1、一、选择题1（2019苏州）如图，AB为O的切线切点为A，连接AO，BO，BO与O交于点C，延长BO与O交于点D，连接AD若ABO =36，则ADC的度数为（ ） A54 B36 C32 D27（第5题）【答案】D【解析】本题考查了切线的性质、直角三角形的性质、等腰三角形的性质以及三角形的外角性质AB为O的切线，OAB=90，ABO=36，AOB=90-ABO=54，OA=OD，ADC=OAD，AOB=ADC+OAD，ADC=AOB=27，故选D2. （2019无锡）如图，PA是O的切线，切点为A，PO的延长线交O于点B，若P=40，则B的度数为 （ ）A.20 B.25 C.40 D.50【
2、答案】B【解析】PA是O的切线，切点为A，OAAP，OAP=90，APB=40，AOP=50，OA=OB，B=OAB=AOP=25故选B3.（2019自贡）如图，已知A、B两点的坐标分别为（8，0）、（0，8），点C、F分别是直线x=-5和x轴上的动点，CF=10，点D是线段CF的中点，连接AD交y轴于点E，当ABE的面积取得最小值时，tanBAD的值是（ ） A.817B.717C.49D.59【答案】B.【解析】A（8，0），B（0，8），AOB=900，AOB是等腰直角三角形，AB=82，OBA=450，取D（-5，0），当C、F分别在直线x=-5和x轴上运动时，线段DH是RtCFD斜边
3、上中线，DH=12CF=10，故D在以H为圆心,半径为5的圆上运动，当AD与圆H相切时，ABE的面积最小.在RtADH中，AH=OH+OA=13,AD=AH2-AD2=12.AOE=ADH=900，EAO=HAD，AOEADH，OEAO=DHAD，即OE8=512，OE=103，BE=OB-OE=143.SABE=12BEOA=12ABEG，EG=BEOAAB=143882=723.在RtBGE中，EBG=450，BG=EG=723，AG=AB-BG=1723.在RtAEG中，tanBAD=EGAG=717.故选B.4. (2019台州)如图,等边三角形ABC的边长为8,以BC上一点O为圆心的
4、圆分别与边AB,AC相切,则O的半径为( )A.B.3C.4D.【答案】A【解析】O与AB,AC相切,ODAB,OEAC,又ODOE,DAOEAO,又ABAC,BOCO,DAO30,BO4,ODOAtanDAOOA,又在RtAOB中,OD,故选A.5.（2019重庆B卷）如图，AB是O的直径，AC是O的切线，A为切点，若C40则B的度数为（）A.60 B.50 C.40 D.30【答案】【解析】圆的切线垂直于经过切点的半径，因为AC是O的切线，A为切点，所以BAC90，根据三角形内角和定理，若C40则B的度数为50. 故选6. （2019重庆A卷）如图，AB是O的直径，AC是O的切线，A为切点
5、，BC与O交于点D，连结OD若C50，则AOD的度数为 （ ）A40 B50 C80 D100【答案】C【解析】AC是O的切线，ACABC50，B90C40OBOD，BODB40AODBODB80故选C二、填空题1.（2019岳阳）如图，AB为O的直径，点P为AB延长线上的一点，过点P作O的切线PE，切点为M，过A、B两点分别作PE的垂线AC、BD，垂足分别为C、D，连接AM，则下列结论正确的是_（写出所有正确结论的序号）AM平分CAB；AM2=ACAB；若AB=4，APE=30，则的长为；若AC=3，BD=1，则有CM=DM=【答案】【解析】连接OM，BMPE是O的切线，OMPEACPE，A
6、COMCAMAMOOAOM，AMOMAOCAM=MAOAM平分CAB选项正确；AB为直径，AMB=90=ACMCAM=MAO，AMCABMAM2=ACAB选项正确；P=30，MOP=60AB=4，半径r=2选项错误；BDOMAC，OA=OB，CM=MDCAMAMC=90，AMCBMD=90，CAMBMDACM=BDM=90，ACMMDBCMDM=31=3CM=DM=选项正确；综上所述，结论正确的有2. （2019无锡）如图，在ABC中，ACBCAB=51213，O在ABC内自由移动，若O的半径为1，且圆心O在ABC内所能到达的区域的面积为，则ABC的周长为_.【答案】25【解析】如图，圆心O在
7、ABC内所能到达的区域是O1O2O3，O1O2O3三边向外扩大1得到ACB，它的三边之比也是51213， O1O2O3的面积=，O1O2=，O2O3=4，O1O3=，连接AO1 与CO2，并延长相交于I，过I作IDAC于D，交O1O2于E，过I作IGBC于G交O3O2于F，则I是RtABC与RtO1O2O3的公共内心，四边形IEO2F四边形IDCG都是正方形，IE=IF= =，ED=1，ID=IE+ED=，设ACB的三边分别为5m、12m、13m，则有ID=2m=，解得m=，ABC的周长=30m=25.3. （2019济宁）如图，O为RtABC直角边AC上一点，以OC为半径的O与斜边AB相切于
8、点D，交OA于点E，已知BC，AC3则图中阴影部分的面积是 【答案】【解析】在RtABC中，A30O与斜边AB相切于点D，ODAB设O的半径为r，在RtADO中，解得r，阴影的面积是S()24. （2019眉山）如图，在RtAOB中，OA=OB=，O的半径为2，点P是AB边上的动点，过点P作O的一条切线PQ（点Q为切点），则线段PQ长的最小值为【答案】【解析】连接OQ，如图所示，PQ是O的切线，OQPQ，根据勾股定理知：PQ2=OP2-OQ2，当POAB时，线段PQ最短，在RtAOB中，OA=OB=，AB=OA=8，SAOB= OAOB=ABOP，即OP=4，PQ= =故答案为： .5. (2
9、019宁波)如图,RtABC中,C90,AC12 ,点D在边BC上,CD5,BD13.点P是线段AD上一动点,当半径为6的P与ABC的一边相切时,AP的长为_.【答案】或【解析】半径为6的P与ABC的一边相切,可能与AC,BC,AB相切,故分类讨论:当P与AC相切时,点P到AC的距离为6,但点P在线段AD上运动,距离最大在点D处取到,为5,故这种情况不存在;当P与AC相切时,点P到BC的距离为6,如图PE6,PEAC,PE为ACD的中位线,点P为AD中点,AP;当P与AB相切时,点P到AB的距离为6,即PF6,PFAB,过点D作DGAB于点G,APFADGABC,其中,PF6,AC12,AB,
10、AP;综上所述,AP的长为或.三、解答题1（2019衡阳）如图，点A、B、C在半径为8的O上，过点B作BDAC，交OA延长线于点D，连接BC，且BCAOAC30（1）求证：BD是O的切线；（2）求图中阴影部分的面积解：（1）证明：连接OB交AC于E，由BCA30，AOB60在AOE中，OAC30，OEA90，所以OBACBDAC，OBBD又B在圆上，BD为O的切线；（2）由半径为8，所以OA=OB=8在AOC中，OACOCA30，COA120，AC8由BCAOAC30，OABC，而BDAC，四边形ABCD是平行四边形.BD8OBD的面积为8832，扇形OAB的面积为82，阴影部分的面积为322
11、（2019常德，22题，7分）如图6，O与ABC的AC边相切于点C，与AB、BC边分别交于点D、E，DEOA，CE是O的直径 （1）求证：AB是O的切线； （2）若BD4，CE6，求AC的长 【解题过程】证明：（1）连接OD，DEOA，AOCOED，AODODE，ODOE，OEDODE，AOCAOD，又OAOA，ODOC，AOCAOD（SAS），ADOACOCE是O的直径，AC为O的切线，OCAC， OCA90，ADO90，ODAB，OD为O的半径，AB是O的切线（2）CE6，ODOC3，BDO90，BD4，OB5，BC8，BDO OCA90，BB，BDOBCA，AC63（2019武汉）已知A
12、B是O的直径，AM和BN是O的两条切线，DC与O相切于点E，分别交AM、BN于D、C两点（1） 如图1，求证：AB24ADBC（2） 如图2，连接OE并延长交AM于点F，连接CF若ADE2OFC，AD1，求图中阴影部分的面积 图1 图2【解题过程】证明：（1）如图1，连接OD，OC，OEAD，BC，CD是O的切线，OAAD，OBBC，OECD，ADED，BCEC，ODEADC，OCEBCDAD/BC，ODEOCE（ADCBCD）90，ODEDOE90，DOEOCE又OEDCEO90，ODECOE，OE2EDEC4OE24ADBC，AB24ADBC（2）解：如图2，由（1）知ADEBOE，ADE
13、2OFC，BOE2COF，COFOFC，COF等腰三角形。OECD，CD垂直平分OFAODDOEOFD30，BOE120，BCOBtan603S阴影2SOBCS扇形OBE3图1 图24（2019陇南）如图，在ABC中，ABAC，BAC120，点D在BC边上，D经过点A和点B且与BC边相交于点E（1）求证：AC是D的切线；（2）若CE2，求D的半径（1）证明：连接AD，ABAC，BAC120，BC30，ADBD，BADB30，ADC60，DAC180603090，AC是D的切线；（2）解：连接AE，ADDE，ADE60，ADE是等边三角形，AEDE，AED60，EACAEDC30，EACC，AE
14、CE2，D的半径AD25(2019泰州,24题,10分) 如图,四边形ABCD内接于O,AC为O的直径,D为弧AC的中点,过点D作DEAC,交BC的延长线于点E.(1)判断DE与O的位置关系,并说明理由;(2)若O的半径为5,AB8,求CE的长.第24题图【解题过程】(1)DE为O的切线,理由如下:连接OD,AC为O的直径,D为弧AC的中点,弧AD弧CD,所以ADDC,因为AOOC,所以ODAC,AODCOD90,又DEAC,EDOAOD90,所以ODDE,DE为O的切线;第24题答图(2)DEAC,EDCACD,ACDABD,所以EDCABD,又DCEBAD,DCEBAD,半径为5,AC10
15、, D为弧AC的中点,ADCD,CE6. （2019金华）如图，在OABC中，以O为圆心，OA为半径的圆与BC相切于点B，与OC相交于点D.（1）求的度数；（2）如图，点E在O上，连结CE与O交于点F.若EF=AB，求OCE的度数.解： 1）连结OBBC是O的切线，OBBC，四边形OABC是平行四边形OABC，OBOAAOB是等腰直角三角形ABO45OCAB，BOCABO45的的度数为45；（2）连结OE，过点O作OHEC于点H，设EHt，OHEC，EF2HE2t，四边形OABC是平行四边形ABCOEF2t，AOB是等腰直角三角形O的半径OAt在RtEHO中，OHt在RtOCH中，OC2OH，
16、OCE307. （2019天津）已知PA,PB分别与O相切于点A,B，APB=80，C为O上一点，(1)如图，求ACB的大小；(2)如图，AE为O的直径，AE与BC相交于点D，若AB=AD，求EAC的大小.解：（1）如图，连接OA,OBPA,PB分别是切线OAPA,OBPB,即PAO=PBO=90APB=80在四边形OAPB中，AOB=360-90-90-80=100ACB=AOB=50.（2）如图，连接CE,AE为直径，ACE=90，由（1）知，ACB=50，BCE=ACE-ACB=40，BAE=BCE=40，在ABD中，AB=AD,ADB=ABD=70ACD中，ADB是外角，EAC=ADB
17、-ACB=70-50=208（2019娄底）如图（12），点D在以AB为直径的O上，AD平分BAC，DCAC，过点B作O的切线交AD的延长线于点E（1）求证：直线CD是O的切线（2）求证：【解题过程】证明：（1）如图，连结OD，在O中，有OAOD，OADODA，又AD平分BAC，OADCAD，ODACAD，又DCACADC+ADO90ODC90，即ODCD；直线CD是O的切线（2）如图，连结BD，AB为O的直径，ADBBDE90又DCACACD BDEBE为O的切线，DCAC，AD平分BAC，EADCACDBDE9. （2019攀枝花） 如图1，有一个残缺的圆，请做出残缺圆的圆心O（保留作图痕
18、迹，不写做法） 如图2，设AB是该残缺圆O的直径，C是圆上一点，CAB的角平分线AD交O于点D，过点D作O的切线交AC的延长线于点E （1）求证：AEDE；（2）若DE3，AC2，求残缺圆的半圆面积解：图1问题解答如下:如图， 点即为所求图2问题解答如下：（1）证明：连接OD交BC于HAB是该残缺圆O的直径，ACB90DE为O的切线ODDEAD平分CABCADDABODOA,DABODACADODAEAEDE（2）AB是O的直径,ACB90ODAE,ODBCBC2CH四边形CEDH为矩形DE3，CHED3,BC6,AC2，AB2,AO, S半圆AO2510. （2019凉山）如图，点D是以AB
19、为直径的O上一点，过点B作O的切线，交AD的延长线于点C，E是BC的中点，连接DE并延长与AB的延长线交于点F.（1）求证：DF是O的切线；（2）若OB=BF，EF=4，求 AD 的长.解：（1）证明：连接OD.O的切线，BCOB，OBC=90.AB为O直径，ADB=90，ADB+CDB =180，CDB =90.E是BC的中点，ED=EB=BC，EDB=EBD.OD=OB，ODB=OBD，ODF=OBC=90,DFOD，DF是O的切线；（2）由（1）知ODB=90，OD=OB=BF，sinF=,F=30，DOB+F =90，DOB=60，ODB是等边三角形，OBD=60，tanOBD=，AD
20、=BD.BCAF， sinF=,EF=4，BE=2，BF=2=OB=DB，AD=BD=6.11.（2019乐山）已知关于的一元二次方程.（1）求证：无论为任何实数，此方程总有两个实数根；（2）若方程的两个实数根为、，满足，求的值；（3）若的斜边为5，另外两条边的长恰好是方程的两个根、，求的内切圆半径.解：（1）证明： ， 无论为任何实数时，此方程总有两个实数根.（2）由题意得：， ，即， 解得：； （3）解方程得：， 根据题意得：，即， 设直角三角形的内切圆半径为，如图， 由切线长定理可得：，直角三角形的内切圆半径=； 第23题答图12（2019乐山）如图，直线与相离，于点，与相交于点，.是直
21、线上一点，连结并延长交于另一点，且.（1）求证：是的切线；（2）若的半径为，求线段的长.第24题图解：证明：(1)如图，连结，则， ，而，即，即， ，故是的切线； (2)由(1)知：，而，由勾股定理，得：， 过作于，则， 在和中， ， 又，. 13. (2019枣庄)如图，在RtABC中，ABC90，以AB为直径作O，点D为O上一点，且CDDB，连接DO并延长交CB的延长线于点E.(1)判断直线CD与O的位置关系，并说明理由；(2)若BE2，DE4，求圆的半径及AC的长.解：(1)连接CO点D在圆上,ODOB,CDCB,COCO,CODCOB(SSS),ABC90,DABC90,ODDC,直线
22、CD与O相切;(2)设ODOBx,DE4,OE4x,在RtOBE中,BE2+BO2OE2,即22+x2(4x)2,解之,得,x1.5,ODOB1.5,AB2OB3,CB,CD是圆的切线,设CBCDy,在RtCDE中,CD2+DE2CE2,即y2+42(y+2)2,解之,得,y3,BC3,在RtABC中,AC5.14.(2019聊城)如图,ABC内接于O,AB为直径,作ODAB于点D,延长BC,OD交于点F,过点C作O的切线CE,交OF于点E.(1)求证：ECED；(2)如果OA4,EF3,求弦AC的长.解：(1)连接OC,CE与O相切,OC是O的半径,OCCE,OCA+ACE90,OAOC,AOCA,ACE+A90,ODAB,ODA+A90,ODACDE,CDE+A90,CDEACE,ECED;第24题答图(2)AB为直径,ACB90,在RtDCF中,DCE+ECF90,DCECDE,CDE+ECF90,CDE+F90,ECFF,ECEF,EF3,ECDE3,在RtOCE中,OC4,CE3,OE5,ODOEDE2,在RtOAD中,AD,在RtAOD和RtACB中,AA,RtAODRtACB,AC.
