1、第二十二章 二次函数,小结与复习,要点梳理,考点讲练,课堂小结,课后作业,要点梳理,一般地，形如 (a，b，c是常数， _)的函数，叫做二次函数,yax2bxc,a ,注意 (1)等号右边必须是整式；(2)自变量的最高次数是2；(3)当b0，c0时，yax2是特殊的二次函数,1.二次函数的概念,2.二次函数的图象与性质：,a0 开口向上,a 0 开口向下,x=h,(h , k),y最小=k,y最大=k,在对称轴左边,x y;在对称轴右边, x y,在对称轴左边,x y;在对称轴右边, x y,y最小=,y最大=,3.二次函数图像的平移,yax2,左、右平移 左加右减,上、下平移 上加下减,y-
2、ax2,写成一般形式,沿x轴翻折,4.二次函数表达式的求法,1一般式法：yax2bxc (a 0),2顶点法：ya(xh)2k(a0),3交点法：ya(xx1)(xx2)(a0),5.二次函数与一元二次方程的关系,二次函数yax2bxc的图象和x轴交点有三种情况:有两个交点,有两个重合的交点,没有交点.当二次函数yax2bxc的图象和x轴有交点时,交点的横坐标就是当y=0时自变量x的值,即一元二次方程ax2bxc=0的根.,有两个交点,有两个相异的实数根,b2-4ac 0,有两个重合的交点,有两个相等的实数根,b2-4ac = 0,没有交点,没有实数根,b2-4ac 0,6.二次函数的应用,1
3、二次函数的应用包括以下两个方面(1)用二次函数表示实际问题变量之间的关系，解决最大化问题(即最值问题)；(2)利用二次函数的图像求一元二次方程的近似解,2一般步骤：(1)找出问题中的变量和常量以及它们之间 的函数关系；(2)列出函数关系式，并确定自变量的取值范围；(3)利用二次函数的图象及性质解决实际问题；(4)检验结果的合理性，是否符合实际意义,考点讲练,例1 抛物线yx22x3的顶点坐标为_,【解析】 方法一：配方，得yx22x3(x1)22，则顶点坐标为(1,2) 方法二代入公式 ， ， 则顶点坐标为(1,2),(1,2),方法归纳解决此类题目可以先把二次函数yax2bxc配方为顶点式y
4、a(xh)2k的形式，得到：对称轴是直线xh，最值为yk，顶点坐标为(h，k)；也可以直接利用公式求解.,1对于y2(x3)22的图像下列叙述正确的是( ) A顶点坐标为(3,2) B对称轴为y3 C当x3时，y随x的增大而增大 D当x3时，y随x的增大而减小,C,例2 二次函数yx2bxc的图像如图所示，若点A(x1，y1)，B(x2，y2)在此函数图像上，且x1y2,【解析】由图像看出，抛物线开口向下，对称轴是x1，当x1时，y随x的增大而增大 x1x21，y11可得2ab0，故正确； 由图像上横坐标为 x2的点在第三象限可得4a2bc0，故正确； 由图像上横坐标为x1的点在第四象限得出a
5、bc0，由图像上横坐标为x1的点在第二象限得出 abc0，则(abc)(abc)0， 即(ac)2b20，可得(ac)2b2， 故正确故选D.,1.可根据对称轴的位置确定b的符号：b0对称轴是y轴；a、b同号对称轴在y轴左侧；a、b异号对称轴在y轴右侧.这个规律可简记为“左同右异”.,2.当x1时，函数yabc.当图像上横坐标 x1的点在x轴上方时，abc0；当图像上横坐标x1的点在x轴上时，abc0；当图像上横坐标x1的点在x轴下方时，abc0.同理，可由图像上横坐标x1的点判断abc的符号.,3.已知二次函数y=x22bxc，当x1时，y的值随x值的增大而减小，则实数b的取值范围是（ ）A
6、b1 Bb1Cb1 Db1,解析：二次项系数为10，抛物线开口向下，在对称轴右侧，y的值随x值的增大而减小，由题设可知，当x1时，y的值随x值的增大而减小，抛物线y=x22bxc的对称轴应在直线x=1的左侧而抛物线y=x22bxc的对称轴 ，即b1，故选择D .,例4 将抛物线yx26x5向上平移 2个单位长度，再向右平移1个单位长度后，得到的抛物线解析式是( ) Ay(x4)26 By(x4)22 Cy(x2)22 Dy(x1)23,【解析】因为yx26x5(x3)24，所以向上平移2个单位长度，再向右平移1个单位长度后，得到的解析式为y(x31)242，即y (x4)22.故选B.,3.若
7、抛物线 y=7(x+4)21平移得到 y=7x2，则可能（ ） A.先向左平移4个单位，再向下平移1个单位 B.先向右平移4个单位，再向上平移1个单位 C.先向左平移1个单位，再向下平移4个单位 D.先向右平移1个单位，再向下平移4个单位,B,例5 已知关于x的二次函数,当x=1时,函数值为10,当x=1时,函数值为4,当x=2时,函数值为7,求这个二次函数的解析式.,待定系数法,解：设所求的二次函数为yax2+bxc, 由题意得：,解得, a=2,b=3,c=5., 所求的二次函数为y2x23x5.,5.已知抛物线y=ax2+bx+c与抛物线y=x23x+7的形状相同,顶点在直线x=1上,且
8、顶点到x轴的距离为5,请写出满足此条件的抛物线的表达式.,解:抛物线y=ax2+bx+c与抛物线y=x23x+7的形状 相同 a=1或1又顶点在直线x=1上,且顶点到x轴的距离为5, 顶点为(1,5)或(1,5)所以其表达式为:(1) y=(x1)2+5 (2) y=(x1)25(3) y=(x1)2+5 (4) y=(x1)25,例6 若二次函数y=x2+mx的对称轴是x=3，则关于x的方程x2+mx=7的解为（ ） Ax1=0，x2=6 Bx1=1，x2=7 Cx1=1，x2=7 Dx1=1，x2=7,解析：二次函数y=x2+mx的对称轴是x=3， =3，解得m=6，关于x的方程x2+mx
9、=7可化为x26x7=0， 即(x+1)(x7)=0，解得x1=1，x2=7故选D,例7 某商场试销一种成本为每件60元的服装，规定试销期间销售单价不低于成本单价，且获利不得高于45%，经试销发现，销售量y(件)与销售单价x(元)符合一次函数ykxb，且x65时，y55；x75时，y45. (1)求一次函数的表达式； (2)若该商场获得利润为W元，试写出利润W与销售单价x之间的关系式；销售单价定为多少元时，商场可获得最大利润，最大利润是多少元？,考点七 二次函数的应用,解：(1)根据题意，得,解得k=-1,b=120.故所求一次函数的表达式为y=-x+120.,(2)W=(x-60)(-x+1
10、20)=-x2+180x-7200=-(x-90)2+900,抛物线的开口向下， 当x90时，W随x的增大而增大， 而60x60（1+45%），即60x87, 当x=87时，W有最大值，此时W=-(87-90)2+900=891.,11.一家电脑公司推出一款新型电脑，投放市场以来3个月的利润情况如图所示，该图可以近似看作为抛物线的一部分，请结合图象，解答以下问题：,(1)求该抛物线对应的二次函数解析式；(2)该公司在经营此款电脑过程中，第几月的利润最大？最大利润是多少？ (3)若照此经营下去，请你结合所学的知识，对公司在此款电脑的经营状况(是否亏损？何时亏损？)作预测分析,(2) y=-x2+
11、14x=-(x-7)2+49.即当x=7时，利润最大，y=49(万元）,(3) 没有利润，即y=-x2+14x=0.解得x1=0(舍去）或x2=14,而这时利润为滑坡状态，所以第15个月，公司亏损.,例8 如图，梯形ABCD中，ABDC，ABC90，A45，AB30，BCx，其中15x30.作DEAB于点E，将ADE沿直线DE折叠，点A落在F处，DF交BC于点G. (1)用含有x的代数式表示BF的长； (2)设四边形DEBG的面积为S，求S与x的函数关系式； (3)当x为何值时，S有最大值？并求出这个最大值,解：（1）由题意，得EF=AE=DE=BC=x,AB=30. BF=2x-30.,（2
12、）F=A=45，CBF-=ABC=90， BGF=F=45，BG=BF=2x-30. 所以SDEF-SGBF= DE2- BF2= x2- (2x-30)2= x2+60x-450.,（3）S= x2+60x-450= (x-20)2+150. a= 0,152030， 当x=20时，S有最大值，最大值为150.,12.张大伯准备用40m长的木栏围一个矩形的羊圈，为了节约材料同时要使矩形的面积最大，他利用了自家房屋一面长25m的墙，设计了如图一个矩形的羊圈.,(1)请你求出张大伯矩形羊圈的面积；(2)请你判断他的设计方案是否合理？如果合理，直接答合理；如果不合理又该如何设计？并说明理由.,解：
13、（1）由题意，得羊圈的长为25m,宽为(40-25)2=7.5(m).故羊圈的面积为257.5=187.5(m2),（2）设羊圈与墙垂直的一边为xm,则与墙相对的一边长为(40-2x)m,羊圈的面积S=x(40-2x)=-2x2+40x=-2(x-10)2+200,(0x20). 因为01020，所以当x=10时，S有最大值，此时S=200. 故张大伯的设计不合理.羊圈与墙垂直的两边长为10m,而与墙相对的一边长为(40-2x)m=20m.,二次函数,二次函数的概念,二次函数与一元二次方程的联系,二次函数的图象与性质,课堂小结,不共线三点确定二次函数的表达式,二次函数的应用,见学练优本课时练习,课后作业,
