1、第9讲 函数模型及其应用 基础达标1在某种新型材料的研制中，实验人员获得了下列一组实验数据，现准备用下列四个函数中的一个近似地表示这些数据的规律，其中最接近的一个是()x1.992345.156.126y1.5174.041 87.51218.01A.y2x2By(x21)Cylog2xDylogx解析：选B.由题中表可知函数在(0，)上是增函数，且y的变化随x的增大而增大得越来越快，分析选项可知B符合，故选B.2某工厂6年来生产某种产品的情况是：前3年年产量的增长速度越来越快，后3年年产量保持不变，则该厂6年来这种产品的总产量C与时间t(年)的函数关系图象正确的是()解析：选A.前3年年产量
2、的增长速度越来越快，说明呈高速增长，只有A、C图象符合要求，而后3年年产量保持不变，故选A.3一种放射性元素的质量按每年10%衰减，这种放射性元素的半衰期(剩余质量为最初质量的一半所需的时间叫作半衰期)是(精确到0.1，已知lg 20.301 0，lg 30.477 1)()A5.2B6.6C7.1D8.3解析：选B.设这种放射性元素的半衰期是x年，则(110%)x，化简得0.9x，即xlog0.96.6(年)故选B.4某单位为鼓励职工节约用水，作出了以下规定：每位职工每月用水不超过10 m3的，按每立方米m元收费；用水超过10 m3的，超过部分加倍收费某职工某月缴水费16m元，则该职工这个月
3、实际用水为()A13 m3B14 m3C18 m3D26 m3解析：选A.设该职工用水x m3时，缴纳的水费为y元，由题意得y则10m(x10)2m16m，解得x13.5. 已知甲、乙两种商品在过去一段时间内的价格走势如图所示假设某商人持有资金120万元，他可以在t1至t4的任意时刻买卖这两种商品，且买卖能够立即成交(其他费用忽略不计)如果他在t4时刻卖出所有商品，那么他将获得的最大利润是()A40万元B60万元C120万元D140万元解析：选C.甲6元时该商人全部买入甲商品，可以买120620(万份)，在t2时刻全部卖出，此时获利20240万元，乙4元时该商人买入乙商品，可以买(12040)
4、440(万份)，在t4时刻全部卖出，此时获利40280万元，共获利4080120万元，故选C.6. 某地区要建造一条防洪堤，其横断面为等腰梯形，腰与底边夹角为60(如图)，考虑防洪堤坚固性及石块用料等因素，设计其横断面要求面积为9平方米，且高度不低于米记防洪堤横断面的腰长为x米，外周长(梯形的上底线段BC与两腰长的和)为y米要使防洪堤横断面的外周长不超过10.5米，则其腰长x的范围为()A2，4B3，4C2，5D3，5解析：选B.根据题意知，9(ADBC)h，其中ADBC2BCx，hx，所以9(2BCx)x，得BC，由得2x6.所以yBC2x(2x1，BC2x，又ABy，ACy1，在ABC中，
5、由余弦定理得，(y1)2y24x22y2xcos 60，所以y(x1)(2)M30(2y1)40x3040x，其中x1，设tx1，则t0，所以M3040(t1)160t2502250490，当且仅当t时等号成立，此时x.所以当x时，修建中转站和道路的总造价M最低能力提升1某食品的保鲜时间y(单位：小时)与储藏温度x(单位：)满足函数关系yekxb(e2.718为自然对数的底数，k，b为常数)若该食品在0 的保鲜时间是192小时，在22 的保鲜时间是48小时，则该食品在33 的保鲜时间是()A16小时B20小时C24小时D28小时解析：选C.由已知得192eb，48e22kbe22keb，将代入
6、得e22k，则e11k，当x33时，ye33kbe33keb19224，所以该食品在33 的保鲜时间是24小时故选C.2某类产品按工艺共分10个档次，最低档次产品每件利润为8元每提高一个档次，每件利润增加2元用同样工时，可以生产最低档次产品60件，每提高一个档次将少生产3件产品，则每天获得利润最大时生产产品的档次是()A7B8C9D10解析：选C.由题意，当生产第k档次的产品时，每天可获利润为y82(k1)603(k1)6k2108k378(1k10，kN*)，配方可得y6(k9)2864，所以当k9时，获得利润最大选C.3拟定甲、乙两地通话m分钟的电话费(单位：元)由f(m)1.06(0.5
7、m1)给出，其中m0，m是不超过m的最大整数(如33，3.73，3.13)，则甲、乙两地通话6.5分钟的电话费为_元解析：因为m6.5，所以m6，则f(m)1.06(0.561)4.24.答案：4.244某汽车销售公司在A、B两地销售同一种品牌的汽车，在A地的销售利润(单位：万元)为y14.1x0.1x2，在B地的销售利润(单位：万元)为y22x，其中x为销售量(单位：辆)，若该公司在两地共销售16辆该种品牌的汽车，则能获得的最大利润是_万元解析：设公司在A地销售该品牌的汽车x辆，则在B地销售该品牌的汽车(16x)辆，所以可得利润y4.1x0.1x22(16x)0.1x22.1x320.10.
8、132.因为x0，16且xN，所以当x10或11时，总利润取得最大值43万元答案：435某医药研究所开发的一种新药，如果成年人按规定的剂量服用，据监测，服药后每毫升血液中的含药量y(微克)与时间t(小时)之间近似满足如图所示的曲线(1)写出第一次服药后y与t之间的函数关系式；(2)据进一步测定，每毫升血液中含药量不少于0.25微克时治疗疾病有效，求服药一次后治疗疾病有效的时间解：(1)由题图，设y当t1时，由y4得k4，由4得a3.所以y(2)由y0.25得或解得t5.因此服药一次后治疗疾病有效的时间是5(小时)6食品安全问题越来越引起人们的重视，农药、化肥的滥用对人民群众的健康带来一定的危害
9、，为了给消费者带来放心的蔬菜，某农村合作社每年投入200万元，搭建了甲、乙两个无公害蔬菜大棚，每个大棚至少要投入20万元，其中甲大棚种西红柿，乙大棚种黄瓜，根据以往的种菜经验，发现种西红柿的年收入P、种黄瓜的年收入Q与投入a(单位：万元)满足P804，Qa120，设甲大棚的投入为x(单元：万元)，每年两个大棚的总收益为f(x)(单位：万元)(1)求f(50)的值；(2)试问如何安排甲、乙两个大棚的投入，才能使总收益f(x)最大？解：(1)由题意知甲大棚投入50万元，则乙大棚投入150万元，所以f(50)804150120277.5(万元)(2)f(x)804(200x)120x4250，依题意得20x180，故f(x)x4250(20x180)令t，则t2，6，yt24t250(t8)2282，当t8，即x128时，f(x)取得最大值，f(x)max282.所以甲大棚投入128万元，乙大棚投入72万元时，总收益最大，且最大总收益为282万元7
