1、 1 专题专题 34 动态问题动态问题 一、动态问题概述 1.就运动类型而言,有函数中的动点问题、图象问题、面积问题、最值问题、和差问题、 定值问题和存在性问题等。2.就运动对象而言,几何图形中的动点问题，有点动、线动、面动三大类。3.就 图形变化而言,有轴对称（翻折） 、平移、旋转（中心对称、滚动）等。4.动态问题一般分两类，一类是代 数综合方面，在坐标系中有动点，动直线，一般是利用多种函数交叉求解。另一类就是几何综合题，在梯 形，矩形，三角形中设立动点、线以及整体平移翻转，对考生的综合分析能力进行考察。所以说，动态问 题是中考数学当中的重中之重，只完全掌握才能拿高分。另一类就是几何综合题，
2、在梯形，矩形，三角形 中设立动点、线以及整体平移翻转，对考生的综合分析能力进行考察。所以说，动态问题是中考数学当中 的重中之重，只完全掌握才能拿高分。 二、动点与函数图象问题常见的四种类型：1.三角形中的动点问题：动点沿三角形的边运动，根据问题中 的常量与变量之间的关系，判断函数图 2.四边形中的动点问题：动点沿四边形的边运动，根据问题中的常量与变量之间的关系，判断函数图象。 3.圆中的动点问题：动点沿圆周运动，根据问题中的常量与变量之间的关系，判断函数图象。4.直线、双 曲线、抛物线中的动点问题：动点沿直线、双曲线、抛物线运动，根据问题中的常量与变量之间的关系， 判断函数图象。 三、图形运动
3、与函数图象问题常见的三种类型： 1.线段与多边形的运动图形问题：把一条线段沿一定方向运动经过三角形或四边形，根据问题中的常量与 变量之间的关系，进行分段，判断函数图象。 2.多边形与多边形的运动图形问题：把一个三角形或四边形沿一定方向运动经过另一个多边形，根据问题 中的常量与变量之间的关系，进行分段，判断函数图象。3.多边形与圆的运动图形问题：把一个圆沿一定 方向运动经过一个三角形或四边形，或把一个三角形或四边形沿一定方向运动经过一个圆，根据问题中的 常量与变量之间的关系，进行分段，判断函数图象。 四、动点问题常见的四种类型： 1.三角形中的动点问题：动点沿三角形的边运动，通过全等或相似，探究
4、构成的新图形与原图形的边或角 的关系。 2.四边形中的动点问题：动点沿四边形的边运动，通过探究构成的新图形与原图形的全等或相似，得出它 专题知识回顾专题知识回顾 2 们的边或角的关系。 3.圆中的动点问题：动点沿圆周运动，探究构成的新图形的边角等关系。 4.直线、双曲线、抛物线中的动点问题：动点沿直线、双曲线、抛物线运动，探究是否存在动点构成的三 角形是等腰三角形或与已知图形相似等问题。 五、解决动态问题一般步骤： （1）用数量来刻画运动过程。因为在不同的运动阶段，同一个量的数学表达方式会发生变化，所以需要分 类讨论。有时符合试题要求的情况不止一种，这时也需要分类讨论。 （2）画出符合题意的示
5、意图。 （3）根据试题的已知条件或者要求列出算式、方程或者数量间的关系式。 【例题【例题 1 1】 （点动题）】 （点动题）如图，在矩形 ABCD 中，AB6，BC8，点 E 是 BC 中点，点 F 是边 CD 上的任意 一点，当AEF 的周长最小时，则 DF 的长为（ ） A.1 B.2 C.3 D.4 【答案】D 【解析】如图，作点 E 关于直线 CD 的对称点 E，连接 AE，交 CD 于点 F. 在矩形 ABCD 中，AB6，BC8，点 E 是 BC 中点， 专题典型题考法及解析专题典型题考法及解析 3 BECECE4. ABBC，CDBC， CFAB，CEFBEA. CE/BE=CF
6、/AB 4/(8+4)=CF/6 解得 CF2. DFCDCF624. 热点二：线动 【例题【例题 2 2】 （线动题）】 （线动题）如图 ，量角器的直径与直角三角板 ABC 的斜边 AB 重合，其中量角器 0 刻度线的端 点 N 与点 A 重合，射线 CP 从 CA 处出发沿顺时针方向以每秒 3的速度旋转，CP 与量角器的半圆弧交 于点 E，第 24 秒，点 E 在量角器上对应的读数是_ 【答案】144 【解析】连接 OE，ACB90， A，B，C 在以点 O 为圆心，AB 为直径的圆上 点 E，A，B，C 共圆 ACE32472， AOE2ACE144. 点 E 在量角器上对应的读数是 1
7、44. 【例题【例题 3 3】 （面动题）】 （面动题）如图 Z10-4，将一个边长为 2 的正方形 ABCD 和一个长为 2，宽为 1 的长方形 CEFD 拼在一起，构成一个大的长方形 ABEF.现将小长方形 CEFD 绕点 C 按顺时针旋转至 CEFD，旋转角 为. (1)当点 D恰好落在 EF 边上时，求旋转角的值； 4 (2)如图 Z10-5，G 为 BC 中点，且 090，求证：GDED； (3)小长方形 CEFD 绕点 C 按顺时针旋转一周的过程中， DCD与CBD能否全等？若能，直接写出旋 转角的值；若不能，请说明理由 【答案】见解析。 【解析】本题考查了旋转的性质：旋转前后两图
8、形全等；对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中 心所连线段的夹角等于旋转角也考查了正方形、矩形的性质以及三角形全 等的判定与性质 (1)长方形 CEFD 绕点 C 顺时针旋转至 CEFD， CDCD2. 在 RtCED中，CD2，CE1，CDE30. CDEF，30. （2）证明：G 为 BC 中点，CG1.CGCE. 长方形 CEFD 绕点 C 顺时针旋转至 CEFD， DCEDCE90，CECECG. GCDECD90. （3）能理由如下： 四边形 ABCD 为正方形，CBCD. CDCD， 5 BCD 与 DCD为腰相等的两个等腰三角形 当BCDDCD时，BCDDCD. 当BCD与D
9、CD为钝角三角形时， 当BCD与DCD为锐角三角形时， 综上所述，当旋转角 a 的值为 135或 315时，DCD与CBD全等 一一. .选择题选择题 1.（2019四川省达州市）四川省达州市）如图，边长都为 4 的正方形 ABCD 和正三角形 EFG 如图放置，AB 与 EF 在一条直 线上， 点 A 与点 F 重合 现将 EFG 沿 AB 方向以每秒 1 个单位的速度匀速运动， 当点 F 与 B 重合时停止 在 这个运动过程中，正方形 ABCD 和 EFG 重叠部分的面积 S 与运动时间 t 的函数图象大致是（ ） A B C D 【答案】C 【解析】 根据题意和函数图象可以写出各段对应的
10、函数解析式， 从而可以判断哪个选项中的图象符合题意， 本题得以解决 当 0t2 时，S，即 S 与 t 是二次函数关系，有最小值（0，0） ，开口向上， 专题典型训练题 专题典型训练题 6 当 2t4 时，S，即 S 与 t 是二 次函数关系，开口向下， 由上可得，选项 C 符合题意。 2 （ （2019山东泰安山东泰安）如图，矩形 ABCD 中，AB4，AD2，E 为 AB 的中点，F 为 EC 上一动点，P 为 DF 中点，连接 PB，则 PB 的最小值是（ ） A2 B4 C D 【答案】D 【解析】根据中位线定理可得出点点 P 的运动轨迹是线段 P1P2，再根据垂线段最短可得当 BPP
11、1P2时， PB 取得最小值；由矩形的性质以及已知的数据即可知 BP1P1P2，故 BP 的最小值为 BP1的长，由勾股定 理求解即可如图： 当点 F 与点 C 重合时，点 P 在 P1处，CP1DP1， 当点 F 与点 E 重合时，点 P 在 P2处，EP2DP2， P1P2CE 且 P1P2CE 当点 F 在 EC 上除点 C、E 的位置处时，有 DPFP 由中位线定理可知：P1PCE 且 P1PCF 点 P 的运动轨迹是线段 P1P2， 当 BPP1P2时，PB 取得最小值 矩形 ABCD 中，AB4，AD2，E 为 AB 的中点， CBE、 ADE、 BCP1为等腰直角三角形，CP12
12、 ADECDECP1B45 ，DEC90 7 DP2P190 DP1P245 P2P1B90 ，即 BP1P1P2， BP 的最小值为 BP1的长 在等腰直角 BCP1中，CP1BC2 BP12 PB 的最小值是 2 3（2019山东潍坊山东潍坊） 如图， 在矩形 ABCD 中， AB2， BC3， 动点 P 沿折线 BCD 从点 B 开始运动到点 D 设 运动的路程为 x， ADP 的面积为 y，那么 y 与 x 之间的函数关系的图象大致是（ ） AB CD 【答案】D 【解析】由题意当 0 x3 时，y3，当 3x5 时，y 3 （5x）x+由此即可判断 由题意当 0 x3 时，y3， 当
13、 3x5 时，y 3 （5x）x+ 4 4. .（2012019 9 湖北武汉）湖北武汉）如图，AB是O的直径，M、N是（异于 A.B）上两点，C是上一动点，ACB的 角平分线交O于点D，BAC的平分线交CD于点E当点C从点M运动到点N时，则 C.E两点的运动路径 长的比是（ ） 8 A B C D 【答案】A 【解析】本题考查弧长公式，圆周角定理，三角形的内心等知识，解题的关键是理解题意，正确寻找点的 运动轨迹，属于中考选择题中的压轴题 如图， 连接EB 设OAr 易知点E在以D为圆心DA为半径的圆上， 运动轨迹是， 点C的运动轨迹是， 由题意MON2GDF，设GDF，则MON2，利用弧长公
14、式计算即可解决问题 AB是直径，ACB90， E是ACB的内心，AEB135， ACDBCD， ，ADDBr，ADB90， 易知点E在以D为圆心DA为半径的圆上，运动轨迹是，点C的运动轨迹是， MON2GDF，设GDF，则MON2 5 5. .（2012019 9 湖南衡阳）湖南衡阳）如图，在直角三角形ABC中，C90，ACBC，E是AB的中点，过点E作AC和 9 BC的垂线，垂足分别为点D和点F，四边形CDEF沿着CA方向匀速运动，点C与点A重合时停止运动，设 运动时间为t， 运动过程中四边形CDEF与ABC的重叠部分面积为S 则S关于t的函数图象大致为 （ ） A B C D 【答案】C
15、【解析】本题考查动点问题的函数图象，正方形的性质、勾股定理等知识，解题的关键是读懂题意，学会 分类讨论的思想，属于中考常考题型 根据已知条件得到ABC是等腰直角三角形，推出四边形EFCD是正方形，设正方形的边长为a，当移动的 距离a时，如图 1，S正方形的面积EEH的面积a 2 t 2；当移动的距离a 时，如图 2，SS ACH（2at） 2 t 22at+2a2，根据函数关系式即可得到结论； 在直角三角形ABC中，C90，ACBC， ABC是等腰直角三角形， EFBC，EDAC， 四边形EFCD是矩形， E是AB的中点， EFAC，DEBC， EFED， 四边形EFCD是正方形， 设正方形的
16、边长为a， 如图 1 当移动的距离a时，S正方形的面积EEH的面积a 2 t 2； 当移动的距离a时，如图 2，SSACH（2at） 2 t 22at+2a2， 10 S关于t的函数图象大致为C选项。 6 6. . （2012019 9 浙江衢州浙江衢州） 如图所示， 正方形ABCD的边长为 4， 点E是AB的中点， 点P从点E出发， 沿EADC 移动至终点C，设P点经过的路径长为x，CPE的面积为y，则下列图象能大致反映y与x函数关系的是 （ ） A B C D 【答案】 C 【解析】动点问题的函数图象。结合题意分情况讨论：当点P在AE上时，当点P在AD上时，当点P 在DC上时，根据三角形面
17、积公式即可得出每段的y与x的函数表达式. 当点P在AE上时， 正方形边长为 4，E为AB中点， AE=2， P点经过的路径长为x， PE=x， y=SCPE= PEBC= x4=2x， 当点P在AD上时， 正方形边长为 4，E为AB中点， AE=2， P点经过的路径长为x， AP=x-2，DP=6-x， y=SCPE=S正方形ABCD-SBEC-SAPE-SPDC ， 11 =44- 24- 2（x-2）- 4（6-x）， =16-4-x+2-12+2x， =x+2， 当点P在DC上时， 正方形边长为 4，E为AB中点， AE=2， P点经过的路径长为x， PD=x-6，PC=10-x， y=
18、SCPE= PCBC= （10-x）4=-2x+20， 综上所述：y与x的函数表达式为： y= . 7 7. .（20192019甘肃武威）甘肃武威）如图，在矩形ABCD中，ABAD，对角线AC，BD相交于点O，动点P由点A出发， 沿ABBCCD向点D运动 设点P的运动路程为x， AOP的面积为y，y与x的函数关系图象如图所示， 则AD边的长为（ ） A3 B4 C5 D6 【答案】B 【解析】本题主要考查动点问题的函数图象，解题的关键是分析三角形面积随动点运动的变化过程，找到 分界点极值，结合图象得到相关线段的具体数值 当P点在AB上运动时，AOP面积逐渐增大，当P点到达B点时，AOP面积最
19、大为 3 AB3，即ABBC12 当P点在BC上运动时，AOP面积逐渐减小，当P点到达C点时，AOP面积为 0，此时结合图象可知P点 运动路径长为 7， AB+BC7 12 则BC7AB，代入ABBC12，得AB 27AB+120，解得 AB4 或 3， 因为ABAD，即ABBC， 所以AB3，BC4 8.(8.(20192019 甘肃省天水市甘肃省天水市) )已知点P为某个封闭图形边界上一定点，动点M从点P出发，沿其边界顺时针匀速 运动一周，设点M的运动时间为x，线段PM的长度为y，表示y与x的函数图象大致如图所示，则该封闭 图形可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】y与
20、x的函数图象分三个部分，而B选项和C选项中的封闭图形都有 4 条线段，其图象要分四个部 分，所以 B.C选项不正确； A选项中的封闭图形为圆，开始y随x的增大而增大，然后y随x的减小而减小，所以A选项不正确； D选项为三角形，M点在三边上运动对应三段图象，且M点在P点的对边上运动时，PM的长有最小值 二、填空题二、填空题 9 9. .（2012019 9 浙江嘉兴浙江嘉兴）如图，一副含 30和 45角的三角板ABC和EDF拼合在个平面上，边AC与EF重合， AC12cm当点E从点A出发沿AC方向滑动时，点F同时从点C出发沿射线BC方向滑动当点E从点A 滑动到点C时，点D运动的路径长为 cm；连
21、接BD，则ABD的面积最大值为 cm 2 【答案】 （2412） ， （24+3612） 【解析】本题考查了轨迹，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，角平分线的性质，三角形 面积公式等知识，确定点D的运动轨迹是本题的关键 13 AC12cm，A30，DEF45 BC4cm，AB8cm，EDDF6cm 如图当点E沿AC方向下滑时，得EDF，过点D作DNAC于点N，作DMBC于点M MDN90，且EDF90 EDNFDM，且DNEDMF90，EDDF DNEDMF（AAS） DNDM，且 DNAC，DMCM CD平分ACM 即点 E 沿 AC 方向下滑时，点 D在射线 CD 上移动， 当
22、 EDAC 时，DD值最大，最大值EDCD（126）cm 当点 E 从点 A 滑动到点 C 时，点 D 运动的路径长2（126）（2412）cm 如图，连接 BD，AD， SADBSABC+SADCSBDC SADBBCAC+ACDNBCDM24+（124）DN 当 EDAC 时，SADB有最大值， SADB最大值24+（124）6（24+3612）cm 2 10.（2019四川省四川省广安广安市）市）如图1 . 8，在四边形ABCD中，ADBC， 30B,直线ABl .当直线l沿 射线BC方向，从点B开始向右平移时，直线l与四边形ABCD的边分别相交于点E、F.设直线l向右平 移的距离为x，
23、 线段EF的长为y， 且y与x的函数关系如图2 . 8所示， 则四边形ABCD的周长是 . 14 【答案】【答案】102 3 【解析】由题意和图像易知 BC=5，AD=7-4=3 当 BE=4 时（即 F 与 A 重合） ，EF=2，又因为lAB且B=30 ，所以 AB=32， 因为当 F 与 A 重合时， 把 CD 平移到 E 点位置可得三角形 AED为正三角形， 所以 CD=2， 故答案时102 3. 11 （ （2019山东潍坊山东潍坊） 如图， 直线 yx+1 与抛物线 yx24x+5 交于 A， B 两点， 点 P 是 y 轴上的一个动点， 当 PAB 的周长最小时，S PAB 【答
24、案】 【解析】本题考查二次函数的性质、一次函数的性质、轴对称最短路径问题，解答本题的关键是明确题 意，利用数形结合的思想解答 根据轴对称， 可以求得使得 PAB 的周长最小时点 P 的坐标， 然后求出点 P 到直线 AB 的距离和 AB 的长度， 即可求得 PAB 的面积，本题得以解决 ， 解得，或， 点 A 的坐标为（1，2） ，点 B 的坐标为（4，5） ， AB3， 15 作点 A 关于 y 轴的对称点 A，连接 AB 与 y 轴的交于 P，则此时 PAB 的周长最小， 点 A的坐标为（1，2） ，点 B 的坐标为（4，5） ， 设直线 AB 的函数解析式为 ykx+b， ，得， 直线
25、AB 的函数解析式为 yx+， 当 x0 时，y， 即点 P 的坐标为（0，） ， 将 x0 代入直线 yx+1 中，得 y1， 直线 yx+1 与 y 轴的夹角是 45 ， 点 P 到直线 AB 的距离是： （1） sin45 ， PAB 的面积是：， 三、解答题三、解答题 12.（2019湖北省仙桃市）湖北省仙桃市）如图，在平面直角坐标系中，四边形 OABC 的顶点坐标分别为 O（0，0） ，A（12， 0） ，B（8，6） ，C（0，6） 动点 P 从点 O 出发，以每秒 3 个单位长度的速度沿边 OA 向终点 A 运动；动点 Q 从点 B 同时出发，以每秒 2 个单位长度的速度沿边 B
26、C 向终点 C 运动设运动的时间为 t 秒，PQ2y （1）直接写出 y 关于 t 的函数解析式及 t 的取值范围： ； （2）当 PQ3时，求 t 的值； （3）连接 OB 交 PQ 于点 D，若双曲线 y（k0）经过点 D，问 k 的值是否变化？若不变化，请求出 k 的值；若变化，请说明理由 16 【答案】见解析。 【解析】本题考查了勾股定理、解直角三角形、解一元二次方程、相似三角形的判定与性质、平行线的性 质以及反比例函数图象上点的坐标特征，解题的关键是： （1）利用勾股定理，找出 y 关于 t 的函数解析式； （2）通过解一元二次方程，求出当 PQ3时 t 的值； （3）利用相似三角形
27、的性质及解直角三角形，找出 点 D 的坐标 （1）过点 P 作 PEBC 于点 E，如图 1 所示 当运动时间为 t 秒时（0t4）时，点 P 的坐标为（3t，0） ，点 Q 的坐标为（82t，6） ， PE6，EQ|82t3t|85t|， PQ2PE2+EQ262+|85t|225t280t+100， y25t280t+100（0t4） 故答案为：y25t280t+100（0t4） （2）当 PQ3时，25t280t+100（3）2， 整理，得：5t216t+110， 解得：t11，t2 （3）经过点 D 的双曲线 y（k0）的 k 值不变 连接 OB，交 PQ 于点 D，过点 D 作 DF
28、OA 于点 F，如图 2 所示 OC6，BC8， OB10 BQOP， BDQODP， ， OD6 17 CBOA， DOFOBC 在 Rt OBC 中，sinOBC，cosOBC， OFODcosOBC6 ，DFODsinOBC6 ， 点 D 的坐标为（，） ， 经过点 D 的双曲线 y（k0）的 k 值为 13 （ （2019山东青岛山东青岛）已知：如图，在四边形 ABCD 中，ABCD，ACB90 ，AB10cm，BC8cm， OD 垂直平分 A C点 P 从点 B 出发，沿 BA 方向匀速运动，速度为 1cm/s；同时，点 Q 从点 D 出发，沿 DC 方向匀速运动，速度为 1cm/s
29、；当一个点停止运动，另一个点也停止运动过点 P 作 PEAB，交 BC 于 点 E，过点 Q 作 QFAC，分别交 AD，OD 于点 F，G连接 OP，EG设运动时间为 t（s） （0t5） ，解 答下列问题： （1）当 t 为何值时，点 E 在BAC 的平分线上？ （2）设四边形 PEGO 的面积为 S（cm2） ，求 S 与 t 的函数关系式； （3）在运动过程中，是否存在某一时刻 t，使四边形 PEGO 的面积最大？若存在，求出 t 的值；若不存在， 请说明理由； （4）连接 OE，OQ，在运动过程中，是否存在某一时刻 t，使 OEOQ？若存在，求出 t 的值；若不存在， 请说明理由 1
30、8 【答案】见解析。 【解析】本题属于四边形综合题，考查了解直角三角形，相似三角形的判定和性质，锐角三角函数，多边 形的面积等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型 （1）在 Rt ABC 中，ACB90 ，AB10cm，BC8cm， AC6（cm） ， OD 垂直平分线段 AC， OCOA3（cm） ，DOC90 ， CDAB， BACDCO， DOCACB， DOCBCA， ， ， CD5（cm） ，OD4（cm） ， PBt，PEAB， 易知：PEt，BEt， 当点 E 在BAC 的平分线上时， EPAB，ECAC， PEEC， t8t， t4 19 当 t 为
31、 4 秒时，点 E 在BAC 的平分线上 （2）如图，连接 OE，PC S四边形OPEGS OEG+S OPES OEG+（S OPC+S PCES OEC） （4t）3+3（8t）+（8t）t3（8t） t2+t+16（0t5） （3）存在 S（t）2+（0t5） ， t时，四边形 OPEG 的面积最大，最大值为 （4）存在如图，连接 OQ OEOQ， EOC+QOC90 ， QOC+QOG90 ， EOCQOG， tanEOCtanQOG， ， ， 整理得：5t266t+1600， 解得 t或 10（舍弃） 当 t秒时，OEOQ 20 1414. .（(2019(2019 山西山西）综合与
32、探究 如图，抛物线6 2 bxaxy经过点A（-2，0） ，B（4，0）两点，与y轴交于点C，点D是抛物线上一个 动点，设点D的横坐标为)41 ( mm.连接AC，BC，DB，DC. （1）求抛物线的函数表达式； （2）BCD的面积等于AOC的面积的 4 3 时，求m的值； （3）在 （2） 的条件下， 若点M是x轴上的一个动点， 点N是抛物线上一动点， 试判断是否存在这样的点M， 使得以点B，D，M，N为顶点的四边形是平行四边形，若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明 理由. 【答案】见解析。 【解析】 （1）抛物线cbxaxy 2 经过点A（-2，0） ，B（4，0） ， 4260
33、 16460 ab ab ，解得 3 4 3 2 a b ， 抛物线的函数表达式为 2 33 6 42 yxx （2）作直线DEx轴于点E，交BC于点G，作CFDE，垂足为F. 点A的坐标为（-2，0） ，OA=2 由0 x，得6y，点C的坐标为（0，6） ，OC=6 SOAC= 11 2 66 22 OA OC ，SBCD= 4 3 SAOC= 2 9 6 4 3 设直线BC的函数表达式为nkxy， 由B，C两点的坐标得 40 6 kn n ，解得 3 2 6 k n 直线BC的函数表达式为6 2 3 xy. 21 点G的坐标为 3 ( ,6), 2 mm 22 3333 6(6)3 422
34、4 DGmmmmm 点B的坐标为（4，0） ，OB=4 SBCD=SCDG+SBDG= 1111 () 2222 DG CFDG BEDG CFBEDG BO = 22 133 346 242 mmmm （） 2 39 6 22 mm，解得1 1 m（舍） ，3 2 m，m的值为 3 （3） 1234 (8,0),(0,0),( 14,0),(14,0)MMMM 如下图所示，以BD为边或者以BD为对角线进行平行四边形的构图 以BD为边进行构图，有 3 种情况，采用构造全等发进行求解. D点坐标为) 4 15 , 3(，所以 21,N N的纵坐标为 4 15 2 3315 6 424 xx，解得
35、3, 1 21 xx（舍） 可得 22 15 ( 1,),(0,0) 4 NM 34 ,N N的纵坐标为 4 15 时， 2 12 3315 6114,114 424 xxxx ， 33 15 (114,),( 14,0) 4 NM， 44 15 (114,),(14,0) 4 NM 以BD为对角线进行构图，有 1 种情况，采用中点坐标公式进行求解. 111 151515 ( 1,),(34( 1),0),(8,0) 444 NMM 22 1515. .（20192019湖南岳阳）湖南岳阳）操作体验：如图，在矩形ABCD中，点E.F分别在边AD.BC上，将矩形ABCD沿直线 EF折叠，使点D恰
36、好与点B重合，点C落在点C处点P为直线EF上一动点（不与E.F重合） ，过点P 分别作直线BE.BF的垂线，垂足分别为点M和N，以PM、PN为邻边构造平行四边形PMQN （1）如图 1，求证：BEBF； （2）特例感知：如图 2，若DE5，CF2，当点P在线段EF上运动时，求平行四边形PMQN的周长； （3）类比探究：若DEa，CFb 如图 3， 当点P在线段EF的延长线上运动时， 试用含 A.b的式子表示QM与QN之间的数量关系， 并证明； 如图 4，当点P在线段FE的延长线上运动时，请直接用含 A.b的式子表示QM与QN之间的数量关系 （不 要求写证明过程） 【答案】见解析。 【解析】本题
37、属于四边形综合题，考查了矩形的性质和判定，翻折变换，等腰三角形的性质，平行四边形 的性质，解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造特殊四边形解决问题，学会利用 面积法证明线段之间的关系，属于中考压轴题 （1）证明BEFBFE即可解决问题（也可以利用全等三角形的性质解决问题即可） 证明：如图 1 中， 四边形ABCD是矩形， ADBC，DEFEFB， 由翻折可知：DEFBEF， BEFEFB，BEBF （2）如图 2 中，连接BP，作EHBC于H，则四边形ABHE是矩形利用面积法证明PM+PNEH，利用勾股 23 定理求出AB即可解决问题 如图 2 中，连接BP，作EHBC于H，
38、则四边形ABHE是矩形，EHAB DEEBBF5，CF2， ADBC7，AE2， 在RtABE中，A90，BE5，AE2， AB， SBEFSPBE+SPBF，PMBE，PNBF， BFEHBEPM+BFPN， BEBF，PM+PNEH， 四边形PMQN是平行四边形， 四边形PMQN的周长2（PM+PN）2 （3）如图 3 中，连接BP，作EHBC于H由SEBPSBFPSEBF，可得BEPMBFPNBFEH， 由BEBF，推出PMPNEH，由此即可解决问题 如图 4，当点P在线段FE的延长线上运动时，同法可证：QMQNPNPM 证明：如图 3 中，连接BP，作EHBC于H EDEBBFa，CF
39、b， ADBCa+b， AEADDEb， EHAB， 24 SEBPSBFPSEBF， BEPMBFPNBFEH， BEBF， PMPNEH， 四边形PMQN是平行四边形， QNQM（PMPN） 如图 4，当点P在线段FE的延长线上运动时，同法可证：QMQNPNPM 1616. .（2012019 9 湖南邵阳）湖南邵阳）如图，二次函数yx 2+bx+c 的图象过原点，与x轴的另一个交点为（8，0） （1）求该二次函数的解析式； （2）在x轴上方作x轴的平行线y1m，交二次函数图象于 A.B两点，过 A.B两点分别作x轴的垂线，垂 足分别为点 D.点 C当矩形ABCD为正方形时，求m的值； （
40、3）在（2）的条件下，动点P从点A出发沿射线AB以每秒 1 个单位长度匀速运动，同时动点Q以相同的 速度从点A出发沿线段AD匀速运动，到达点D时立即原速返回，当动点Q返回到点A时，P、Q两点同时停 止运动， 设运动时间为t秒 （t0） 过点P向x轴作垂线， 交抛物线于点E， 交直线AC于点F， 问： 以 A.E.F、 Q四点为顶点构成的四边形能否是平行四边形若能，请求出t的值；若不能，请说明理由 【答案】见解析。 【解析】本题考查了待定系数法求二次函数解析式、二次函数图象上点的坐标特征、正方形的性质、待定 系数法求一次函数解析式、一次函数图象上点的坐标特征以及平行四边形的性质，解题的关键是：
41、（1）根 据点的坐标，利用待定系数法求出二次函数解析式； （2）利用正方形的性质，找出关于m的方程； （3）分 0 t4，4t7，7t8 三种情况，利用平行四边形的性质找出关于t的一元二次方程 25 （1）将（0，0） ， （8，0）代入yx 2+bx+c，得： ，解得：， 该二次函数的解析式为yx 2+ x （2）当ym时，x 2+ xm， 解得：x14，x24+， 点A的坐标为（4，m） ，点B的坐标为（4+，m） ， 点D的坐标为（4，0） ，点C的坐标为（4+，0） 矩形ABCD为正方形， 4+（4）m， 解得：m116（舍去） ，m24 当矩形ABCD为正方形时，m的值为 4 （3）
42、以 A.E.F、Q四点为顶点构成的四边形能为平行四边形 由（2）可知：点A的坐标为（2，4） ，点B的坐标为（6，4） ，点C的坐标为（6，0） ，点D的坐标为（2， 0） 设直线AC的解析式为ykx+a（k0） ， 将A（2，4） ，C（6，0）代入ykx+a，得： ，解得：， 直线AC的解析式为yx+6 当x2+t时，yx 2+ xt 2+ t+4，yx+6t+4， 点E的坐标为（2+t，t 2+ t+4） ，点F的坐标为（2+t，t+4） 以 A.E.F、Q四点为顶点构成的四边形为平行四边形，且AQEF， AQEF，分三种情况考虑： 当 0t4 时，如图 1 所示，AQt，EFt 2+ t+4（t+4）t 2+ t， tt 2+ t， 解得：t10（舍去） ，t24； 26 当 4t7 时，如图 2 所示，AQt4，EFt 2+ t+4（t+4）t 2+ t， t4t 2+ t， 解得：t32（舍去） ，t46； 当 7t8 时，AQt4，EFt+4（t 2+ t+4）t 2 t， t4t 2 t， 解得：t55（舍去） ，t65+（舍去） 综上所述：当以 A.E.F、Q四点为顶点构成的四边形为平行四边形时，t的值为 4 或 6
