1、2.1.4两条直线的交点一、选择题1.已知直线l1：3x4y50与l2：3x5y60相交，则它们的交点是()A. B.C. D.答案B解析联立方程组解得即两直线的交点坐标为.2.若三条直线2x3y80，xy1和xky0相交于一点，则k的值为()A. B.C.2 D.2答案A解析由方程组得直线2x3y80与xy10的交点坐标为(1，2)，代入直线xky0，得k.3.过两直线3xy10与x2y70的交点，并且与第一条直线垂直的直线方程是()A.x3y70 B.x3y130C.x3y60 D.x3y50答案B解析直线3xy10与x2y70的交点为(1,4)，与3xy10垂直，得斜率为，由点斜式，得y
2、4(x1)，即x3y130.4.过l1：3x5y100和l2：xy10的交点，且平行于l3：x2y50的直线方程为()A.8x16y210 B.8x16y190C.8x16y170 D.8x16y150答案A解析由解得交点坐标为，故所求直线过点且与x2y50平行，可设方程为x2yC0(C5)，所以2C0，故C，所以所求直线方程为x2y0，即为8x16y210.5.已知点A(0，1)，点B在直线xy10上，直线AB垂直于直线x2y30，则点B的坐标是()A.(3,2) B.(2,3)C.(2,1) D.(1,2)答案B解析直线AB垂直于直线x2y30，kAB2.又直线AB过点(0，1)，直线AB
3、的方程为y2x1，解方程组得B(2,3).6.若两条直线2xmy40和2mx3y60的交点在第二象限，则实数m的取值范围是()A. B.C. D.(2，)答案C解析解出两直线的交点坐标为.由交点在第二象限，得解得m.二、填空题7.若a，b满足a2b1，则直线ax3yb0必过的定点坐标是_.答案解析因为a2b1，所以a12b，所以直线ax3yb0可化为(12b)x3yb0，即x3y(2x1)b0.由解得即直线ax3yb0必过的定点坐标是.8.若直线x2y2k0与直线2x3yk0的交点在直线3xy0上，则k的值为_.答案0解析由得交点坐标为(4k，3k)，代入3xy0，解得k的值为0.9.已知三条
4、直线xy0，xy0，xay3构成三角形，则a的取值范围是_.答案aR|a1解析xy0与xy0相交于原点，无论a为何值，直线xay3总不经过原点，故只需直线xay3与另两条直线均不平行即可，即a1.10.若直线l：ykx与直线l1：2x3y60的交点位于第一象限，则直线l的倾斜角的取值范围是_.答案解析如图，直线l1：2x3y60过A(3,0)，B(0,2)，而l过定点C(0，)，由图象可知l的倾斜角的取值范围是.三、解答题11.已知a为实数，两直线l1：axy10，l2：xya0相交于一点，求证：交点不可能在第一象限及x轴上.证明若a1，则l1l2，不符合题意，所以a1.解方程组得所以两条直线
5、的交点坐标为，显然，0，故交点不可能在x轴上.当a1时，0，0，此时交点在第二象限；当1a1时，0，0，此时交点在第四象限；当a1时，0，1，此时交点在y轴上；当a1时，0.0，此时交点在第三象限.综上所述，交点不可能在第一象限及x轴上.12.求经过直线l1：7x8y10和l2：2x17y90的交点，且垂直于直线2xy70的直线方程.解由方程组解得所以交点坐标为.又因为所求直线垂直于直线2xy70，所以所求直线斜率为k，所以所求直线方程为27x54y370.13.当0a2时，直线l1：ax2y2a4和l2：2xa2y2a24与坐标轴围成一个四边形，求使四边形的面积最小时a的值.解如图，直线l1
6、：a(x2)2(y2)0，l1过定点B(2,2).直线l2：(2x4)a2(y2)0，由2x40和y20得l2也过定点B(2,2).l1与y轴交于点A(0,2a)，l2与x轴交于点C(a22,0).S四边形OABCSAOBSBOC(2a)2(a22)2a2a42.当a时，S取最小值.即四边形OABC的面积最小时，a的值为.14.已知两条直线2x3yk0和xky120的交点在y轴上，那么k的值是_.答案6解析联立两条直线的方程得解得x，两直线交点在y轴上，0，k6(经检验知符合题意).15.已知三条直线l1：4xy40，l2：mxy0，l3：2x3my40.(1)若直线l1，l2，l3交于一点，求实数m的值；(2)若直线l1，l2，l3不能围成三角形，求实数m的值.解(1)直线l1，l2，l3交于一点，l1与l2不平行，m4.由得即l1与l2的交点坐标为，代入l3的方程，得3m40，解得m1或，经检验符合题意.(2)若l1，l2，l3交于一点，则m1或；若l1l2，则m4；若l1l3，则m；若l2l3，则不存在满足条件的实数m.综上，可得m的值为1或或4或.