1、2.3总体特征数的估计2.3.1平均数及其估计学习目标1.了解平均数为什么是“最理想”的近似值.2.会计算一组数据的平均数.3.会根据频率分布表或频率分布直方图估计平均数知识点一平均数(1)一般地，使(xa1)2(xa2)2(xan)2nx22(a1a2an)xaaa最小的x称为这n个数据a1，a2，an的平均数或均值(2)n个数据a1，a2，a3，an的平均数.知识点二平均数的估计一般地，若取值为x1，x2，xn的频率分别为p1，p2，pn，则其平均数为x1p1x2p2xnpn.知识点三总体特征数1总体特征数的定义在数学中，通常把能反映总体某种特征的量称为总体特征数2常见的总体特征数(1)众
2、数：一组数据中出现次数最多的数(2)中位数：一组数据按大小顺序排列后，处于中间位置的数如果数据的个数是偶数，则取中间两个数的平均数(3)平均数：n个数据x1，x2，x3，xn，则平均数.1中位数是一组数据中间的数()2众数是一组数据中出现次数最多的数()3如果在n个数据中，x1，x2，xn出现的频率分别为f1，f2，fn，则.()4利用平均数性质：如果x1，x2，xn的平均数为，那么mx1a，mx2a，mxna的平均数是ma.()5平均数反映了总体的平均水平()题型一平均数的计算例1一个球队所有队员的身高如下(单位：cm)：178,179,181,182,176,183,176,180,183
3、,175,181,185,180,184，问这个球队的队员平均身高是多少？(精确到1 cm)解方法一利用平均数的公式计算(178179181180184)2 523180(cm)方法二取a180，将上面各数据同时减去180，得到一组新数据：2，1,1,2，4,3，4,0,3，5,1,5,0,4.(21124340351504)30.2，a0.2180180(cm)反思感悟(1)在一般情况下，要计算一组数据的平均数可直接使用平均数的计算公式(2)当数据较大，且大部分数据在某一常数左、右波动时，可以将各数据同时减去这一常数，以减小运算量跟踪训练1已知样本数据：10,8,6,10,8,13,10,1
4、0,10,7,8,9,12,8,11,12,9,10,11,12，列出频率分布表，求样本平均数解数据中最大值为13，最小值为6，两者之差为7.取组距为2，分成4组，即5.5,7.5)，7.5,9.5)，9.5,11.5)，11.5,13.5，列频率分布表如下：分组频数频率5.5,7.5)20.17.5,9.5)60.39.5,11.5)80.411.5,13.540.2合计201样本平均数(1086101112)9.7.题型二利用频率分布表或直方图估计平均数例2下面是某校学生日睡眠时间(单位：h)的抽样频率分布表，试估计该校学生的日平均睡眠时间.睡眠时间人数频率6,6.5)50.056.5,7
5、)170.177,7.5)330.337.5,8)370.378,8.5)60.068.5,920.02合计1001解方法一总睡眠时间约为6.2556.75177.25337.75378.2568.752739(h)故平均睡眠时间约为7.39 h.方法二求组中值与对应频率之积的和6250.056.750.177.250.337.750.378.250.068.750.027.39(h)答估计该校学生的日平均睡眠时间约为7.39 h.反思感悟一般地，若取值为x1，x2，xn的频率分别为p1，p2，pn，则其平均数为x1p1x2p2xnpn.跟踪训练2一批乒乓球，随机抽取100个进行检查，球的直径
6、频率分布直方图如图试估计这个样本的平均数解平均数为39.960.139.980.2400.540.020.239.996.题型三众数、中位数、平均数例3为了普及环保知识，增强环保意识，某学校随机抽取30名学生参加环保知识测试，得分(十分制)如图所示，假设得分的中位数为m，众数为n，平均值为，则m，n，的大小关系为_答案nm解析由题目所给的统计图可知，30个数据按大小顺序排列好后，中间两个数为5,6，故中位数为m5.5.又众数为n5，平均值.所以nm.反思感悟求众数、中位数、平均数，如果是原始数据则按照其定义法分别求得；如果是频率分布表或频率分布直方图，则根据样本估计跟踪训练3在一次中学生田径运
7、动会上，参加男子跳高的17名运动员的成绩如表所示：成绩(单位：m)1.501.601.651.701.751.801.851.90人数23234111分别求这些运动员成绩的众数、中位数与平均数解在17个数据中，1.75出现了4次，出现的次数最多，即这组数据的众数是1.75.题中表里的17个数据可看成是按从小到大的顺序排列的，其中第9个数据1.70是最中间的一个数据，即这组数据的中位数是1.70；这组数据的平均数是(1.5021.6031.901)1.69(m)数字特征的应用典例某公司的33名职工的月工资(单位：元)如下表：职位董事长副董事长董事总经理经理管理员职员人数11215320工资5 5
8、005 0003 5003 0002 5002 0001 500(1)求该公司职工月工资的平均数、中位数、众数；(2)若董事长、副董事长的工资分别从5 500元、5 000元提升到30 000元、20 000元，那么公司职工的月工资的新的平均数、中位数和众数又是什么？(3)你认为哪个统计量更能反映这个公司职工的工资水平？解(1)公司职工月工资的平均数为2 091(元)若把所有数据从大到小排序，则得到中位数是1 500元，众数是1 500元(2)当董事长、副董事长的工资提升后，职工月工资的平均数为3 288(元)中位数是1 500元，众数是1 500元(3)在这个问题中，中位数和众数都能反映出这
9、个公司职工的工资水平，因为公司少数人的工资额与大多数人的工资额差别较大，这样导致平均数与中位数偏差较大，所以平均数不能反映这个公司职工的工资水平素养评析(1)如果样本平均数大于样本中位数，说明数据中存在许多较大的极端值；反之，说明数据中存在许多较小的极端值在实际应用中，如果同时知道样本中位数和样本平均数，可以使我们了解样本数据中极端数据的信息，帮助我们作出决策(2)像本题这样，利用收集和整理数据，获得和解释结论，是数据处理的数学核心素养1下列说法错误的是()A在统计里，把所需考察对象的全体叫做总体B一组数据的平均数一定大于这组数据中的每个数据C平均数、众数与中位数从不同的角度描述了一组数据的集
10、中趋势D众数是一组数据中出现次数最多的数答案B解析平均数不大于最大值，不小于最小值2对于数据3,3,2,3,6,3,10,3,6,3,2，有下列结论：这组数据的众数是3；这组数据的众数与中位数的数值不相等；这组数据的中位数与平均数的数值相等；这组数据的平均数与众数的数值相等其中正确结论的个数为()A1 B2 C3 D4答案A解析在这11个数中，数3出现了6次，频率最高，故众数是3；将这11个数按从小到大的顺序排列得2，2，3，3，3，3，3，3，6，6，10，中间数据是3，故中位数是3；而平均数4.故只有正确3下列关于平均数、中位数、众数的说法中正确的一个是()A中位数可以准确地反映出总体的情
11、况B平均数可以准确地反映出总体的情况C众数可以准确地反映出总体的情况D平均数、中位数、众数都有局限性，都不能准确地反映出总体的情况答案D4某高校有甲，乙两个数学建模兴趣班，其中甲班40人，乙班50人现分析两个班的一次考试成绩，算得甲班的平均成绩是90分，乙班的平均成绩是81分，则该校数学建模兴趣班的平均成绩是_分答案85解析平均成绩为85(分)5样本容量为100的频率分布直方图如图所示，根据样本频率分布直方图，得平均数为_答案14.84解析平均数100.06120.1140.4160.24180.214.84.1能反映总体某种特征的量称为总体特征数，如平均数，中位数，由于总体特征数通常难以获得，故常以样本特征数估计总体特征数2平均数是离差平方和最小的近似值，计算器、计算机均有专门的程序，手工计算要细致，不要漏加或重复3若数据xi的频率为pi(i1,2，n)，则ipi，该公式可以用在频率分布表中估计平均数
