1、第4讲 基本不等式 基础达标1当x0时，函数f(x)有()A最小值1B最大值1C最小值2D最大值2解析：选B.f(x)1.当且仅当x，x0即x1时取等号所以f(x)有最大值1.2设非零实数a，b，则“a2b22ab”是“2”成立的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件解析：选B.因为a，bR时，都有a2b22ab(ab)20，即a2b22ab，而2ab0，所以“a2b22ab”是“2”的必要不充分条件3(2019嘉兴期中)若正实数x，y满足x2y2xy80，则x2y的最小值为()A3B4CD解析：选B.因为正实数x，y满足x2y2xy80，所以x2y80，设x2y
2、t0，所以tt280，所以t24t320，即(t8)(t4)0，所以t4，故x2y的最小值为4.4若log4(3a4b)log2，则ab的最小值是()A62B72C64D74解析：选D.由题意得所以又log4(3a4b)log2，所以log4(3a4b)log4(ab)，即3a4bab，故1.所以ab(ab)77274.当且仅当时取等号故选D.5不等式x2x对任意a，b(0，)恒成立，则实数x的取值范围是()A(2，0)B(，2)(1，)C(2，1)D(，4)(2，)解析：选C.根据题意，由于不等式x2x对任意a，b(0，)恒成立，则x2x，因为2 2，当且仅当ab时等号成立，所以x2x2，求
3、解此一元二次不等式可知2x0，所以a10，所以22，当且仅当和1同时成立，即ab3时等号成立，所以的最小值为2，故选A.7已知a，b(0，)，若ab1，则ab的最小值为_；若ab1，则ab的最大值为_解析：由基本不等式得ab22，当且仅当ab1时取到等号；ab，当且仅当ab时取到等号答案：28(2019嘉兴期中)已知0x，则x(54x)的最大值是_解析：因为0x，所以054x5，所以x(54x)4x(54x)，当且仅当x时取等号，故最大值为.答案：9(2019温州市瑞安市高考模拟)若x0，y0，则的最小值为_解析：设t0，则t(2t1)2，当且仅当t时取等号答案：10(2019宁波十校联考)已
4、知a，b均为正数，且ab1，c1，则(1)c的最小值为_解析：因为ab1，所以112，当且仅当即a1、b2时取等号，所以(1)cc(c11)3.答案：311已知x0，y0，且2x8yxy0，求(1)xy的最小值；(2)xy的最小值解：(1)由2x8yxy0，得1，又x0，y0，则12 .得xy64，当且仅当x16，y4时，等号成立所以xy的最小值为64.(2)由2x8yxy0，得1，则xy(xy)10102 18.当且仅当x12且y6时等号成立，所以xy的最小值为18.12. 行驶中的汽车，在刹车时由于惯性作用，要继续往前滑行一段距离才能停下，这段距离叫做刹车距离在某种路面上，某种型号汽车的刹
5、车距离s(m)与汽车的车速v(km/h)满足下列关系：s(n为常数，且nN)，做了两次刹车试验，有关试验数据如图所示，其中(1)求n的值；(2)要使刹车距离不超过12.6 m，则行驶的最大速度是多少？解：(1)由试验数据知，s1n4，s2n，所以解之得.又nN，所以n6.(2)由(1)知，s，v0.依题意，s12.6，即v224v5 0400，解得84v60.因为v0，所以0v60.故行驶的最大速度为60 km/h.能力提升1如图所示，已知点G是ABC的重心，过点G作直线与AB，AC两边分别交于M，N两点，且x，y，则x2y的最小值为()A2BCD解析：选C.由已知可得()，又M、G、N三点共
6、线，故1，所以3，则x2y(x2y)(当且仅当xy时取等号)故选C.2已知x0，y0，2xy1，若4x2y2m0恒成立，则m的取值范围是()A(1，0)BCD解析：选B.4x2y2m4x2y2恒成立因为x0，y0，2xy1，所以12xy2，所以0，选B.3(2019杭州学军中学考试)已知ab，若二次不等式ax2bxc0对任意实数x恒成立，则M的最小值为_解析：由条件知a0，ba0.由题意得b24ac0，解得c，所以M424448，当且仅当b3a时等号成立，所以M的最小值为8.答案：84(2019浙江省名校联考)已知a0，b1，且ab1，则的最小值为_解析：aab12，又ab1，a0，b10，所
7、以ab122 ，当且仅当即a42，b23时取等号，所以的最小值为.答案：5已知x0，y0，且2x5y20.求：(1)ulg xlg y的最大值；(2)的最小值解：(1)因为x0，y0，所以由基本不等式，得2x5y2.因为2x5y20，所以220，xy10，当且仅当2x5y时，等号成立因此有解得此时xy有最大值10.所以ulg xlg ylg(xy)lg 101.所以当x5，y2时，ulg xlg y有最大值1.(2)因为x0，y0，所以.当且仅当时，等号成立由解得所以的最小值为.6. (2019义乌模拟)如图，某生态园将一三角形地块ABC的一角APQ开辟为水果园种植桃树，已知角A为120，AB
8、，AC的长度均大于200米，现在边界AP，AQ处建围墙，在PQ处围竹篱笆 (1)若围墙AP，AQ总长度为200米，如何围可使得三角形地块APQ的面积最大？(2)已知AP段围墙高1米，AQ段围墙高1.5米，造价均为每平方米100元若围围墙用了20 000元，问如何围可使竹篱笆用料最省？解：设APx米，AQy米(1)则xy200，APQ的面积Sxysin 120xy.所以S2 500.当且仅当即xy100时取“”(2)由题意得100(x1.5y)20 000，即x1.5y200.要使竹篱笆用料最省，只需其长度PQ最短，所以PQ2x2y22xycos 120x2y2xy(2001.5y)2y2(2001.5y)y1.75y2400y40 0001.75，当y时，PQ有最小值，此时x.8
