1、1圆锥曲线定义的妙用1求动点轨迹例1一动圆与两圆：x2y21和x2y26x50都外切，则动圆圆心的轨迹为_解析x2y21是圆心为原点，半径为1的圆，x2y26x50化为标准方程为(x3)2y24，是圆心为A(3,0)，半径为2的圆设所求动圆圆心为P，动圆半径为r，如图，则PAPO1b0)的离心率等于，其焦点分别为A，B，C为椭圆上异于长轴端点的任意一点，则在ABC中，_.解析在ABC中，由正弦定理得，因为点C在椭圆上，所以由椭圆定义知CACB2a，而AB2c，所以3.答案33求离心率例3如图，F1，F2是椭圆C1：y21与双曲线C2的公共焦点，A，B分别是椭圆C1，双曲线C2在第二、四象限的公
2、共点若四边形AF1BF2为矩形，则双曲线C2的离心率是_解析由椭圆可知AF1AF24，F1F22.因为四边形AF1BF2为矩形，所以AFAFF1F12，所以2AF1AF2(AF1AF2)2(AFAF)16124，所以(AF2AF1)2AFAF2AF1AF21248，所以AF2AF12.因此对于双曲线有a，c，所以C2的离心率e.答案例4已知双曲线1(a0，b0)的左、右焦点分别为F1，F2，点P在双曲线的右支上，且PF14PF2，则此双曲线的离心率e的取值范围是_解析由双曲线的定义有PF1PF22a.又PF14PF2，PF1a，PF2a.点P在双曲线的右支上，PF2ca，ca，e，又e1，离心
3、率e的取值范围是.答案4求最值例5线段AB4，PAPB6，M是AB的中点，当P点在同一平面内运动时，PM的长度的最小值是_解析由于PAPB64AB，故由椭圆定义知P点的轨迹是以M为中心，A，B为焦点的椭圆，且a3，c2，b.于是PM的长度的最小值是b.答案例6已知F是双曲线y21的右焦点，P是双曲线右支上一动点，定点M(4,2)，求PMPF的最小值解设双曲线的左焦点为F，如图所示，则F(2,0)由双曲线的定义知，PFPF2a2，所以PFPF2，所以PMPFPMPF2，要使PMPF取得最小值，只需PMPF取得最小值，由图可知，当P，F，M三点共线时，PMPF最小，此时MF2，故PMPF的最小值为
4、22.2圆锥曲线的离心率问题求与离心率有关的问题的三大模板：模板一：利用公式直接求解，对于椭圆三个基本量a，b，c，它们之间具有关系a2b2c2；双曲线的三个基本量a，b，c，它们之间具有关系a2b2c2，知二求一，可求得离心率此种方法适用于已知椭圆、双曲线方程或相关性质的离心率的求解模板二：通过构造整体求解，将提供的椭圆、双曲线的几何关系转化为关于基本量a，b，c的方程或不等式，利用a，b，c的关系和e构造为关于e的方程或不等式，通过解方程或不等式求得离心率的值或取值范围模板三：利用数形结合求解，利用椭圆、双曲线的性质特征与图形的直观性，发现图形中的相关几何关系，建立关于基本量a，b，c的等
5、量关系或不等量关系，求解离心率的值或范围例1双曲线1(a0，b0)的焦点到相应准线的距离等于实轴长，则双曲线的离心率为_解析双曲线1(a0，b0)的焦点坐标(c,0)到相应准线x的距离等于实轴长2a，可得c2a，即c22aca20，解得c(1)a或c(1)a(舍去)，即离心率e1.答案1例2如图，在平面直角坐标系xOy中，已知A，B1，B2分别为椭圆C：1(ab0)的右、下、上顶点，F是椭圆C的右焦点若B2FAB1，则椭圆C的离心率是_解析由题意得，A(a,0)，B1(0，b)，B2(0，b)，F(c,0)，所以(c，b)，(a，b)，因为B2FAB1，所以0，即b2ac，所以c2aca20，
6、e2e10，又椭圆的离心率e(0,1)，所以e.答案例3已知双曲线E：1(a0，b0)若矩形ABCD的四个顶点在E上，AB，CD的中点为双曲线E的两个焦点，且2AB3BC，则双曲线E的离心率是_解析假设点A在第一象限，点B在第四象限，则A，B，所以AB，BC2c.由2AB3BC，c2a2b2，得离心率e2或e(舍去)，所以双曲线E的离心率为2.答案23 巧解直线和椭圆位置关系问题“设而不求”法的应用在直线和椭圆位置关系问题中，设而不求、整体代换是常用的运算技巧，在解题中要注意运用当直线和椭圆相交时要切记0是求参数范围的前提条件，不要因忘记造成不必要的失分例已知椭圆方程为1(ab0)，过点A(a
7、,0)，B(0，b)的直线的倾斜角为，原点到该直线的距离为.(1)求椭圆的方程；(2)斜率大于零的直线过D(1,0)与椭圆分别交于点E，F，若2，求直线EF的方程；(3)对于D(1,0)，是否存在实数k，使得直线ykx2分别交椭圆于点P，Q，且DPDQ，若存在，求出k的值，若不存在，请说明理由思路点拨解(1)由，ab，得a，b1，所以椭圆的方程是y21.(2)设EF：xmy1(m0)，代入y21，得(m23)y22my20.设E(x1，y1)，F(x2，y2)由2，得y12y2，由y1y2y2，y1y22y，得2，m1，m1(舍去)，直线EF的方程为xy1，即xy10.(3)记P(x1，y1)
8、，Q(x2，y2)将ykx2代入y21，得(3k21)x212kx90，(*)x1，x2是此方程的两个相异实根36k2360，即k21，设PQ的中点为M，则xM，yMkxM2.由DPDQ，得DMPQ，kDM，3k24k10，得k1或k.但k1，k均不能使方程(*)有两相异实根，满足条件的k不存在.4解析几何中的定点、定值与最值问题1定点问题圆锥曲线中定点问题的两种解法：(1)引进参数法，引进动点的坐标或动线中系数为参数表示变化量，再研究变化的量与参数何时没有关系，找到定点(2)特殊到一般法，根据动点或动线的特殊情况探索出定点，再证明该定点与变量无关例1如图，椭圆C：1(ab0)的顶点A1，A2
9、，B1，B2，4，直线yx与圆O：x2y2b2相切(1)求椭圆C的离心率；(2)若P是椭圆C上除顶点外的任意点，直线A1P交y轴于点F，直线A1B1交B2P于点E.若设B2P的斜率为k，探究EF是否过定点？如果有，求出其定点，如果没有，说明理由解(1)因为直线yx与圆O相切，所以b，即b1，又因为4，所以2a2b4，所以a2，所以椭圆C的方程为y21，所以离心率e.(2)由(1)可知A1(2,0)，B1(0，1)，B2(0,1)，因为B2P的斜率为k，所以直线B2P的方程为ykx1，由消去y，得(14k2)x28kx0，其中0，所以xP，所以P，则直线A1P的斜率，直线A1P的方程为y(x2)
10、，令x0，则y，即F，因为直线A1B1的方程为x2y20，由解得所以E，所以EF的斜率k0，所以直线EF的方程为yx，所以2k(xy1)(y1)0，所以可求定点为(2,1)，即直线EF过定点(2,1)2定值问题定值问题是解析几何中的一种常见问题，基本的求解方法是：先用变量表示所需证明的不变量，然后通过推导和已知条件，消去变量，得到定值，即解决定值问题首先是求解非定值问题，即变量问题，最后才是定值问题例2在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆1(ab0)的焦距为2，离心率为，椭圆的右顶点为A.(1)求该椭圆的标准方程；(2)过点D(，)作直线PQ交椭圆于两个不同点P，Q，求证：直线AP，AQ的斜率之
11、和为定值(1)解由题意可知，椭圆1(ab0)，焦点在x轴上，2c2，c1，椭圆的离心率e，则a，b2a2c21，则椭圆的标准方程为y21.(2)证明设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，A(，0)，由题意得PQ的方程为yk(x)，则整理得(2k21)x2(4k24k)x4k28k20，由根与系数的关系可知，x1x2，x1x2，则y1y2k(x1x2)2k2，则kAPkAQ，由y1x2y2x1k(x1)x2k(x2)x12kx1x2(k)(x1x2)，kAPkAQ1，直线AP，AQ的斜率之和为定值1.3最值问题解决圆锥曲线中的最值问题，一般有两种方法：一是几何法，特别是用圆锥曲线的定义和平面几何
12、的有关结论来解非常巧妙；二是代数法，将圆锥曲线中的最值问题转化为函数问题(即根据条件列出所求的目标函数)，然后根据函数的特征选用参数法、配方法、判别式法、三角有界法、函数单调法及基本不等式法等，求解最大或最小值例3已知椭圆C：1(ab0)的离心率为，且点在椭圆C上(1)求椭圆C的标准方程；(2)若直线l交椭圆C于P，Q两点，线段PQ的中点为H，O为坐标原点，且OH1，求POQ面积的最大值解(1)由已知得，1，解得a24，b21，椭圆C的标准方程是y21.(2)设l与x轴的交点为D(n,0)，直线l：xmyn，P(x1，y1)，Q(x2，y2)，联立消去x，得(4m2)y22mnyn240，y1
13、,2，y1y2，即H，由OH1，得n2，则SPOQOD|y1y2|n|y1y2|，令n2(y1y2)2n2(y1y2)24y1y21216.设t4m2(t4)，则，当且仅当t，即t12时，SPOQ1，所以POQ面积的最大值为1.5圆锥曲线中的存在探索型问题探索型问题通常采用“肯定顺推法”，将不确定性问题明朗化其步骤为：假设满足条件的元素(点、直线、曲线或参数)存在，用待定系数法设出，列出关于待定系数的方程组，若方程组有实数解，则元素(点、直线、曲线或参数)存在；否则，元素(点、直线、曲线或参数)不存在反证法与验证法也是求解探索型问题常用的方法题型一给出结论，探索条件例1如图，在平面直角坐标系x
14、Oy中，已知椭圆C：1的左、右顶点分别为A，B，过右焦点F的直线l与椭圆C交于P，Q两点(点P在x轴上方)(1)若QF2FP，求直线l的方程；(2)设直线AP，BQ的斜率分别为k1，k2.是否存在常数，使得k1k2？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由解(1)因为a24，b23，所以c1，所以F的坐标为(1,0)，设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，直线l的方程为xmy1，代入椭圆方程，得(43m2)y26my90，则y1，y2.若QF2PF，则20，解得m，故直线l的方程为x2y0.(2)由(1)知，y1y2，y1y2，所以my1y2(y1y2)，所以，故存在常数，使得k1k2.题型二特
15、殊入手，论证一般例2如图，在平面直角坐标系xOy中，过椭圆C：1(ab0)内一点A(0,1)的动直线l与椭圆相交于M，N两点，当l平行于x轴和垂直于x轴时，l被椭圆C所截得的线段长均为2.(1)求椭圆C的方程；(2)是否存在与点A不同的定点B，使得对任意过点A的动直线l都满足？若存在，求出定点B的坐标；若不存在，请说明理由解(1)当l垂直于x轴时，2b2，从而b.当l平行于x轴时，点(，1)在椭圆C上，所以1，解得a2.所以椭圆C的方程为1.(2)设存在与点A不同的定点B满足.当l平行于x轴时，AMAN，所以BMBN，从而点B在y轴上，设B(0，t)；当l垂直于x轴时，不妨设M(0，)，N(0
16、，)由，可得，解得t1(舍去)或t2，即B(0,2)下面证明对任意斜率存在且不为0的动直线l都满足.设直线l的方程为ykx1，M(x1，y1)，N(x2，y2)联立消去y，得(12k2)x24kx20，所以x1x2，x1x2.因为，要证，只要证，只要证x(1k2)x2kx21x(1k2)x2kx11，即证2kxx22kxx1xx0，即证(x1x2)2kx1x2(x1x2)0.因为2kx1x2(x1x2)2k0，所以.所以存在与点A不同的定点B(0,2)，使得对任意过点A的动直线l都满足.题型三同时探索条件和结论，分类讨论例3如图，椭圆E：1(ab0)的离心率是，点P(0,1)在短轴CD上，且1
17、.(1)求椭圆E的方程；(2)设O为坐标原点，过点P的动直线与椭圆交于A，B两点是否存在常数，使得为定值？若存在，求的值；若不存在，请说明理由解(1)由已知，得点C，D的坐标分别为(0，b)，(0，b)，又点P的坐标为(0,1)，且1，由解得a2，b，所以椭圆E的方程为1.(2)当直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为ykx1，A，B的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，联立消去y，得(2k21)x24kx20，其判别式(4k)28(2k21)0，所以x1x2，x1x2，从而x1x2y1y2x1x2(y11)(y21)(1)(1k2)x1x2k(x1x2)12.所以当1时，23，此时3
18、为定值当直线AB斜率不存在时，直线AB即为直线CD，此时，213.故存在常数1，使得为定值3.6圆锥曲线中的易错点剖析1忽视定义中的条件而致误例1平面内一点M到两定点F1(0，4)，F2(0,4)的距离之和为8，则点M的轨迹为_错解根据椭圆的定义知，点M的轨迹为椭圆错因分析在椭圆的定义中，点M到两定点F1，F2的距离之和必须大于两定点的距离，即MF1MF2F1F2，即2a2c.而在本题中MF1MF2F1F2，所以点M的轨迹不是椭圆，而是线段F1F2.正解因为点M到两定点F1，F2的距离之和为F1F2，所以点M的轨迹是线段F1F2.答案线段2忽视标准方程的特征而致误例2设抛物线ymx2 (m0)
19、的准线与直线y1的距离为3，求抛物线的标准方程错解抛物线ymx2 (m0)的准线方程为y.又与直线y1的距离为3的直线为y2或y4.故2或4.所以m8或m16.所以抛物线的标准方程为y8x2或y16x2.错因分析错解忽视了抛物线标准方程中的系数，应位于一次项前这个特征，故本题应先化为x2y的形式，再求解.正解方程ymx2 (m0)可化为x2y，其准线方程为y.由题意知2或4，解得m或m.则所求抛物线的标准方程为x28y或x216y.3求解抛物线标准方程时，忽略对焦点位置讨论致误例3抛物线的焦点F在x轴上，点A(m，3)在抛物线上，且AF5，求抛物线的标准方程错解一因为抛物线的焦点F在x轴上，且
20、点A(m，3)在抛物线上，所以抛物线方程可设为y22px(p0)设点A到准线的距离为d，则dAFm，所以解得或所以抛物线方程为y22x或y218x.错解二因为抛物线的焦点F在x轴上，且点A(m，3)在抛物线上，所以当m0时，点A在第四象限，抛物线方程可设为y22px(p0)设点A到准线的距离为d，则dAFm，所以解得或所以抛物线方程为y22x或y218x.当m0)，设点A到准线的距离为d，则dAFm，所以解得或(舍去)所以抛物线方程为y22(5)x.综上所述，抛物线方程为y22(5)x或y22x或y218x.正解因为抛物线的焦点F在x轴上，且点A(m，3)在抛物线上，所以当m0时，点A在第四象
21、限，抛物线方程可设为y22px(p0)，设点A到准线的距离为d，则dAFm，所以解得或所以抛物线方程为y22x或y218x.当m0)，设A到准线的距离为d，则dAFm，所以解得或所以抛物线方程为y22x或y218x.综上所述，抛物线方程为y22x或y218x或y22x或y218x.7圆锥曲线中的数学思想方法1方程思想方程思想就是分析数学问题中变量间的等量关系，建立方程或方程组，或者构造方程，通过解方程或解方程组，或者运用方程的性质去分析、转化问题，使问题得以解决在本章中，方程思想的应用最为广泛例1已知直线yx2和椭圆1 (ab0)相交于A，B两点，且a2b，若AB2，求椭圆的方程解由消去y并整
22、理，得x24x82b20.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由根与系数的关系，得x1x24，x1x282b2.AB2，2，即2，解得b24，故a24b216.所求椭圆的方程为1.2函数思想很多与圆锥曲线有关的问题中的各个数量在运动变化时，都是相互联系、相互制约的，它们之间构成函数关系这类问题若用函数思想来分析、寻找解题思路，会有很好的效果一些最值问题常用函数思想，运用根与系数的关系求弦的中点和弦长问题，是经常使用的方法例2若点(x，y)在1 (b0)上运动，求x22y的最大值解1(b0)，x240，即byb.x22y42y2y424.当b，即0b，即b4时，若yb，则x22y取得最大值，其最大值为2b.综上所述，x22y的最大值为3分类讨论思想在本章中，涉及的字母参数较多，同时圆锥曲线的焦点可能在x轴上，也可能在y轴上，所以必须要注意分类讨论例3求与双曲线y21有共同的渐近线且焦距为10的双曲线的方程解由题意可设所求双曲线的方程为y2 (0)，即1 (0)当0时，c24525，即5，所求双曲线的方程为1.当0时，c2(4)()525，即5，所求双曲线的方程为1.综上所述，所求双曲线的方程为1或1.
