1、第3讲 空间点、直线、平面之间的位置关系 基础题组练1已知异面直线a，b分别在平面，内，且c，那么直线c一定()A与a，b都相交B只能与a，b中的一条相交C至少与a，b中的一条相交D与a，b都平行解析：选C.若c与a，b都不相交，则c与a，b都平行，根据公理4，知ab，与a，b异面矛盾2已知空间四边形的两条对角线相互垂直，顺次连接四边中点的四边形一定是()A空间四边形B矩形C菱形D正方形解析：选B.如图所示，易证四边形EFGH为平行四边形因为E，F分别为AB，BC的中点，所以EFAC.又FGBD，所以EFG或其补角为AC与BD所成的角而AC与BD所成的角为90，所以EFG90，故四边形EFGH
2、为矩形3已知直线a，b分别在两个不同的平面，内，则“直线a和直线b相交”是“平面和平面相交”的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件解析：选A.若直线a，b相交，设交点为P，则Pa，Pb.又a，b，所以P，P，故，相交反之，若，相交，则a，b可能相交，也可能异面或平行故“直线a和直线b相交”是“平面和平面相交”的充分不必要条件4(2019广州市高中综合测试(一)在四面体ABCD中，E，F分别为AD，BC的中点，ABCD，ABCD，则异面直线EF与AB所成角的大小为()A.B.C.D.解析：选B.取BD的中点O，连接OE，OF，因为E，F分别为AD，BC的中点，AB
3、CD，所以EOAB，OFCD，且EOOFCD，又ABCD，所以EOOF，OEF为异面直线EF与AB所成的角，由EOF为等腰直角三角形，可得OEF，故选B.5已知棱长为a的正方体ABCDABCD中，M，N分别为CD，AD的中点，则MN与AC的位置关系是_解析：如图，由题意可知MNAC.又因为ACAC，所以MNAC.答案：平行6给出下列四个命题：平面外的一条直线与这个平面最多有一个公共点；若平面内的一条直线a与平面内的一条直线b相交，则与相交；若一条直线和两条平行线都相交，则这三条直线共面；若三条直线两两相交，则这三条直线共面其中真命题的序号是_解析：正确，因为直线在平面外即直线与平面相交或直线平
4、行于平面，所以最多有一个公共点正确，a，b有交点，则两平面有公共点，则两平面相交正确，两平行直线可确定一个平面，又直线与两平行直线的两交点在这两平行直线上，所以过这两交点的直线也在平面内，即三线共面错误，这三条直线可以交于同一点，但不在同一平面内答案：7.如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，O为正方形ABCD的中心，H为直线B1D与平面ACD1的交点求证：D1、H、O三点共线证明：如图，连接BD，B1D1，则BDACO，因为BB1綊DD1，所以四边形BB1D1D为平行四边形，又HB1D，B1D平面BB1D1D，则H平面BB1D1D，因为平面ACD1平面BB1D1DOD1，所以HOD1.即
5、D1、H、O三点共线8在正方体ABCDA1B1C1D1中，(1)求AC与A1D所成角的大小；(2)若E，F分别为AB，AD的中点，求A1C1与EF所成角的大小解：(1)如图，连接B1C，AB1，由ABCDA1B1C1D1是正方体，易知A1DB1C，从而B1C与AC所成的角就是AC与A1D所成的角因为AB1ACB1C，所以B1CA60.即A1D与AC所成的角为60.(2)连接BD，在正方体ABCDA1B1C1D1中，ACBD，ACA1C1.因为E，F分别为AB，AD的中点，所以EFBD，所以EFAC.所以EFA1C1.即A1C1与EF所成的角为90.综合题组练1如图所示，平面平面l，A，B，AB
6、lD，C，Cl，则平面ABC与平面的交线是()A直线ACB直线ABC直线CDD直线BC解析：选C.由题意知，Dl，l，所以D，又因为DAB，所以D平面ABC，所以点D在平面ABC与平面的交线上又因为C平面ABC，C，所以点C在平面与平面ABC的交线上，所以平面ABC平面CD.2在正三棱柱ABCA1B1C1中，|AB|BB1|，则AB1与BC1所成角的大小为()A.B.C.D.解析：选D.将正三棱柱ABCA1B1C1补为四棱柱ABCDA1B1C1D1，连接C1D，BD，则C1DB1A，BC1D为所求角或其补角设|BB1|，则|BC|CD|2，BCD120，|BD|2，又因为|BC1|C1D|，所
7、以BC1D.3.(2019长沙模拟)如图，在三棱柱ABCABC中，点E，F，H，K分别为AC，CB，AB，BC的中点，G为ABC的重心从K，H，G，B四点中取一点作为P，使得该棱柱恰有2条棱与平面PEF平行，则P为_解析：取AC的中点M，连接EM，MK，KF，EF，则EM綊CC綊KF，得四边形EFKM为平行四边形，若取点K为P，则AABBCCPF，故与平面PEF平行的棱超过2条；因为HBMK，MKEF，所以HBEF，若取点H或B为P，则平面PEF与平面EFBA为同一平面，与平面EFBA平行的棱只有AB，不符合题意；连接BC，则EFABAB，若取点G为P，则AB，AB与平面PEF平行答案：G4如
8、图，已知圆柱的轴截面ABB1A1是正方形，C是圆柱下底面弧AB的中点，C1是圆柱上底面弧A1B1的中点，那么异面直线AC1与BC所成角的正切值为_解析：取圆柱下底面弧AB的另一中点D，连接C1D，AD，因为C是圆柱下底面弧AB的中点，所以ADBC，所以直线AC1与AD所成角等于异面直线AC1与BC所成角，因为C1是圆柱上底面弧A1B1的中点，所以C1D圆柱下底面，所以C1DAD，因为圆柱的轴截面ABB1A1是正方形，所以C1DAD，所以直线AC1与AD所成角的正切值为，所以异面直线AC1与BC所成角的正切值为.答案：5.如图所示，A是BCD所在平面外的一点，E，F分别是BC，AD的中点(1)求
9、证：直线EF与BD是异面直线；(2)若ACBD，ACBD，求EF与BD所成的角解：(1)证明：假设EF与BD不是异面直线，则EF与BD共面，从而DF与BE共面，即AD与BC共面，所以A，B，C，D在同一平面内，这与A是BCD所在平面外的一点相矛盾故直线EF与BD是异面直线(2)取CD的中点G，连接EG，FG，则ACFG，EGBD，所以相交直线EF与EG所成的角，即为异面直线EF与BD所成的角又因为ACBD，则FGEG.在RtEGF中，由EGFGAC，求得FEG45，即异面直线EF与BD所成的角为45.6.(综合型)如图，E，F，G，H分别是空间四边形ABCD各边上的点，且AEEBAHHDm，C
10、FFBCGGDn.(1)证明：E，F，G，H四点共面；(2)m，n满足什么条件时，四边形EFGH是平行四边形？(3)在(2)的条件下，若ACBD，试证明：EGFH.解：(1)证明：因为AEEBAHHD，所以EHBD.又CFFBCGGD，所以FGBD.所以EHFG.所以E，F，G，H四点共面(2)当EHFG，且EHFG时，四边形EFGH为平行四边形因为，所以EHBD.同理可得FGBD，由EHFG，得mn.故当mn时，四边形EFGH为平行四边形(3)证明：当mn时，AEEBCFFB，所以EFAC，又EHBD，所以FEH是AC与BD所成的角(或其补角)，因为ACBD，所以FEH90，从而平行四边形EFGH为矩形，所以EGFH.- 5 -
