1、2018-2019学年江西师大附中高一（下）期中数学试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1（5分）数列1，的一个通项公式为（）ABCD2（5分）下列命题中，正确的是（）A着acbc，则abB若ab，cd，则acbdC若ab，cd，则acbdD若，则ab3（5分）某班运动队由足球运动员18人、篮球运动员12人、乒乓球运动员6人组成，现从这些运动员中抽取1个容量为n的样本，若分别采用系统抽样和分层抽样，则都不用剔除个体；当样本容量为n+1个时，若采用系统抽样，则需要剔除1个个体，那么样本容量n为（）A5B6C12D184（5分）若AB
2、C的内角A，B，C满足6sinA4sinB3sinC，则cosB（）ABCD5（5分）函数的最小值是（）ABCD6（5分）已知等差数列的前n项和为18，若S31，an+an1+an23，则n的值为（）A9B21C27D367（5分）将甲、乙两个篮球队5场比赛的得分数据整理成如图所示的茎叶图，由图可知以下结论正确的是（）A甲队平均得分高于乙队的平均得分B甲队得分的中位数大于乙队得分的中位数C甲队得分的方差大于乙队得分的方差D甲乙两队得分的极差相等8（5分）钝角三角形ABC的面积是，AB1，BC，则AC（）A5BC2D19（5分）张邱建算经是中国古代数学史上的杰作，该书中有首古民谣记载了一数列问题
3、：“南山一棵竹，竹尾风割断，剩下三十节，一节一个圈头节高五寸，头圈一尺三逐节多三分，逐圈少分三一蚁往上爬，遇圈则绕圈爬到竹子顶，行程是多远？”（注释：第一节的高度为0.5尺；第一圈的周长为1.3尺；每节比其下面的一节多0.03尺；每圈周长比其下面的一圈少0.013尺） 问：此民谣提出的问题的答案是（）A72.705尺B61.395尺C61.905尺D73.995尺10（5分）已知x+y1，y0，x0，则的最小值是（）ABCD11（5分）在各项均为正数的等比数列an中，公比q（0，1），若a3+a55，a2a64，bnlog2an，数列bn的前n项和为Sn，则取最大值时，n的值为（）A8B8或9
4、C9D1712（5分）己知正实数x，y满足x+y+3xy，若对任意满足条件的x，y，都有（x+y）2a（x+y）+60恒成立，则实数a的最大值为（）AB7CD8二、填空题：本题共4小题，毎小题5分，共20分13（5分）不等式（a2）x2+2（a2）x40对一切xR恒成立，则实数a的取值范围是 14（5分）若等比数列an的前项n和为Sn，且5，则 15（5分）设正实数x，y，z满足x23xy+4y2z0，则当取得最大值时，+的最大值为 16（5分）设ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则下列命题正确的是 （填写所有正确命题的序号）若sinAsinB2sin2C，则0C；若a+b2c，
5、则0C；若a4+b4c4则ABC为锐角三角形； 若（a+b）c2ab，则C三、解答题：共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步致17（10分）某校高一某班的一次数学测试成绩的茎叶图和频率分布直方图都受到不同程度的破坏，但可见部分如图所示，据此解答如下问题：（1）求分数在50，60）的频率及全班人数；（2）求分数在80，90）之间的频数，并计算频率分布直方图中80，90）间的矩形的高18（12分）（1）求不等式的解集；（2）解关于x的不等式ax222xax（aR）19（12分）在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，满足a2sinA，（）求边c的大小； （）求ABC面积的最大值20
6、（12分）某车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此进行了四次试验如下：零件的个数x/个2345加工的时间y/小时2.5344.5（1）求y关于x的线性回归方程（2）试预测加工10个零件需要多少时间？21（12分）为响应国家扩大内需的政策，某厂家拟在2013年举行促销活动，经调查测算，该产品的年销量（即该厂的年产量）x万件与年促销费用t（t0）万元满足x4（k为常数）如果不搞促销活动，则该产品的年销量只能是1万件已知2013年生产该产品的固定投入为6万元，每生产1万件该产品需要再投入12万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品平均成本的1.5倍（产品成本包括固定投入和再投入两
7、部分）（1）将该厂家2013年该产品的利润y万元表示为年促销费用t万元的函数；（2）该厂家2013年的年促销费用投入多少万元时厂家利润最大？22（12分）己知数列an满足a1a，（1）若an为不恒为0的等差数列，求a；（2）若，证明：an12018-2019学年江西师大附中高一（下）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1（5分）数列1，的一个通项公式为（）ABCD【分析】根据题意，由数列的前4项分析可得a11，a2，a3，a4，据此分析可得答案【解答】解：根据题意，数列1，有a11，a2，a3，a4，则a
8、n；故选：D【点评】本题考查数列的表示方法，注意分析数列的前4项的变化规律，属于基础题2（5分）下列命题中，正确的是（）A着acbc，则abB若ab，cd，则acbdC若ab，cd，则acbdD若，则ab【分析】根据题意，由不等式的性质依次分析选项，综合即可得答案【解答】解：根据题意，依次分析选项：对于A，当c0时，acbcab，A错误；对于B，若ab，cd，则adbc，B错误；对于C，当0cd时，acbd，C错误；对于D，若，则ab，D正确；故选：D【点评】本题考查不等式的性质，关键是掌握不等式的性质，属于基础题3（5分）某班运动队由足球运动员18人、篮球运动员12人、乒乓球运动员6人组成，
9、现从这些运动员中抽取1个容量为n的样本，若分别采用系统抽样和分层抽样，则都不用剔除个体；当样本容量为n+1个时，若采用系统抽样，则需要剔除1个个体，那么样本容量n为（）A5B6C12D18【分析】由题意知采用系统抽样和分层抽样方法抽取，不用剔除个体；如果样本容量增加一个，则在采用系统抽样时，需要在总体中先剔除1个个体，算出总体个数，根据分层抽样的比例和抽取的乒乓球运动员人数得到n应是6的倍数，36的约数，由系统抽样得到必须是整数，验证出n的值【解答】解：由题意知采用系统抽样和分层抽样方法抽取，不用剔除个体；如果样本容量增加一个，则在采用系统抽样时，需要在总体中先剔除1个个体，总体容量为6+12
10、+1836当样本容量是n时，由题意知，系统抽样的间隔为，分层抽样的比例是，抽取的乒乓球运动员人数为6，篮球运动员人数为12，足球运动员人数为18，n应是6的倍数，36的约数，即n6，12，18当样本容量为（n+1）时，总体容量是35人，系统抽样的间隔为，必须是整数，n只能取6即样本容量n6故选：B【点评】本题考查分层抽样和系统抽样，是一个用来认识这两种抽样的一个题目，把两种抽样放在一个题目中考查，加以区分，是一个好题4（5分）若ABC的内角A，B，C满足6sinA4sinB3sinC，则cosB（）ABCD【分析】由题意利用正弦定理，推出a，b，c的关系，然后利用余弦定理求出cosB的值【解答
11、】解：ABC的内角A，B，C满足6sinA4sinB3sinC，所以6a4b3c，不妨令a2，b3，c4，所以由余弦定理：b2a2+c22accosB，所以cosB，故选：D【点评】本题是基础题，考查正弦定理，余弦定理的应用，考查计算能力，常考题型5（5分）函数的最小值是（）ABCD【分析】函数式的分子和分母都含有变量，可以变形化简为，转化为只求两个数和的最小值，凑出两个数的积为定值，满足基本不等式成立的条件【解答】解：，当且仅当，即x1时，函数有最小值是21故选：B【点评】本题考查函数的最值及其几何意义，对函数式的化简是解题的关键，利用基本不等式求最值，一定要注意需要的条件：一正、二定、三相
12、等属中档题6（5分）已知等差数列的前n项和为18，若S31，an+an1+an23，则n的值为（）A9B21C27D36【分析】由等差数列的前n项和为18，S31，an+an1+an23，推导出a1+an，由此能求出n的值【解答】解：等差数列的前n项和为18，S31，an+an1+an23，a1+a2+a3+an+an1+an23（a1+an）4，a1+an，18，1818，解得n27故选：C【点评】本题考查等差数列的前n项和公式的应用，解题时要认真审题，推导出a1+an是解题的关键7（5分）将甲、乙两个篮球队5场比赛的得分数据整理成如图所示的茎叶图，由图可知以下结论正确的是（）A甲队平均得分
13、高于乙队的平均得分B甲队得分的中位数大于乙队得分的中位数C甲队得分的方差大于乙队得分的方差D甲乙两队得分的极差相等【分析】根据中位数，平均数，极差，方差的概念计算比较可得【解答】解：对于A，甲的平均数为（26+28+29+31+31）29，乙的平均数为（28+29+30+31+32）30，故错误；对于B，甲队得分的中位数是29，乙队得分的中位数是30，故错误；对于C，甲成绩的方差为：s2（2629）2+（2829）2+（2929）2+（3129）2+（3129）2乙成绩的方差为：s2（2830）2+（2930）2+（3030）2+（3130）2+（3230）22可得甲队得分的方差大于乙队得分的
14、方差，故正确；对于D，甲的极差是31265乙的极差是32284，两者不相等，故错误故选：C【点评】本题考查了考查茎叶图的性质等基础知识，考查中位数，平均数，极差，方差的概念计算及运算求解能力，是基础题8（5分）钝角三角形ABC的面积是，AB1，BC，则AC（）A5BC2D1【分析】利用三角形面积公式列出关系式，将已知面积，AB，BC的值代入求出sinB的值，分两种情况考虑：当B为钝角时；当B为锐角时，利用同角三角函数间的基本关系求出cosB的值，利用余弦定理求出AC的值即可【解答】解：钝角三角形ABC的面积是，ABc1，BCa，SacsinB，即sinB，当B为钝角时，cosB，利用余弦定理得
15、：AC2AB2+BC22ABBCcosB1+2+25，即AC，当B为锐角时，cosB，利用余弦定理得：AC2AB2+BC22ABBCcosB1+221，即AC1，此时AB2+AC2BC2，即ABC为直角三角形，不合题意，舍去，则AC故选：B【点评】此题考查了余弦定理，三角形面积公式，以及同角三角函数间的基本关系，熟练掌握余弦定理是解本题的关键9（5分）张邱建算经是中国古代数学史上的杰作，该书中有首古民谣记载了一数列问题：“南山一棵竹，竹尾风割断，剩下三十节，一节一个圈头节高五寸，头圈一尺三逐节多三分，逐圈少分三一蚁往上爬，遇圈则绕圈爬到竹子顶，行程是多远？”（注释：第一节的高度为0.5尺；第一
16、圈的周长为1.3尺；每节比其下面的一节多0.03尺；每圈周长比其下面的一圈少0.013尺） 问：此民谣提出的问题的答案是（）A72.705尺B61.395尺C61.905尺D73.995尺【分析】设从地面往长，每节竹长为a1，a2，a3，a30，则an是以a10.5为首项，以d0.03为公差的等差数列，设从地面往上，每节节圈长为b1，b2，b3，b30，则bn是以b11.3为首项，d0.013为公差的等差数列，由此能求出一蚁往上爬，遇圈则绕圈爬到竹子顶的行程【解答】解：每竹节间的长相差0.03尺，设从地面往长，每节竹长为a1，a2，a3，a30，an是以a10.5为首项，以d0.03为公差的等
17、差数列，由题意知竹节圈长，后一圏比前一圏细1分3厘，即0.013尺，设从地面往上，每节节圈长为b1，b2，b3，b30，由bn是以b11.3为首项，d0.013为公差的等差数列，一蚁往上爬，遇圈则绕圈爬到竹子顶，行程是：S30（300.5+0.03）+301.3+（0013）61.395故选：B【点评】本题考查了等差数列通项公式求和公式及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题10（5分）已知x+y1，y0，x0，则的最小值是（）ABCD【分析】根据条件利用消元法，转化为关于x的式子，利用基本不等式的性质即可求出式子的最值【解答】解：由x+y1，y0得y1x0，解得x1且x0，当0x1时，
18、当且仅当即x时取等号；当x0时，（），（），当且仅当即x2时取等号综上可得，最小值故选：C【点评】本题主要考查式子最值的求解，根据条件结合基本不等式的应用是解决本题的关键综合性较强，难度较大11（5分）在各项均为正数的等比数列an中，公比q（0，1），若a3+a55，a2a64，bnlog2an，数列bn的前n项和为Sn，则取最大值时，n的值为（）A8B8或9C9D17【分析】由题意求出等比数列的公比，然后求出等比数列的通项公式，代入bnlog2an，得到数列bn为等差数列，写出令知，当n为非负值时取最大值，继而求出n的值即可【解答】解：an是等比数列且a3+a55，a2a64，公比q（0，1
19、），解得：a34，a51，a116，则，5n，则b14，由bn+1bn5（n+1）（5n）1，数列bn是以4为首项，以1为公差的等差数列，则数列bn的前n项和，令，n0时，n9，当n8或9时，取最大值故选：B【点评】此题考查了等比数列的性质，考查了等差关系的确定以及数列求最值等知识，是中档题12（5分）己知正实数x，y满足x+y+3xy，若对任意满足条件的x，y，都有（x+y）2a（x+y）+60恒成立，则实数a的最大值为（）AB7CD8【分析】依题意，由正实数x，y满足x+y+3xy，可求得x+y6，由（x+y）2a（x+y）+60恒成立可求得ax+y+恒成立，利用双钩函数的性质即可求得实数
20、a的取值范围【解答】解：正实数x，y满足x+y+3xy，而xy，x+y+3，（x+y）24（x+y）120，x+y6或x+y2（舍去），x+y6又正实数x，y有（x+y）2a（x+y）+60恒成立，ax+y+恒成立，a，令x+yt（t6，），g（t）t+，由双钩函数的性质得g（t）在6，+）上单调递增，g（t）ming（6）6+7a7，即a的最大值为7故选：B【点评】本题考查基本不等式，考查双钩函数的单调性质，求得x+y6是关键，考查综合分析与运算的能力，属于中档题二、填空题：本题共4小题，毎小题5分，共20分13（5分）不等式（a2）x2+2（a2）x40对一切xR恒成立，则实数a的取值范围
21、是（2，2【分析】依题意，可分a2与a2讨论，易知a2符合题意，a2时，解不等式组，即可求得2a2，最后取并集即可【解答】解：不等式（a2）x2+2（a2）x40对一切xR恒成立，当a2时，40对一切xR恒成立，满足题意；当a2时，则，即，解得2a2；综上所述，实数a的取值范围是2a2，即a（2，2故答案为：（2，2【点评】本题考查函数恒成立问题，考查分类讨论思想与等价转化思想、方程思想的综合应用，属于中档题14（5分）若等比数列an的前项n和为Sn，且5，则17【分析】根据等比数列的前n项和公式，求出公比即可得到结论【解答】解：若公比q1，则5，公比q1由5得，即q24，故答案为：17【点评
22、】本题主要考查等比数列通项公式和前n项和公式的计算，要求熟练掌握相应的公式，考查学生的计算能力15（5分）设正实数x，y，z满足x23xy+4y2z0，则当取得最大值时，+的最大值为1【分析】由正实数x，y，z满足x23xy+4y2z0，可得zx23xy+4y2于是，利用基本不等式即可得到最大值，当且仅当x2y0时取等号，此时z2y2于是+，再利用二次函数的单调性即可得出【解答】解：由正实数x，y，z满足x23xy+4y2z0，zx23xy+4y21，当且仅当x2y0时取等号，此时z2y2+1，当且仅当y1时取等号，即+的最大值是1故答案为1【点评】熟练掌握基本不等式的性质和二次函数的单调性是
23、解题的关键16（5分）设ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则下列命题正确的是（填写所有正确命题的序号）若sinAsinB2sin2C，则0C；若a+b2c，则0C；若a4+b4c4则ABC为锐角三角形； 若（a+b）c2ab，则C【分析】由正弦定理可得：ab2c2，由余弦定理可得：c2a2+b22abcosC，整理可得：cosC，利用余弦函数的图象和性质可得0C，命题正确；利用余弦定理，将c2放大为（）2，再结合均值定理即可证明cosC，从而证明C；由题意可得 （a2+b2）2c4 2a2b20，ABC中，由余弦定理可得 cosC0，故角C 为锐角，再根据c边为最大边，故角C 为
24、ABC的最大角，从而得出结论只需举反例即可证明其为假命题，可举符合条件的等边三角形；【解答】解：若sinAsinB2sin2C，由正弦定理可得：ab2c2，由余弦定理可得：c2a2+b22abcosC，整理可得：cosC，则0C，命题正确；a+b2ccosCC，故正确；ABC的三边长分别为a，b，c，且a4+b4c4，（a2+b2）2a4+b4 +2a2b2c4+2a2b2（a2+b2）2c4 2a2b20又 （a2+b2）2c4 （a2+b2+c2）（a2+b2c2），（a2+b2c2）0ABC中，由余弦定理可得 cosC0，故角C为锐角再由题意可得，c边为最大边，故角C为ABC的最大角，A
25、BC是锐角三角形，命题正确；取ab2，c1，满足（a+b）c2ab得：C，故错误；故答案为：【点评】本题主要考查了解三角形的知识，放缩法证明不等式的技巧，反证法和举反例法证明不等式，有一定的难度，考查了转化思想，属于中档题三、解答题：共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步致17（10分）某校高一某班的一次数学测试成绩的茎叶图和频率分布直方图都受到不同程度的破坏，但可见部分如图所示，据此解答如下问题：（1）求分数在50，60）的频率及全班人数；（2）求分数在80，90）之间的频数，并计算频率分布直方图中80，90）间的矩形的高【分析】（1）利用茎叶图和频率分布直方图确定分数在50，60）的
26、面积，然后求出对应的频率和人数（2）利用茎叶图计算出分数在80，90）之间的人数，以及对应的频率，然后计算出对应矩形的高【解答】解：（1）由茎叶图可知分数在50，60）的人数为2人则分数在50，60）的矩形的面积为0.008100.08即分数在50，60）的频率为0.08设全班人数为n人，则，解得n25人（2）则分数在80，90）之间的人数为25214人则对应的频率为，所以，即频率分布直方图中80，90）间的矩形的高为0.016【点评】本题主要考查茎叶图和频率分布直方图的识别和应用，比较基础18（12分）（1）求不等式的解集；（2）解关于x的不等式ax222xax（aR）【分析】（1）由可得，
27、0，根据高次不等式的求解求；（2）由已知化简可得，ax2+（a2）x20，然后分类讨论a，结合二次不等式的求解即可【解答】解：（1）由可得，0，根据高次不等式的求解可得，x|x3或1或x2；（2）ax222xax，ax2+（a2）x20，a0时，2x20，可得x1；a0时，可得a（x）（x+1）0若a0，解可得，x或x1；若a0，则可得（x）（x+1）0（i）当即a2时，解集为1，；（ii）当1即2a0时，解集为，1；（iii）当1即a2时，解集为1【点评】本题主要考查了高次不等式及含参不等式 的求解，体现了分类讨论思想的应用19（12分）在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，满足
28、a2sinA，（）求边c的大小； （）求ABC面积的最大值【分析】（）已知第二个等式去分母变形后，利用正弦定理化简，求出cosC的值，确定出C的度数，再利用正弦定理即可求出边c的大小； （）由c，cosC的值，利用余弦定理列出关系式，再利用基本不等式求出ab的最大值，利用面积公式即可求出三角形ABC面积的最大值【解答】解：（）+0，ccosB+2acosC+bcosC0，由正弦定理化简得：sinCcosB+sinBcosC+2sinAcosC0，即sin（B+C）+2sinAcosC0，整理得：sinA+2sinAcosC0，sinA0，cosC，C，c； （）c，cosC，cosC，a2+b
29、2+ab3，a2+b22ab，3ab3，SABCabsinC，则ABC面积的最大值为【点评】此题考查了正弦、余弦定理，三角形的面积公式，以及基本不等式的运用，熟练掌握定理及公式是解本题的关键20（12分）某车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此进行了四次试验如下：零件的个数x/个2345加工的时间y/小时2.5344.5（1）求y关于x的线性回归方程（2）试预测加工10个零件需要多少时间？【分析】（1）根据表中所给的数据，做出横标和纵标的平均数，得到样本中心点，求出对应的横标和纵标的积的和，求出横标的平方和，根据最小二乘法做出系数b和代入样本中心点求出a的值，写出线性回归方程
30、（2）将x10代入回归直线方程，得y0.710+1.058.05，可以预测加工10个零件需要8.05个小时，这是一个预报值，不是生产10个零件的准确的时间数【解答】解：（1）3.5，3.5，xiyi22.5+33+44+54.552.5，xi24+9+16+2554，b0.7，a3.50.73.51.05，回归直线方程为y0.7x+1.05（2）当x10时，0.710+1.058.05，预测加工10个零件需要8.05小时【点评】本题考查线性回归方程的求法和应用，解题的关键是正确应用最小二乘法求出线性回归方程的系数的运算，再一点就是代入样本中心点可以求出字母a的值，本题运算比较繁琐，本题是一个中
31、档题目21（12分）为响应国家扩大内需的政策，某厂家拟在2013年举行促销活动，经调查测算，该产品的年销量（即该厂的年产量）x万件与年促销费用t（t0）万元满足x4（k为常数）如果不搞促销活动，则该产品的年销量只能是1万件已知2013年生产该产品的固定投入为6万元，每生产1万件该产品需要再投入12万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品平均成本的1.5倍（产品成本包括固定投入和再投入两部分）（1）将该厂家2013年该产品的利润y万元表示为年促销费用t万元的函数；（2）该厂家2013年的年促销费用投入多少万元时厂家利润最大？【分析】（1）先求出k的值，再根据产品成本包括固定投入和再投入两部分，
32、可得该厂家2013年该产品的利润y万元表示为年促销费用t万元的函数；（2）由（1）知y2727.5，利用基本不等式，可求该厂家2013年的厂家利润最大【解答】解：（1）由题意有14，得k3，故x4y1.5x（6+12x）t3+6xt3+6（4）t27t（t0）（2）由（1）知y27t27.526，当且仅当，即t2.5时，等号成立，y27.527.5621.5当t2.5时，y有最大值21.52013年的年促销费用投入2.5万元时，该厂家利润最大【点评】本题考查函数模型的建立，考查利用数学知识解决实际问题，考查基本不等式的运用，属于中档题22（12分）己知数列an满足a1a，（1）若an为不恒为0
33、的等差数列，求a；（2）若，证明：an1【分析】（1）通过对变形、整理可以知道，利用ankn+b，计算即得结论；（2）利用an+1an放缩可以知道，然后叠加，再裂项，放缩可以求得结果【解答】解：（1）数列an为不恒为0的等差数列，可设ankn+b，整理得：kn2k2n2+2kbn+b2，计算得出：k1、b0或k0、b0（舍），ann，a1a1（2）证明：易知an0，an+1an，两端同时除以anan+1，得：，叠加得：，又，又，an1【点评】此题是一道关于数列递推关系的综合题，考查运算求解能力，利用放缩法和裂项法是解题的关键，难度较大声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2019/11/15 8:59:33；用户：17746823402；邮箱：17746823402；学号：28261463第22页（共22页）
