1、4.7 解三角形的实际应用,第四章 三角函数、解三角形,ZUIXINKAOGANG,最新考纲,能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题.,NEIRONGSUOYIN,内容索引,基础知识 自主学习,题型分类 深度剖析,课时作业,1,基础知识 自主学习,PART ONE,测量中的有关几个术语,知识梳理,ZHISHISHULI,在实际测量问题中有哪几种常见类型，解决这些问题的基本思想是什么？,提示 实际测量中有高度、距离、角度等问题，基本思想是根据已知条件，构造三角形(建模)，利用正弦定理、余弦定理解决问题.,【概念方法微思考】,题组一 思考辨析,1.判断下列结论
2、是否正确(请在括号中打“”或“”) (1)从A处望B处的仰角为，从B处望A处的俯角为，则，的关系为180.( ) (2)俯角是铅垂线与视线所成的角，其范围为 ( ) (3)方位角与方向角其实质是一样的，均是确定观察点与目标点之间的位置关系.( ) (4)方位角大小的范围是0,2)，方向角大小的范围一般是 ( ),基础自测,JICHUZICE,1,2,3,4,5,6,题组二 教材改编,2.如图所示，设A，B两点在河的两岸，一测量者在A所在的同侧河岸边选定一点C，测出A，C的距离为50 m，ACB45，CAB105后，就可以计算出A，B两点的距离为_ m.,1,2,3,4,5,6,又B30，,3.
3、如图，在山脚A测得山顶P的仰角为30，沿倾斜角为15的斜坡向 上走a米到B，在B处测得山顶P的仰角为60，则山高h_米.,解析 由题图可得PAQ30， BAQ15，在PAB中，PAB15， 又PBC60，,1,2,3,4,5,6,题组三 易错自纠,4.要测量底部不能到达的电视塔AB的高度，在C点测得塔顶A的仰角是45，在D点测得塔顶A的仰角30，并测得水平面上的BCD120，CD40 m，则电视塔的高度为,在BCD中，由余弦定理得3x2x2402240xcos 120， 即x220x8000，解得x20(舍去)或x40. 故电视塔的高度为40 m.,1,2,3,4,5,6,5.在某次测量中，在
4、A处测得同一半平面方向的B点的仰角是60，C点的俯角是70，则BAC_.,130,解析 6070130.,1,2,3,4,5,6,6.海上有A，B，C三个小岛，A，B相距 海里，从A岛望C和B成45视角，从B岛望C和A成75视角，则B，C两岛间的距离是_海里.,1,2,3,4,5,6,2,题型分类 深度剖析,PART TWO,题型一 测量距离问题,1.(2018长春检测)江岸边有一炮台高30 m，江中有两条船，船与炮台底部在同一水平面上，由炮台顶部测得俯角分别为45和60，而且两条船与炮台底部连线成30角，则两条船相距_m.,解析 如图，OMAOtan 4530(m)，,自主演练,解析 ADC
5、ADBCDB60，ACD60， DAC60，,在BCD中，DBC45，,解析 由已知，得QABPABPAQ30. 又PBAPBQ60， AQB30，ABBQ. 又PB为公共边，PABPQB， PQPA. 在RtPAB中，APABtan 60900，故PQ900， P，Q两点间的距离为900 m.,3.如图，为了测量两座山峰上P，Q两点之间的距离，选择山坡上一段长度为300 m且和P，Q两点在同一平面内的路段AB的两个端点作为观测点，现测得PAB90，PAQPBAPBQ60，则P，Q两点间的距离为_ m.,900,求距离问题的两个策略 (1)选定或确定要创建的三角形，首先确定所求量所在的三角形，
6、若其他量已知则直接求解；若有未知量，则把未知量放在另一确定三角形中求解. (2)确定用正弦定理还是余弦定理，如果都可用，就选择更便于计算的定理.,例1 (2018福州测试)如图，小明同学在山顶A处观测到一辆汽车在一条水平的公路上沿直线匀速行驶，小明在A处测得公路上B，C两点的俯角分别为30，45，且BAC135，若山高AD100 m，汽车从B点到C点历时14 s，则这辆汽车的速度约为_ m/s.(精确到0.1，参考数据：,题型二 测量高度问题,师生共研,22.6,解析 因为小明在A处测得公路上B，C两点的俯角分别为30，45， 所以BAD60，CAD45，设这辆汽车的速度为v m/s，,在AB
7、C中，由余弦定理，得BC2AC2AB22ACABcosBAC，,(1)高度也是两点之间的距离，其解法同测量水平面上两点间距离的方法是类似的，基本思想是把要求的高度(某线段的长度)纳入到一个可解的三角形中. (2)在实际问题中，可能会遇到空间与平面(地面)同时研究的问题，这时最好画两个图形，一个空间图形，一个平面图形，这样处理起来既清楚又不容易搞错.,跟踪训练1 如图所示，在山顶铁塔上B处测得地面上一点A的俯角为，在塔底C处测得A处的俯角为.已知铁塔BC部分 的高为h，则山高CD_.,解析 由已知得BCA90，ABC90，BAC，CAD.,题型三 角度问题,例2 如图所示，一艘巡逻船由南向北行驶
8、，在A处测得山顶P在北偏东15(BAC15)的方向，匀速向北航行20分钟后到达B处，测得山顶P位于北偏东60的方向，此时测得山顶P的仰角为60，已知山高为 千米. (1)船的航行速度是每小时多少千米？,师生共研,(2)若该船继续航行10分钟到达D处，问此时山顶位于D处南偏东多少度的方向？,所以，山顶位于D处南偏东45的方向.,解决测量角度问题的注意事项 (1)首先应明确方位角和方向角的含义. (2)分析题意，分清已知与所求，再根据题意画出正确的示意图，这是最关键、最重要的一步. (3)将实际问题转化为可用数学方法解决的问题后，注意正弦、余弦定理的“联袂”使用.,跟踪训练2 如图所示，已知两座灯
9、塔A和B与海洋观察站C的距离相等，灯塔A在观察站C的北偏东40的方向上，灯塔B在观察站C的南偏东60的方向上，则灯塔A在灯塔B的_的方向上.,北偏西10,解析 由已知得ACB180406080， 又ACBC，AABC50，605010， 灯塔A位于灯塔B的北偏西10的方向上.,3,课时作业,PART THREE,1.(2018武汉调研)已知A，B两地间的距离为10 km，B，C两地间的距离为20 km，现测得ABC120，则A，C两地间的距离为,解析 如图所示，由余弦定理可得AC210040021020cos 120700，,基础保分练,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,1
10、3,14,15,16,2.如图所示，在坡度一定的山坡A处测得山顶上一建筑物CD的顶端C对于山坡的斜度为15，向山顶前进100 m到达B处，又测得C对于山坡的斜度为45，若CD50 m，山坡对于地平面的坡度为，则cos 等于,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,3.一艘海轮从A处出发，以每小时40海里的速度沿南偏东40的方向直线航行，30分钟后到达B处，在C处有一座灯塔，海轮在A处观察灯塔，其方向是南偏东70，在B处观察灯塔，其方向是北偏东65，那么B，C两点间的距离是,解析 如图所示，易知， 在ABC中，AB20， CAB30，ACB45， 根据正弦定
11、理得,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,4.如图，两座相距60 m的建筑物AB，CD的高度分别为20 m，50 m，BD为水平面，则从建筑物AB的顶端A看建筑物CD的张角为 A.30 B.45 C.60 D.75,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,又CD50，所以在ACD中，,又0CAD180，所以CAD45， 所以从顶端A看建筑物CD的张角为45.,5.(2018郑州质检)如图所示，测量河对岸的塔高AB时可以选与塔底B在同一水平面内的两个测点C与D，测得BCD15，BDC30，CD30，并在点C测得塔顶A
12、的仰角为60，则塔高AB等于,解析 在BCD中，CBD1801530135.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,故选D.,6.(2018广州模拟)如图，从气球A上测得正前方的河流的两岸B，C的俯角分别为75，30，此时气球的高是60 m，则河流的宽度BC等于,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,解析 如图，ACD30，ABD75，AD60 m， 在RtACD中，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,7.(2018哈尔滨模拟)如图，某工程中要将一长为100 m，倾斜角为
13、75的斜坡改造成倾斜角为30的斜坡，并保持坡高不变，则坡底需加长_m.,解析 设坡底需加长x m，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,8.如图所示，位于A处的信息中心获悉：在其正东方向相距40海里的B处有一艘渔船遇险，在原地等待营救.信息中心立即把消息告知在其南偏西30、相距20海里的C处的乙船，现乙船朝北偏东的方向沿直线CB前往B处救援，则cos 的值 为_.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,解析 在ABC中，AB40，AC20，BAC120， 由余弦定理得 BC2AB2AC22ABACcos 1202
14、 800，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,由BAC120，知ACB为锐角，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,由ACB30，得cos cos(ACB30),9.(2018青岛模拟)一船向正北航行，看见正西方向相距10海里的两个灯塔恰好与它在一条直线上，继续航行半小时后，看见一灯塔在船的南偏西60，另一灯塔在船的南偏西75，则这艘船的速度是每小时_海里.,10,解析 如图所示，依题意有BAC60，BAD75， 所以CADCDA15，从而CDCA10， 在RtABC中，得AB5，,1,2,3,4,5,6,7
15、,8,9,10,11,12,13,14,15,16,10.(2018泉州质检)如图，某住宅小区的平面图呈圆心角为120的扇形AOB，C是该小区的一个出入口，且小区里有一条平行于AO的小路CD.已知某人从O沿OD走到D用了2分钟，从D沿DC走到C用了3分钟.若此人步行的速度为每分钟50米，则该扇形的半径为_米.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,解析 如图，连接OC，在OCD中，OD100，CD150，CDO60. 由余弦定理得OC2100215022100150cos 6017 500，解得OC,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,
16、13,14,15,16,11.如图，在山底A点处测得山顶仰角CAB45，沿倾斜角为30的斜坡走 1 000米至S点，又测得山顶仰角DSB75，则山高BC为_米,解析 由题图知BAS453015， ABS45(90DSB)30， ASB135，,1 000,12.如图，渔船甲位于岛屿A的南偏西60方向的B处，且与岛屿A相距12海里，渔船乙以10海里/时的速度从岛屿A出发沿正北方向航行，若渔船甲同时从B处出发沿北偏东的方向追赶渔船乙，刚好用2小时追上. (1)求渔船甲的速度；,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,解 依题意知，BAC120，AB12，AC1
17、0220，BCA. 在ABC中，由余弦定理，得BC2AB2AC22ABACcosBAC 12220221220cos 120784， 解得BC28.,(2)求sin 的值.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,解 在ABC中，因为AB12，BAC120，BC28，BCA，,13.如图，在水平地面上有两座直立的相距60 m的铁塔AA1和BB1.已知从塔AA1的底部看塔BB1顶部的仰角是从塔BB1的底部看塔AA1顶部的仰角的2倍，从两塔底部连线中点C分别看两塔顶部的仰角互为余角，则从塔BB1的底部看塔AA1 顶部的仰角的正切值为_；塔BB1的高为_ m.,
18、45,技能提升练,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,解析 设从塔BB1的底部看塔AA1顶部的仰角为， 则AA160tan ，BB160tan 2. 从两塔底部连线中点C分别看两塔顶部的仰角互为余角，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,AA1BB1900，3 600tan tan 2900，,14.如图，据气象部门预报，在距离某码头南偏东45方向600 km处的热带风暴中心正以20 km/h的速度向正北方向移动，距风暴中心450 km以内的地区都将受到影响，求该码头将受到热带风暴影响的时间.,1,2,3,4,
19、5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,解 记现在热带风暴中心的位置为点A，t小时后热带风暴中心到达B点位置，在OAB中，OA600，AB20t，OAB45，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,拓展冲刺练,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,15.某舰艇在A处测得一艘遇险渔船在其北偏东40的方向距离A处10海里的C处，此时得知，该渔船正沿南偏东80的方向以每小时9海里的速度向一小岛靠近，若舰艇的时速为21海里，求舰艇追上渔船的最短时间.,解 如图所示，设舰艇追上渔船的最短时间是t小时，经
20、过t小时渔船到达B处，则舰艇也在此时到达B处. 在ABC中，ACB4080120，CA10，CB9t，AB21t，,由余弦定理得(21t)2102(9t)22109tcos 120，即36t29t100，,16.如图，游客从某旅游景区的景点A处下山至C处有两种路径.一种是从A沿直线步行到C，另一种是先从A沿索道乘缆车到B，然后从B沿直线步行到C，现有甲、乙两位游客从A处下山，甲沿AC匀速步行，速度为50 m/min.在甲出发2 min后，乙从A乘缆车到B，在B处停留1 min后，再匀速步行到C.假设缆车匀速直线运动的速度为130 m/min，山路AC长为1 260 m，经测量得,1,2,3,4
21、,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,(1)问乙出发多少 min后，乙在缆车上与甲的距离最短？,得AB1 040 m， 设乙出发t min后，甲、乙距离为d，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,(2)为使两位游客在C处互相等待的时间不超过3 min，乙步行的速度应控制在什么范围内？,BC500 m. 乙从B出发时，甲已经走了50(281)550(m)，还需走710 m才能到达C.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,
