1、2.4抛物线2.4.1抛物线的标准方程学习目标1.掌握抛物线的定义及焦点、准线的概念.2.掌握抛物线的标准方程及其推导过程.3.明确抛物线标准方程中p的几何意义，能解决简单的求抛物线标准方程的问题知识点抛物线的标准方程思考1在抛物线方程中p有何意义？抛物线的开口方向由什么决定？答案p是抛物线的焦点到准线的距离，抛物线方程中一次项决定开口方向思考2已知抛物线的标准方程，怎样确定抛物线的焦点位置和开口方向？答案一次项变量为x(或y)，则焦点在x轴(或y轴)上若系数为正，则焦点在正半轴上；若系数为负，则焦点在负半轴上焦点确定，开口方向也随之确定梳理抛物线的标准方程有四种类型图形标准方程y22px(p
2、0)y22px(p0)x22py(p0)x22py(p0)焦点坐标准线方程xxyy1抛物线y22x(p0)的焦点坐标为(1,0)()2到定点的距离与到定直线的距离相等的点的轨迹是抛物线()3抛物线的方程都是y关于x的二次函数()4方程x22py是表示开口向上的抛物线()类型一求抛物线的标准方程例1分别根据下列条件求抛物线的标准方程：(1)已知抛物线的焦点坐标是F(0，2)；(2)准线方程为y；(3)焦点在x轴负半轴上，焦点到准线的距离是5；(4)过点A(2,3)解(1)因为抛物线的焦点在y轴的负半轴上，且2，则p4.所以所求抛物线的标准方程为x28y.(2)因为抛物线的准线平行于x轴，且在x轴
3、上面，且，则p.所以所求抛物线的标准方程为x2y.(3)由焦点到准线的距离为5知，p5.又焦点在x轴负半轴上，所以所求抛物线的标准方程为y210x.(4)由题意知，抛物线方程可设为y2mx(m0)或x2ny(n0)将点A(2,3)的坐标代入，得32m2或22n3，所以m或n.所以所求抛物线方程为y2x或x2y.反思与感悟求抛物线方程，通常用待定系数法，若能确定抛物线的焦点位置，则可设出抛物线的标准方程，求出p值即可若抛物线的焦点位置不确定，则要分情况讨论焦点在x轴上的抛物线方程可设为y2ax(a0)，焦点在y轴上的抛物线方程可设为x2ay(a0)跟踪训练1分别求满足下列条件的抛物线的标准方程：
4、(1) 过点(3，4)；(2) 焦点在直线x3y150上，且焦点在坐标轴上；(3)焦点到准线的距离为.解(1)方法一点(3，4)在第四象限，设抛物线的标准方程为y22px(p0)或x22p1y(p10)把点(3，4)分别代入y22px和x22p1y，得(4)22p3,322p1(4)，即2p，2p1.所求抛物线的标准方程为y2x或x2y.方法二点(3，4)在第四象限，设抛物线的方程为y2ax(a0)或x2by(b0)把点(3，4)分别代入，可得a，b.所求抛物线的标准方程为y2x或x2y.(2)令x0，得y5；令y0，得x15，抛物线的焦点坐标为(0，5)或(15,0)所求抛物线的标准方程为x
5、220y或y260x.(3)由焦点到准线的距离为，得p，故所求抛物线的标准方程为y22x或y22x或x22y或x22y.类型二求抛物线的焦点坐标及准线方程例2已知抛物线的方程如下，求其焦点坐标和准线方程：(1)y26x；(2)3x25y0；(3)y4x2；(4)y2a2x(a0)解(1)由方程y26x知，抛物线开口向左，2p6，p3，所以焦点坐标为，准线方程为x.(2)将3x25y0变形为x2y，知抛物线开口向下，2p，p，所以焦点坐标为，准线方程为y.(3)将y4x2变形为x2y，可知抛物线开口向上，2p，p，所以焦点坐标为，准线方程为y.(4)由方程y2a2x(a0)知，抛物线开口向右，2
6、pa2，p，所以焦点坐标为，准线方程为x.引申探究若将本例(4)中条件改为yax2(a0)，结果又如何？解yax2可变形为x2y，所以焦点坐标为，准线方程为y.反思与感悟如果已知抛物线的标准方程，求它的焦点坐标、准线方程时，首先要判断抛物线的对称轴和开口方向一次项的变量若为x(或y)，则x轴(或y轴)是抛物线的对称轴，一次项系数的符号决定开口方向跟踪训练2若抛物线y22px的焦点坐标为(1,0)，则p_，准线方程为_答案2x1解析由1知，p2，则准线方程为x1.类型三抛物线定义的应用命题角度1与抛物线有关的轨迹方程例3若位于y轴右侧的动点M到F的距离比它到y轴的距离大，求点M的轨迹方程解由于位
7、于y轴右侧的动点M到F的距离比它到y轴的距离大，所以动点M到F的距离与它到直线l：x的距离相等由抛物线的定义知，动点M的轨迹是以F为焦点，x为准线的抛物线，其方程应为y22px(p0)的形式，而，所以p1,2p2，故点M的轨迹方程为y22x(x0)反思与感悟满足抛物线的定义，可直接利用定义写出轨迹方程，避免了繁琐的化简跟踪训练3平面上动点P到定点F(1,0)的距离比点P到y轴的距离大1，求动点P的轨迹方程解由题意知，动点P到定点F(1,0)的距离比到y轴的距离大1.由于点F(1,0)到y轴的距离为1，故当x2，所以点B在抛物线内部过点B作BQ垂直于准线，垂足为点Q，交抛物线于点P1，连结P1F
8、.此时，由抛物线定义知，P1QP1F.所以PBPFP1BP1QBQ314，即PBPF的最小值为4.反思与感悟解决最值问题：在抛物线中求解与焦点有关的两点间距离和的最小值时，往往用抛物线的定义进行转化，即化折线为直线来解决最值问题跟踪训练4已知直线l1：4x3y60和直线l2：x1，抛物线y24x上一动点P到直线l1和直线l2的距离之和的最小值是_答案2解析由题意知，直线l2：x1为抛物线y24x的准线由抛物线的定义知，点P到l2的距离等于点P到抛物线的焦点F(1,0)的距离，故所求最值可转化为在抛物线y24x上找一个点P，使得点P到点F(1,0)和到直线l1的距离之和最小，最小值为F(1,0)
9、到直线l1：4x3y60的距离，即d2.1抛物线yx2的准线方程是_答案y1解析由yx2，得x24y，则抛物线的焦点在y轴正半轴上，且2p4，即p2，因此准线方程为y1.2设抛物线y28x上一点P到y轴的距离是4，则点P到该抛物线焦点的距离是_答案6解析抛物线y28x的准线方程为x2，则点P到准线的距离是6.由抛物线的定义可知，点P到抛物线焦点的距离是6.3根据下列条件写出抛物线的标准方程：(1)准线方程为x1._.(2)焦点在x轴的负半轴上，焦点到准线的距离是2._.答案(1)y24x(2)y24x解析(1)x1，p2.又焦点在x轴上，则抛物线的标准方程为y24x.(2)焦点到准线的距离为p
10、2，且焦点在x轴的负半轴上，抛物线的标准方程为y24x.4若椭圆1(p0)的左焦点在抛物线y22px的准线上，则p为_答案解析由题意知，左焦点为，则c.a23，b2，3，得p.5若抛物线y22px(p0)上有一点M，其横坐标为9，它到焦点的距离为10，求抛物线方程和M点的坐标解由抛物线定义，设焦点为F.则该抛物线的准线方程为x.由题意设点M到准线的距离为MN，则MNMF10，即(9)10，p2.故抛物线方程为y24x.将M(9，y0)代入抛物线方程，得y06.M点的坐标为(9,6)或(9，6)1焦点在x轴上的抛物线，其标准方程可以统设为y2mx(m0)，此时焦点坐标为F，准线方程为x；焦点在y轴上的抛物线，其标准方程可以统设为x2my(m0)，此时焦点坐标为F，准线方程为y.2设M是抛物线上一点，焦点为F，则线段MF叫做抛物线的焦半径若M(x0，y0)在抛物线y22px(p0)上，则根据抛物线的定义，抛物线上的点到焦点的距离和到准线的距离可以相互转化，所以焦半径MFx0.3对于抛物线上的点，利用定义可以把其到焦点的距离转化为到准线的距离，也可以把其到准线的距离转化为到焦点的距离，因此可以解决有关距离的最值问题
