1、第8讲 函数与方程基础达标1(2019浙江省名校联考)已知函数yf(x)的图象是连续不断的曲线，且有如下的对应值表：x123456y124.4337424.536.7123.6则函数yf(x)在区间1，6上的零点至少有()A2个B3个C4个D5个解析：选B.依题意，f(2)0，f(3)0，f(5)0，根据零点存在性定理可知，f(x)在区间(2，3)，(3，4)，(4，5)上均至少含有一个零点，故函数yf(x)在区间1，6上的零点至少有3个2(2019温州十校联考(一)设函数f(x)ln xx2，则函数f(x)的零点所在的区间为()A(0，1)B(1，2)C(2，3)D(3，4)解析：选B.法一
2、：因为f(1)ln 11210，所以f(1)f(2)0，因为函数f(x)ln xx2的图象是连续的，所以函数f(x)的零点所在的区间是(1，2)法二：函数f(x)的零点所在的区间为函数g(x)ln x，h(x)x2图象交点的横坐标所在的区间，作出两函数的图象如图所示，由图可知，函数f(x)的零点所在的区间为(1，2)3已知函数f(x)cos x，则f(x)在0，2上的零点个数为()A1B2C3D4解析：选C.作出g(x)与h(x)cos x的图象如图所示，可以看到其在0，2上的交点个数为3，所以函数f(x)在0，2上的零点个数为3，故选C.4已知函数f(x)tan x，若实数x0是函数yf(x
3、)的零点，且0tx0，则f(t)的值()A大于1B大于0C小于0D不大于0解析：选B.y1是减函数，y2tan x在上也是减函数，可知f(x)tan x在上单调递减因为0tf(x0)0.故选B.5(2019兰州模拟)已知奇函数f(x)是R上的单调函数，若函数yf(2x21)f(x)只有一个零点，则实数的值是()ABCD解析：选C.因为函数yf(2x21)f(x)只有一个零点，所以方程f(2x21)f(x)0只有一个实数根，又函数f(x)是定义在R上的奇函数，所以f(x)f(x)，所以f(2x21)f(x)0f(2x21)f(x)f(2x21)f(x)2x21x，所以方程2x2x10只有一个实数
4、根，所以(1)242(1)0，解得 .故选C.6(2019宁波市余姚中学期中检测)已知函数f(x)kx2(kR)有四个不同的零点，则实数k的取值范围是()Ak0Bk1C0k1解析：选D.分别画出y与ykx2的图象如图所示，当k0，x0时，令f(x)kx20，即kx32kx2x0，即x(kx22kx1)0，即x0或kx22kx10，因为4k24k0，且0时，方程有唯一解即当x0时，方程有两个解当k0，x0，解得k1，综上所述k1.7(2019金丽衢十二校高三联考)设函数f(x)，则f(f(e)_，函数yf(x)1的零点为_解析：因为f(x)，所以f(e)ln e1，f(f(e)f(1)tan 0
5、0，若01，f(x)1ln x1xe.答案：0e8已知函数f(x)a的零点为1，则实数a的值为_解析：由已知得f(1)0，即a0，解得a.答案：9已知函数f(x)则函数g(x)f(x)的零点所构成的集合为_解析：令g(x)0，得f(x)，所以或解得x1或x或x，故函数g(x)f(x)的零点所构成的集合为.答案：10(2019杭州学军中学模拟)已知函数f(x)|x34x|ax2恰有2个零点，则实数a的取值范围为_解析：函数f(x)|x34x|ax2恰有2个零点即函数y|x34x|与y2ax的图象有2个不同的交点作出函数y|x34x|的图象如图，当直线y2ax与曲线yx34x，x0，2相切时，设切
6、点坐标为(x0，x4x0)，则切线方程为y(x4x0)(3x4)(xx0)，且经过点(0，2)，代入解得x01，此时a1，由函数图象的对称性可得实数a的取值范围为a1.答案：a111设函数f(x)ax2bxb1(a0)(1)当a1，b2时，求函数f(x)的零点；(2)若对任意bR，函数f(x)恒有两个不同零点，求实数a的取值范围解：(1)当a1，b2时，f(x)x22x3，令f(x)0，得x3或x1.所以函数f(x)的零点为3和1.(2)依题意，f(x)ax2bxb10有两个不同实根，所以b24a(b1)0恒成立，即对于任意bR，b24ab4a0恒成立，所以有(4a)24(4a)0a2a0，解
7、得0a1，因此实数a的取值范围是(0，1)12已知函数f(x)x22x，g(x)(1)求g(f(1)的值；(2)若方程g(f(x)a0有4个实数根，求实数a的取值范围解：(1)利用解析式直接求解得g(f(1)g(3)312.(2)令f(x)t，则原方程化为g(t)a，易知方程f(x)t在t(，1)内有2个不同的解，则原方程有4个解等价于函数yg(t)(t1)与ya的图象有2个不同的交点，作出函数yg(t)(t1)的图象(图略)，由图象可知，当1a时，函数yg(t)(t0时，有3个零点；当k0时，有4个零点；当k0)，则“f0，函数f(x)开口向上，f(x)有两个零点，最小值必然小于0，当取得最
8、小值时，x，即f0，令f(x)，则f(f(x)f，因为f0，所以f(f(x)0，所以f(f(x)必有两个零点同理f0f0，开口向上，f0，必有两个零点所以C选项正确3(2019瑞安市龙翔高中高三月考)若关于x的不等式x2|xa|xa|，则00)(1)若yg(x)m有零点，求m的取值范围；(2)确定m的取值范围，使得g(x)f(x)0有两个相异实根解：(1)法一：因为g(x)x22e，等号成立的条件是xe，故g(x)的值域是2e，)，因而只需m2e，则yg(x)m就有零点所以m的取值范围是2e，)法二：作出g(x)x(x0)的大致图象如图：可知若使yg(x)m有零点，则只需m2e，即m的取值范围
9、是2e，)(2)若g(x)f(x)0有两个相异的实根，即g(x)与f(x)的图象有两个不同的交点，作出g(x)x(x0)的大致图象因为f(x)x22exm1(xe)2m1e2.所以其图象的对称轴为xe，开口向下，最大值为m1e2.故当m1e22e，即me22e1时，g(x)与f(x)有两个交点，即g(x)f(x)0有两个相异实根所以m的取值范围是(e22e1，)6(2019绍兴一中高三期中)已知函数f(x)x|xa|bx.(1)当a2，且f(x)是R上的增函数，求实数b的取值范围；(2)当b2，且对任意a(2，4)，关于x的方程f(x)tf(a)有三个不相等的实数根，求实数t的取值范围解：(1)f(x)x|x2|bx，因为f(x)连续，所以f(x)在R上递增等价于这两段函数分别递增，所以，解得，b2.(2)f(x)x|xa|2x，tf(a)2ta，当2a4时，a，f(x)在上单调递增，在上单调递减，在(a，)上单调递增，所以f(x)极大值fa1，f(x)极小值f(a)2a，所以对2a4恒成立，解得0t1，当2a2时，a，f(x)在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，所以f(x)极大值fa1，f(x)极小值fa1，所以a12taa1对2a2恒成立，解得0t1，综上所述，0t1.9
