1、阶段强化练(六),第八章 立体几何与空间向量,一、选择题 1.(2019四川诊断)已知直线l和平面，若l，P，则过点P且平行于l的直线 A.只有一条，不在平面内 B.只有一条，且在平面内 C.有无数条，一定在平面内 D.有无数条，不一定在平面内,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,解析 假设过点P且平行于l的直线有两条m与n，则ml且nl， 由平行公理得mn，这与两条直线m与n相交与点P相矛盾， 故过点P且平行于l的直线只有一条， 又因为点P在平面内， 所以过点P且平行于l的直线只有一条且在平面内.故选B.,1,2,3,4,5,6,7,8,
2、9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,2.(2019化州模拟)设m，n为两条不同的直线，为平面，则下列结论正确的是 A.mn，mn B.mn，mn C.mn，mn D.mn，mn,解析 对于A，若mn，m时，可能n或斜交，故错误； 对于B，mn，mn或n，故错误； 对于C，mn，mn，正确； 对于D，mn，mn或n，故错误. 故选C.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,3.已知l平面，直线m平面.有下面四个命题： lm；lm； lm；lm. 其中正确的命题是 A. B. C. D.,解析 l，l，m，lm，故正确； l
3、m，l，m，又m，故正确.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,4.如图所示，在四面体DABC中，若ABBC，ADCD，E是AC的中点，则下列命题中正确的是 A.平面ABC平面ABD B.平面ABD平面BDC C.平面ABC平面BDE，且平面ADC平面BDE D.平面ABC平面ADC，且平面ADC平面BDE,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,解析 因为ABBC，且E是AC的中点， 所以BEAC.同理，DEAC. 又BEDEE，所以AC平面BDE. 因为AC平面ABC，所以平面ABC平面
4、BDE. 因为AC平面ACD，所以平面ACD平面BDE.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,5.(2019唐山模拟)在长方体ABCDA1B1C1D1中，ABBC2AA1，则异面直线A1B与B1C所成角的余弦值为,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,解析 在长方体ABCDA1B1C1D1中， 连接A1D，可得A1DB1C， 所以异面直线A1B与B1C所成的角， 即为直线A1B与直线A1D所成的角， 即DA1B为异面直线A1B与B1C所成的角， 在长方体ABCDA1B1C1D1中，,1,2
5、,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,故选B.,6.(2019长春质检)在正方体ABCDA1B1C1D1中，直线A1C1与平面ABC1D1所成角的正弦值为,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,解析 如图所示，连接A1D，AD1交于点O，连接OC1， 在正方体中，AB平面AD1， ABA1D， 又A1DAD1，且AD1ABA， A1D平面AD1C1B， A1C1O即为A1C1与平面ABC1D1所成的角，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,故选
6、D.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,解析 把对角面A1C绕A1B旋转至ABB1A1， 使其与AA1B在同一平面上，连接AD1，,AA1D1AA1B90150， 则APD1P的最小值为,故选D.,A.120 B.45 C.30 D.60,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,解析 取AC的中点D，连接ED，FD， 因为E，F分别是三棱锥PABC的棱AP，BC的中点， 所以EDPC，FDAB， 则直
7、线DE与直线DF所成的角即异面直线AB与PC所成的角，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,即EDF120，所以异面直线AB与PC所成的角为60.,9.(2019淄博期中)鲁班锁是中国传统的智力玩具，起源于中国古代建筑中首创的榫卯结构，它的外观是如图所示的十字立方体，其上下、左右、前后完全对称，六根完全一样的正四棱柱体分成三组，经90榫卯起来.若正四棱柱的高为5，底面正方形的边长为1，现将该鲁班锁放进一个球形容器内，则该球形容器的表面积至少为(容器壁的厚度忽略不计) A.28 B.30 C.60 D.120,1,2,3,4,5,6,7,8,
8、9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,故选B.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,则该三棱锥为满足题意的三棱锥，将BCD看作底面， 则当平面ABC平面BCD时，,故选A.,11.(2019成都诊断)如图，在矩形ABCD中，EFAD，GHBC，BC2，AFFGBG1，现分别沿EF，GH将矩形折叠使得AD与BC重合，则折叠后的几何体的外接球的表面
9、积为,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,解析 由题意可知，在矩形ABCD中，EFAD，GHBC，BC2，AFFGBG1，沿EF，GH将矩形折叠使得AD与BC重合后，所得几何体是底面为等边三角形的三棱柱.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,三棱柱的高为BC2，所以外接球的球心与底面的圆心距离为1，,12.(2019衡水中学模拟)如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，点E，F分别为棱BB1，CC1的中点，点O为上底面的中心，过E，F，O三点的平面把正方体分为两部分，其中含A1的部分为
10、V1，不含A1的部分为V2，连接A1和V2的任一点M，设A1M与平面A1B1C1D1所成角为，则sin 的最大值为,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,解析 连接EF，因为EF平面ABCD， 所以过EFO的平面与平面ABCD的交线一定是过点O且与EF平行的直线， 过点O作GHBC交CD于点G，交AB于H点，则GHEF，连接EH，FG，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,则平行四边形EFGH即为截面，则五棱柱A1B1EHAD1C1FGD为V1，三棱柱EBHFCG为V2， 设M点为V2的任
11、一点，过M点作底面A1B1C1D1的垂线，垂足为N，连接A1N， 则MA1N即为A1M与平面A1B1C1D1所成的角， 所以MA1N.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,二、填空题 13.已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上， 则该圆柱的体积为_.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,解析 连
12、接A1B，沿BC1将CBC1展开与A1BC1在同一个平面内， 在BC1上取一点与A1，C构成三角形， 三角形两边和大于第三边， A1PPC的最小值是A1C的连线. 作展开图如图，,17,18,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,15.(2019河北衡水中学调研)已知直三棱柱ABCA1B1C1中，ABC120， AB2，BCCC11，则异面直线AB1与BC1所成角的余弦值为_.,17,18,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16
13、,解析 如图所示，,17,18,设M，N，P分别为AB，BB1和B1C1的中点， 则AB1，BC1的夹角为MN和NP的夹角或其补角，,作BC的中点Q，则PQM为直角三角形，,ABC中，由余弦定理得 AC2AB2BC22ABBCcosABC,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,16.已知四面体ABCD，AB4，ACAD6，BACBAD60，CAD90，则该四面体外接球的半径为_.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,解析 如图，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,
14、14,15,16,17,18,设ADC的外心是O1，作BH平面ADC，易知H在AO1上，再作BMAC，垂足为M，连接MH，,设三棱锥的外接球的球心为O，半径为R，OO1d，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,三、解答题 17.(2019葫芦岛协作校联考)如图，直三棱柱ABCA1B1C1的所有棱长都是2，AA1平面ABC，D，E分别是AC，CC1的中点.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,(1)求证：AE平面A1BD；,证明 ABBCCA，D是AC的中点， BDAC， AA1平面ABC
15、，平面AA1C1C平面ABC， 又平面AA1C1C平面ABCAC，BD平面ABC， BD平面AA1C1C，BDAE. 又在正方形AA1C1C中，D，E分别是AC，CC1的中点， A1DAE. 又A1DBDD，A1D，BD平面A1BD， AE平面A1BD.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,(2)求三棱锥B1A1BD的体积.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,解 连接AB1交A1B于O， O为AB1的中点， 点B1到平面A1BD的距离等于点A到平面A1BD的距离. ,1,2,3,4,5
16、,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,18.(2019长沙长郡中学调研)如图，E是以AB为直径的半圆上异于A，B的点，矩形ABCD所在的平面垂直于该半圆所在的平面，且AB2AD2.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,(1)求证：EAEC；,证明 平面ABCD平面ABE， 平面ABCD平面ABEAB， BCAB，BC平面ABCD， BC平面ABE. 又AE平面ABE，BCAE. E在以AB为直径的半圆上，AEBE， 又BEBCB，BC，BE平面BCE， AE平面BCE. 又CE平面BCE，EAEC.,1,2
17、,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,(2)设平面ECD与半圆弧的另一个交点为F. 证明：EFAB；,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,证明 ABCD，AB平面CED， CD平面CED，AB平面CED. 又AB平面ABE，平面ABE平面CEDEF， ABEF.,若EF1，求三棱锥EADF的体积.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,解 取AB的中点O，EF的中点O，,由(1)得BC平面ABE， 又已知ADBC，AD平面ABE.,
