1、2.9 函数模型及其应用,第二章 函数概念与基本初等函数,ZUIXINKAOGANG,最新考纲,1.利用计算工具，比较指数函数、对数函数以及幂函数增长差异；结合实例体会直线上升、指数爆炸、对数增长等不同函数类型增长的含义. 2.收集一些社会生活中普遍使用的函数模型(指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等)的实例，了解函数模型的广泛应用,NEIRONGSUOYIN,内容索引,基础知识 自主学习,题型分类 深度剖析,课时作业,1,基础知识 自主学习,PART ONE,1.几类函数模型,知识梳理,ZHISHISHULI,2.三种函数模型的性质,递增,递增,y轴,x轴,请用框图概括解函数应用题的一般步
2、骤.,提示 解函数应用题的步骤,【概念方法微思考】,题组一 思考辨析,1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”) (1)某种商品进价为每件100元，按进价增加10%出售，后因库存积压降价，若按九折出售，则每件还能获利.( ) (2)函数y2x的函数值比yx2的函数值大.( ) (3)不存在x0，使 0，b1)增长速度越来越快的形象比喻.( ),基础自测,JICHUZICE,1,2,3,4,5,6,7,题组二 教材改编,2.某工厂一年中各月份的收入、支出情况的统计图如图所示，则下列说法中错误的是 A.收入最高值与收入最低值的比是31 B.结余最高的月份是7月 C.1至2月份的收入的变化率
3、与4至5月份的 收入的变化率相同 D.前6个月的平均收入为40万元,1,2,3,4,5,6,7,解析 由题图可知，收入最高值为90万元，收入最低值为30万元，其比是31，故A正确； 由题图可知，7月份的结余最高，为802060(万元)，故B正确； 由题图可知，1至2月份的收入的变化率与4至5月份的收入的变化率相同，故C正确；,1,2,3,4,5,6,7,3.生产一定数量的商品的全部费用称为生产成本，某企业一个月生产某种商品x万件时的生产成本为C(x) x22x20(万元).一万件售价为20万元，为获取更大利润，该企业一个月应生产该商品数量为 万件.,18,当x18时，L(x)有最大值.,1,2
4、,3,4,5,6,7,4.用长度为24的材料围一矩形场地，中间加两道隔墙，要使矩形的面积最大，则隔墙的长度为 .,解析 设隔墙的长度为x(0x6)，矩形面积为y，,1,2,3,4,5,6,3,当x3时，y最大.,7,5.一枚炮弹被发射后，其升空高度h与时间t的函数关系为h130t5t2，则该函数的定义域是 .,0,26,解析 令h0，解得0t26， 故所求定义域为0,26.,1,2,3,4,5,6,7,1,2,3,4,5,6,题组三 易错自纠,6.某市生产总值连续两年持续增加.第一年的增长率为p，第二年的增长率为q，则该市这两年生产总值的年平均增长率为 .,解析 设年平均增长率为x，则(1x)
5、2(1p)(1q)，,7,7.已知某种动物繁殖量y(只)与时间x(年)的关系为yalog3(x1)，设这种动物第2年有100只，到第8年它们发展到 只.,200,解析 由题意知100alog3(21)， a100，y100log3(x1). 当x8时，y100log39200.,1,2,3,4,5,6,7,2,题型分类 深度剖析,PART TWO,1.高为H，满缸水量为V的鱼缸的轴截面如图所示，其底部破了一个小洞，满缸水从洞中流出，若鱼缸水深为h时水的体积为v，则函数vf(h)的大致图象是,题型一 用函数图象刻画变化过程,解析 vf(h)是增函数，且曲线的斜率应该是先变大后变小，故选B.,自主
6、演练,2.(2018广西柳州联考)设甲、乙两地的距离为a(a0)，小王骑自行车匀速从甲地到乙地用了20分钟，在乙地休息10分钟后，他又匀速从乙地返回到甲地用了30分钟，则小王从出发到返回原地所经过的路程y和其所用的时间x的函数图象为,解析 y为“小王从出发到返回原地所经过的路程”而不是位移，故排除A，C. 又因为小王在乙地休息10分钟，故排除B，故选D.,3.汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1升汽油行驶的里程.下图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下的燃油效率情况.下列叙述中正确的是 A.消耗1升汽油，乙车最多可行驶5千米 B.以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗 汽油量最多 C.甲车以
7、80千米/时的速度行驶1小时，消耗10升汽油 D.某城市机动车最高限速80千米/时，相同条件下，在 该市用丙车比用乙车更省油,解析 根据图象所给数据，逐个验证选项. 根据图象知，当行驶速度大于40千米/时时，消耗1升汽油，乙车最多行驶里程大于5千米，故选项A错； 以相同速度行驶时，甲车燃油效率最高，因此以相同速度行驶相同路程时，甲车消耗汽油最少，故选项B错； 甲车以80千米/时的速度行驶时燃油效率为10千米/升，行驶1小时，里程为80千米，消耗8升汽油，故选项C错； 最高限速80千米/时，丙车的燃油效率比乙车高，因此相同条件下，在该市用丙车比用乙车更省油，故选项D对.,判断函数图象与实际问题变
8、化过程相吻合的两种方法 (1)构建函数模型法：当根据题意易构建函数模型时，先建立函数模型，再结合模型选图象. (2)验证法：根据实际问题中两变量的变化快慢等特点，结合图象的变化趋势，验证是否吻合，从中排除不符合实际的情况，选择出符合实际情况的答案.,题型二 已知函数模型的实际问题,例1 (1)加工爆米花时，爆开且不糊的粒数占加工总粒数的百分比称为“可食用率”.在特定条件下，可食用率p与加工时间t(单位：分钟)满足函数关系pat2btc(a，b，c是常数)，如图记录了三次实验的数据.根据上述函数模型和实验数据，可以得到最佳加工时间为 分钟.,师生共研,3.75,解析 根据图表，把(t，p)的三组
9、数据(3,0.7)，(4,0.8)，(5,0.5)分别代入函数关系式，,(2)某公司招聘员工，面试对象人数按拟录用人数分段计算，计算公式为y 其中x代表拟录用人数，y代表面试对象人数.若面试 对象人数为60，则该公司的拟录用人数为 A.15 B.40 C.25 D.70,解析 当1x10时，y40；当x100时，y150. 因此所求人数x(10,100，由2x1060，得x25，故选C.,求解所给函数模型解决实际问题的关注点 (1)认清所给函数模型，弄清哪些量为待定系数. (2)根据已知利用待定系数法，确定模型中的待定系数. (3)利用该模型求解实际问题.,跟踪训练1 (1)拟定甲、乙两地通话
10、m分钟的电话费(单位：元)由f(m)1.06(0.5m1)给出，其中m0，m是不超过m的最大整数(如33，3.73，3.13)，则甲、乙两地通话6.5分钟的电话费为 元.,4.24,解析 m6.5，m6， 则f(6.5)1.06(0.561)4.24.,(2)某工厂生产某种产品固定成本为2 000万元，并且每生产一单位产品，成本增加10万元.又知总收入K是单位产品数Q的函数，K(Q)40Q Q2，则总利润L(Q)的最大值是 万元.,2 500,则当Q300时，L(Q)的最大值为2 500万元.,题型三 构建函数模型的实际问题,命题点1 构造一次函数、二次函数模型,例2 (1)某航空公司规定，乘
11、飞机所携带行李的质量x(kg)与其运费y(元)之间的关系由如图所示的一次函数图象确定，那么乘客可免费携带行李的质量最大为 kg.,多维探究,19,解析 由图象可求得一次函数的解析式为y30x570，令30x5700， 解得x19.,(2)在某种新型材料的研制中，实验人员获得了下列一组实验数据，现准备用下列四个函数中的一个近似地表示这些数据的规律，其中最接近的一个是,解析 由题中表可知函数在(0，)上是增函数， 且y的变化随x的增大而增大的越来越快，分析选项可知B符合，故选B.,命题点2 构造指数函数、对数函数模型,例3 一片森林原来面积为a，计划每年砍伐一些树，且每年砍伐面积的百分比相等，当砍
12、伐到面积的一半时，所用时间是10年，为保护生态环境，森林面积至少要保留原面积的 已知到今年为止，森林剩余面积为原来的 (1)求每年砍伐面积的百分比；,解 设每年降低的百分比为x(0x1)，,(2)到今年为止，该森林已砍伐了多少年？,故到今年为止，该森林已砍伐了5年.,若本例的条件不变，试计算：今后最多还能砍伐多少年？,解 设从今年开始，以后砍了n年，,故今后最多还能砍伐15年.,例4 (1)某汽车运输公司购买了一批豪华大客车投入营运，据市场分析，每辆客车营运的总利润y(万元)与营运年数x的关系如图所示(抛物线的一段)，则为使其营运年平均利润最大，每辆客车营运年数为 .,5,解析 根据图象求得y
13、(x6)211，,要使平均利润最大，客车营运年数为5.,(2)某地区要建造一条防洪堤，其横断面为等腰梯形，腰与底边夹角为60(如图)，考虑防洪堤坚固性及石块用料等因素，设计其横断面要求面积为9 平方米，且高度不低于 米.记防洪堤横断面的腰长为x米，外周长(梯形的上底线段BC与两腰长的和)为y米.要使防洪堤的上面与两侧面的水泥用料最省(即横断面的外周长最小)，则防洪堤的腰长x 米.,命题点4 构造分段函数模型 例5 已知某公司生产某款手机的年固定成本为40万美元，每生产1万只还需另投入16万美元.设该公司一年内共生产该款手机x万只并全部销售完，每万只的 销售收入为R(x)万美元，且R(x) (1
14、)写出年利润W(万美元)关于年产量x(万只)的函数解析式；,解 当040时，,(2)当年产量为多少万只时，该公司在该款手机的生产中所获得的年利润最大？并求出最大年利润.,解 当0x40时，W6(x32)26 104， 所以WmaxW(32)6 104；,所以W取最大值5 760. 综合，当年产量为32万只时，W取最大值6 104万美元.,构建数学模型解决实际问题，要正确理解题意，分清条件和结论，理顺数量关系，将文字语言转化成数学语言，建立适当的函数模型，求解过程中不要忽略实际问题对变量的限制.,跟踪训练2 (1)某化工厂生产一种溶液，按市场要求杂质含量不超过0.1%，若初时含杂质2%，每过滤一
15、次可使杂质含量减少 至少应过滤 次才能达到市场要求.(参考数据：lg 20.301 0，lg 30.477 1),8,解析 设至少过滤n次才能达到市场要求，,(2)大学毕业生小赵想开一家服装专卖店，经过预算，该门面需要装修费为20 000元，每天需要房租、水电等费用100元，受经营信誉度、销售季节等因素的影响，专卖店销售总收益R(元)与门面经营天数x的关系是R(x) 则当总利润最大时，该门面经营的天数是 .,300,所以当x300时，ymax25 000； 当x400时，y60 000100x20 000. 综上，当门面经营的天数为300时，总利润最大为25 000元.,数学抽象是指舍去事物的
16、一切物理属性，得到数学研究对象的思维过程，主要包括从数量，图形关系中抽象出数学概念，并且用数学符号和术语予以表征.,核心素养之数学抽象,HEXINSUYANGZHISHUXUECHOUXIANG,用数学模型求解实际问题,例 (1)调查表明，酒后驾驶是导致交通事故的主要原因，交通法规规定，驾驶员在驾驶机动车时血液中酒精含量不得超过0.2 mg/mL.某人喝酒后，其血液中酒精含量将上升到3 mg/mL，在停止喝酒后，血液中酒精含量以每小时50%的速度减少，则至少经过 小时他才可以驾驶机动车.(精确到小时),4,解析 设n小时后他才可以驾驶机动车， 由题意得3(10.5)n0.2，即2n15， 故至
17、少经过4小时他才可以驾驶机动车.,(2)已知某房地产公司计划出租70套相同的公寓房.当每套房月租金定为3 000元时，这70套公寓房能全部租出去；当月租金每增加50元时(设月租金均为50元的整数倍)，就会多一套房子不能出租.设已出租的每套房子每月需要公司花费100元的日常维修等费用(设没有出租的房子不需要花这些费用)，则要使公司获得最大利润，每套房月租金应定为 元.,当且仅当58x70x，即x6时，等号成立，故每月租金定为3 0003003 300(元)时，公司获得最大利润.,3 300,解析 设利润为y元，租金定为3 00050x(0x70，xN)元.,素养提升 例题中通过用字母表示变量，将
18、酒后驾车时间抽象为不等式问题，将租房最大利润抽象为函数的最值问题.,3,课时作业,PART THREE,1.某工厂6年来生产某种产品的情况是：前3年年产量的增长速度越来越快，后3年年产量保持不变，则该厂6年来这种产品的总产量C与时间t(年)的函数关系图象正确的是,解析 前3年年产量的增长速度越来越快，说明呈高速增长，只有A，C图象符合要求，而后3年年产量保持不变，故选A.,基础保分练,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,注：“累计里程”指汽车从出厂开始累计行驶的路程. 在这段时间内，该车每100千米平均耗油量为 A.6升 B.8升 C.10升 D.12
19、升,2.某辆汽车每次加油都把油箱加满，下表记录了该车相邻两次加油时的情况.,解析 5月1日到5月15日，汽车行驶了35 60035 000600(千米)，实际耗油48升，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,3.(2018大同模拟)将进货单价为80元的商品按90元一个出售时，能卖出400个，已知这种商品每涨价1元，其销售量就要减少20个，为了赚得最大利润，每个售价应定为 A.85元 B.90元 C.95元 D.100元,解析 设每个售价定为x元， 则利润y(x80)400(x90)2020(x95)2225， 当x95时，y最大.,1,2,3,4,5,
20、6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,4.国家规定某行业征税如下：年收入在280万元及以下的税率为p%，超过280万元的部分按(p2)%征税，有一公司的实际缴税比例为(p0.25)%，则该公司的年收入是 A.560万元 B.420万元 C.350万元 D.320万元,解析 设该公司的年收入为x万元(x280)，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,解得x320.故该公司的年收入为320万元.,5.某大型民企为激励创新，计划逐年加大研发资金投入.若该民企2016年全年投入研发资金130万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长1
21、2%，则该民企全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是(参考数据：lg 1.120.05，lg 1.30.11，lg 20.30) A.2017年 B.2018年 C.2019年 D.2020年,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,解析 设从2016年起，过了n(nN*)年该民企全年投入的研发资金超过200万元，则130(112%)n200，,6.某汽车销售公司在A，B两地销售同一种品牌的汽车，在A地的销售利润(单位：万元)为y14.1x0.1x2，在B地的销售利润(单位：万元)为y22x，其中x为销售量(单位：辆)，若该公司在两地共销售16辆该种
22、品牌的汽车，则能获得的最大利润是 A.10.5万元 B.11万元 C.43万元 D.43.025万元,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,解析 设公司在A地销售该品牌的汽车x辆，则在B地销售该品牌的汽车(16x)辆，所以可得利润 y4.1x0.1x22(16x)0.1x22.1x32 0.1(x10.5) 20.110.5232. 因为x0,16且xN，所以当x10或11时，总利润取得最大值43万元.,7.某种病毒经30分钟繁殖为原来的2倍，且知病毒的繁殖规律为yekt(其中k为常数，t表示时间，单位：小时，y表示病毒个数)，则k_，经过5小时，1个病
23、毒能繁殖为_个.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,2ln 2,1 024,解析 当t0.5时，y2，2 ， k2ln 2，ye2tln 2， 当t5时，ye10ln 22101 024.,8.(2018湖北八校联考)某人根据经验绘制了2018年春节前后，从12月21日至 1月7日自己种植的西红柿的销售量y(千克)随时间x(天)变化的函数图象，如图 所示，则此人在12月26日大约卖出了西红柿 千克.,解析 前10天满足一次函数关系，设为ykxb(k0)，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,9.在如图所示的锐
24、角三角形空地中，欲建一个面积最大的内接矩形花园(阴影部分)，则其边长x为 m.,20,解析 设内接矩形另一边长为y m，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,解得y40x， 所以面积Sx(40x)x240x (x20)2400(0x40)， 所以当x20时，Smax400.,10.“好酒也怕巷子深”，许多著名品牌是通过广告宣传进入消费者视线的.已知某品牌商品广告销售的收入R与广告费A之间满足关系Ra (a为常数)，广告效应为Da A.那么精明的商人为了取得最大的广告效应，投入的广告 费应为 .(用常数a表示),1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,
25、11,12,13,14,15,16,11.某市用37辆汽车往灾区运送一批救灾物资，假设以v km/h的速度直达灾区，已知某市到灾区公路线长400 km，为了安全起见，两辆汽车的间距不得小于 那么这批物资全部到达灾区的最少时间是 h.(车身长度不计),12,解析 设全部物资到达灾区所需时间为t h，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,12.某书商为提高某套丛书的销售量，准备举办一场展销会.据市场调查，当每套丛书售价定为x元时，销售量可达到(150.1x)万套.现出版社为配合该书商的活动，决定进行价格改革，将每套丛书的供货价格分成固定价格和浮动价格两部分
26、，其中固定价格为30元，浮动价格(单位：元)与销售量(单位：万套)成反比，比例系数为10.假设不计其他成本，即销售每套丛书的利润售价供货价格，问： (1)每套丛书售价定为100元时，书商能获得的总利润是多少万元？,解 每套丛书售价定为100元时，销售量为150.11005(万套)， 此时每套供货价格为30 32(元)，书商所获得的总利润为5(10032)340(万元).,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,(2)每套丛书售价定为多少元时，单套丛书的利润最大？,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,解得0x150.
27、 依题意，单套丛书利润,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,因为00，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,即x140时等号成立，此时，Pmax20120100. 所以每套丛书售价定为140元时，单套丛书的利润最大，最大值为100元.,13.一艘轮船在匀速行驶过程中每小时的燃料费与速度v的平方成正比，且比例系数为k，除燃料费外其他费用为每小时96元.当速度为10海里/时时，每小时的燃料费是6元.若匀速行驶10海里，当这艘轮船的速度为 海里/时时，总费用最小.,40,技能提升练,1,2,3,4,5,6,7,8,9
28、,10,11,12,13,14,15,16,解析 设每小时的总费用为y元， 则ykv296，又当v10时，k1026， 解得k0.06， 所以每小时的总费用y0.06v296，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,故总费用最小时轮船的速度为40海里/时.,14.商家通常依据“乐观系数准则”确定商品销售价格，即根据商品的最低销售限价a，最高销售限价b(ba)以及实数x(0x1)确定实际销售价格cax(ba).这里，x被称为乐观系数.经验表明，最佳乐观系数x恰好使得(ca)是(bc)和(b a)的等比中项.据此可得，最佳乐观系数x .,1,2,3,4,5,
29、6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,bc(ba)(ca)， (ca)2(ba)2(ba)(ca)， 两边同除以(ba)2，得x2x10，,拓展冲刺练,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,8,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,解析 由题意知Ta21 . 令T085 ，T37 ，,令T037 ，T29 ，,16.某禁毒机构测定，某种毒品服用后每毫升血液中的含毒量y(微克)与时间t(小时)之间近似满足如图所示的曲线. (1)写出服用毒品后y与t之间的函数关系式；,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,当t1时，由y4，得k4；,(2)据进一步测定，每毫升血液中含毒量不少于0.50微克时会有重度躁动状态，求服用毒品后重度躁动状态的持续时间.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,
