1、2.1.4两条直线的交点一、选择题1.已知直线l1:3x4y50与l2:3x5y60相交,则它们的交点是()A. B.C. D.答案B解析联立方程组解得即两直线的交点坐标为.2.若三条直线2x3y80,xy1和xky0相交于一点,则k的值为()A. B.C.2 D.2答案A解析由方程组得直线2x3y80与xy10的交点坐标为(1,2),代入直线xky0,得k.3.过两直线3xy10与x2y70的交点,并且与第一条直线垂直的直线方程是()A.x3y70 B.x3y130C.x3y60 D.x3y50答案B解析直线3xy10与x2y70的交点为(1,4),与3xy10垂直,得斜率为,由点斜式,得y
2、4(x1),即x3y130.4.过l1:3x5y100和l2:xy10的交点,且平行于l3:x2y50的直线方程为()A.8x16y210 B.8x16y190C.8x16y170 D.8x16y150答案A解析由解得交点坐标为,故所求直线过点且与x2y50平行,可设方程为x2yC0(C5),所以2C0,故C,所以所求直线方程为x2y0,即为8x16y210.5.已知点A(0,1),点B在直线xy10上,直线AB垂直于直线x2y30,则点B的坐标是()A.(3,2) B.(2,3)C.(2,1) D.(1,2)答案B解析直线AB垂直于直线x2y30,kAB2.又直线AB过点(0,1),直线AB
3、的方程为y2x1,解方程组得B(2,3).6.若两条直线2xmy40和2mx3y60的交点在第二象限,则实数m的取值范围是()A. B.C. D.(2,)答案C解析解出两直线的交点坐标为.由交点在第二象限,得解得m.二、填空题7.若a,b满足a2b1,则直线ax3yb0必过的定点坐标是_.答案解析因为a2b1,所以a12b,所以直线ax3yb0可化为(12b)x3yb0,即x3y(2x1)b0.由解得即直线ax3yb0必过的定点坐标是.8.若直线x2y2k0与直线2x3yk0的交点在直线3xy0上,则k的值为_.答案0解析由得交点坐标为(4k,3k),代入3xy0,解得k的值为0.9.已知三条
4、直线xy0,xy0,xay3构成三角形,则a的取值范围是_.答案aR|a1解析xy0与xy0相交于原点,无论a为何值,直线xay3总不经过原点,故只需直线xay3与另两条直线均不平行即可,即a1.10.若直线l:ykx与直线l1:2x3y60的交点位于第一象限,则直线l的倾斜角的取值范围是_.答案解析如图,直线l1:2x3y60过A(3,0),B(0,2),而l过定点C(0,),由图象可知l的倾斜角的取值范围是.三、解答题11.已知a为实数,两直线l1:axy10,l2:xya0相交于一点,求证:交点不可能在第一象限及x轴上.证明若a1,则l1l2,不符合题意,所以a1.解方程组得所以两条直线
5、的交点坐标为,显然,0,故交点不可能在x轴上.当a1时,0,0,此时交点在第二象限;当1a1时,0,0,此时交点在第四象限;当a1时,0,1,此时交点在y轴上;当a1时,0.0,此时交点在第三象限.综上所述,交点不可能在第一象限及x轴上.12.求经过直线l1:7x8y10和l2:2x17y90的交点,且垂直于直线2xy70的直线方程.解由方程组解得所以交点坐标为.又因为所求直线垂直于直线2xy70,所以所求直线斜率为k,所以所求直线方程为27x54y370.13.当0a2时,直线l1:ax2y2a4和l2:2xa2y2a24与坐标轴围成一个四边形,求使四边形的面积最小时a的值.解如图,直线l1
6、:a(x2)2(y2)0,l1过定点B(2,2).直线l2:(2x4)a2(y2)0,由2x40和y20得l2也过定点B(2,2).l1与y轴交于点A(0,2a),l2与x轴交于点C(a22,0).S四边形OABCSAOBSBOC(2a)2(a22)2a2a42.当a时,S取最小值.即四边形OABC的面积最小时,a的值为.14.已知两条直线2x3yk0和xky120的交点在y轴上,那么k的值是_.答案6解析联立两条直线的方程得解得x,两直线交点在y轴上,0,k6(经检验知符合题意).15.已知三条直线l1:4xy40,l2:mxy0,l3:2x3my40.(1)若直线l1,l2,l3交于一点,求实数m的值;(2)若直线l1,l2,l3不能围成三角形,求实数m的值.解(1)直线l1,l2,l3交于一点,l1与l2不平行,m4.由得即l1与l2的交点坐标为,代入l3的方程,得3m40,解得m1或,经检验符合题意.(2)若l1,l2,l3交于一点,则m1或;若l1l2,则m4;若l1l3,则m;若l2l3,则不存在满足条件的实数m.综上,可得m的值为1或或4或.