，则当nN*时，Sn的最大值与最小值的比值为_答案解析等比数列an的首项为，公比为，ann1，Sn1n.当n为奇数时，Sn1n随着n的增大而减小，则1SnS1，故0Sn；当n为偶数时，Sn1n随着n的增大而增大，则S2Sn1，故Sn1024的最小n的值为_答案
19、9解析由数列an的前n项和为Sn2n12，则当n2时，anSnSn12n122n22n，a1S12，满足上式，所以bnlog2(a)log2alog22n2n，所以数列bn的前n和为Tnn(n1)2n12，易知当nN*时，Tn随着n的增大而增大又当n9时，T9910210211121024，当n8时，T8892925821024的最小n的值为9.15已知等比数列an的各项均为正数且公比大于1，前n项积为Tn，且a2a4a3，则使得Tn1的n的最小值为_答案6解析an是各项均为正数的等比数列，且a2a4a3，aa3，a31.又q1，a1a21(n3)，TnTn1(n4，nN*)，T11，T2a1
20、a21，T3a1a2a3a1a2T21，T4a1a2a3a4a11，故n的最小值为6.16在数列的每相邻两项之间插入此两项的积，形成新的数列，这样的操作叫做该数列的一次“扩展”将数列1,2进行“扩展”，第一次得到数列1,2,2；第二次得到数列1,2,2,4,2；.设第n次“扩展”后得到的数列为1，x1，x2，xt,2，并记anlog2(1x1x2xt2)，其中t2n1，nN*，求数列an的通项公式解anlog2(1x1x2xt2)，所以an1log21(1x1)x1(x1x2)xt(xt2)2log2(12xxxx22)3an1，所以an13，又a1log24，所以数列是一个以为首项，以3为公比的等比数列，所以an3n1，所以an(nN*)14
